В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 20
Текст из файла (страница 20)
4. О выделении сходящейся подпоследовательности. Результаты предыду>цего пункта приводят к следующей основной теорем<>. Теорема 3. > 7 (тпеорема Бо><ьцано — Вейерохгарасса <!)) . Ыз,л>обо<У огргннченно<У г<оследонательно<ьпн мавлоно ныделп<пь сход>пйрн>си г>одпо<и<едонагпельно<г>пь. Д о к и з а т <»! ь с т в о.
Так кш< по<оп!донат<>льность ограни п>на., то она имеет хотя бы одну предельную точку и. В таком <шучае из этой последовательногти можно выделить подпо<шедовательностгч сходящуюся к точке ш (ох<. определение 2 предельной точки) 3 а м е ч а н и с 1. Ия лн>бой огроннче<июй ьп>следоиательпосьгн м<кнш<о ив<де>п<гпь монопюьп<лро подпослсдов<ип<льност<ь В самом деле, в силу теорех<ы Вольцано-Вейерштрасса из,побой ограниченной по< ледовательности можно выделить сходящуки:я подпо<ледовательносттп а пз этой подпо<шедовательности, в силу замечания и. 1 этого параграфа, можно выделить монотонную подло<>ледовательность, ) Ниже мы докажем, ч<о раве~<с>во х = х и угловне ограниченности являются необходимыми и лостьпочными условиями схолнмосги поспелов<и ельности.
) Рапиональные числа сегмента [О, Ц можно расположить в поглеловательность без повзорений, например, так. Рассмотриз< группы рапиональных чисел это< о сегмента, причем в первую группу о>не<.ем числа О и 1, во вторую шсло 1<<2, в третью всг несократимые *шола р,<<1 со знаменателем 3 и вообще в и-ю группу все несократимые рапиональные дроби из сегм< ига [О, 1] го знаменателем и.. Очевидно. каждое рапиональное число попа.<ае г в одну < руину и и каждой группе будет лишь конечное количество рапиональных чисел.
Выпишем теперь подряд элементы нервов группы, эа ними элементы второй группы, затем третьей и т. д. В результате мы и полу*шм нужную нам последовательность. Бернгард Больпаио — чешский философ н математик 11781 1848), Карл Вейерштрагс немепкий математик (!815 — !897Р ГЛ. В пркдкл послкдонйткльности В а м с ч а н и е 2. П)Эсгаь 1ха) ог)хинин<и«(ал г(оследоваьчелгьнпсп<<н алеме(<п<ы коннор(?й находятся на сегменп!с [а,)?[. Тогда, !!редел с любой сходя<1(ейся гюд<нюледоваьпелъно<тт г<хь„) <г(октж?(1 «ахг™энгпая на сегмеьяпе [а,(?]. Действительно, так как и, < хв. < Ь, то в си:(у следствия 2 из теоремы 3.13 выполняются неравенства о, < с < Э?. Это и (тначаес "г<о с находится на сегменте [а< 6). Оть«!тим.
(то в отдельных <:1)чаях и пз п((ог)?аниченной НО(следов??тетьнОст(1 такж(1 МО?кно Выделить сходни(уюся подпоследовательность. Например. пос.«н(овательность 1, 1(<2, 2, 1(3< ..., н, 1(<[11, + 1)< ... Не(?г)?<н(и «!иная, Однако подпосл11— довнтельность 1((2, 1((3,....
1((г(.... ее элементов с четными номерами сходится. Но не из каждой неограниченной последовательности можно Выде„,!Нть сходящ! юся подво("1едОВаг(<льнос1ь. Например, любая подпоследовнтельность неограниченной последовательности 1, 2, ..., и, ... расходится. Поэтому (ео)?ему Боги ц<июсВейергнтрассаз вообще говоря, нельзя распро«гранить на неограниченные по<шедовательности.
Аналогом этой теоремы для неограниченных последовательностей является следующее предложение. Лемма 2. Из каждой неограниченной последовательности можно выдслипгь бесконечна боль<дую пвдпвслсдвоатслш<всть. П о к а з а г е л ь с т в о. Пусть )ал,) неограниченная последовательность. Тогда найдется элемент хь< этой последовательности, удовлетвоРЯюший ?тловию (х!.< ~ > 1, элемент х!г этой последовательности, Удовлетворшощий условиям [х<.,[ > 2, 1 > а<, .... элемент:г<„этой г<о<шедовагельносзи, удовлетворяющий условиям [<гь„! > и, к > й„! и т.
д. Очевидно, подпоследовательность х<, . г<,, х!.„,... является бесконечно большой. Из леммы 4 и из теоремы Больпано Вейерштрасса выл екает следующее утверждение. Лемма б. Из совари<сина произвольной пвгледвватсльнвшпт можно выделип<ь либо ссвдяшуюся, либо бвхквигчнв большую пвдпвследввательвость. 3 а м е ч а н и е 3.
Результаты настоящего пункта позволяют несколько ра<'ширлть понятие предельной точки и верхнего и нижнего пределов последовательности. Будем говорить, что +ж1 — х) является пре <с?гьной точкой по<шедовательносги 1х, ). если из этой последовательности можно выделить бесконечно большую полгкх.<едовательносгь, состоящую из положительных 1отр™нательных) элементов. При таком расширении поня<на предельной точки у последовательности, кроме конечных предельных точек, могут существовать еше две предельные точки -1-ос и — ж. В таком случае лемма 5 поэволяет утверждать.
что у соверш< ннв произвольной пвслвдвватвзьнвсгви су<цествует;со<он бы одна предельная точка ). ) Либо конечная,лиоо бесконечная. 1 л ОВОЙОУВА!11'ОиЗВОлызых ВООлеДОВАтельностей 87 Естественно считая, что +)о и — Оо связаны с любым конечнь!м вещественным чип)ом зг соотношением — оо < х < +ощ убедимся в том, по й совари)енно произвольной аоследовапшльности ср)дас)лвйюп! верхний и пилений пределы [т. е.
существую г наиболыпая и наименыпая прадолышя точки). Ра,чи определенности, установим существование верхнего предела. В силу замечания 1 к теореме 3.16 достаточыо расюмотреть только случай, кпг))а последовательность 1хь) ы е Я в л Я е т с Я о г Р а н и ч е ни о й.
Е!.зи при этом [х„) не является ограниченнои сверху. то из нее можно выделить оесконечно большую последовательность, все элементы которой положительны. и пошому ч-оо яизяется предельной точкой, а. с!ало быть, я верхним пре,.!слом [гь). Рассмотрим случай, когда нРограниченная последовательность )х„) является ограниченной сверху.т. Р.
когда сущРствует вещесгвенноР число ЛХ такое, что вге элементы х„ удовлетворшот условию ))„ < ЛХ. Поскольку ПОСЛРДОВатЕЛЬВОСтЬ [Хь) НЕ ЯВЛЯЕТСЯ ОГРаНИЧЕННОЙ СНИЗУ, НЗ НЕЕ МпжпО выделить оесконечно большую по!ьпдовательность. все элеменгы которои отрипательыы, а это означает, что — оо является предел! ной точкой рассма- )риваемоЙ пощ)едовазельности.
Ею!и при э)ом последовательность не имеет нн ошюп коне*ной предел— ыоЙ го )ки, то — оо являегсв РдинсгвеннОЙ прР,!ОльнОЙ точкой, а поэтому является и верхним пределом рассматриваемой последовательности. Дока)кем, что если по!.)едовательностгь кроме — гю,имеет еще хотя бы одну конечнУю пРеДельнУю точкУ хо. то и в этом слУчае У нее сУЩРствУет веРхний предел.
Так как вге элементы х„удовлетворяют условию х„< ЛХ. то в силу ТРОРРмь! 3.13 и хо )ДОЯ!РтвОРЯРТ УслОвию хо < ЛХ. )Риьтий)ем Щ)онзвольное г л О. Так как в -окрестности х'о лежи г бесконечно много элементов последовательности 1х„), то и на гегменте [хэ — г. ЛХ1 лежит бесконечно много этих элементов. Выделим из последовательности [х „) подпоследовательность тех ее элементов. которые лежат на сегменте [хв — в,.11~. Выделенная подпоследовательыосгь является ограни !виной. Поэтому в силу замечания 1 к теореме 3.16 у нее существует верхний предел. т. е.
наибольшая предельная точка У. Очевидно. что У ) хо и является пре)и льной точкой и вшзй последовательности 1х„). Очевидно также, что последовательность 1х„) не имеет пределы!ых точек. превосходящих г, ибо если бы некоторое число х.превосходящее У,яв.шлось предельной точкой последовательности 1х„), то поскольку все элементы послетовазельности [х„),превосхо.зящие число хв — в ЯВЛЯкпся члРмвнтами н вылРЛРынОЙ нами пОдпогз!'ДОВательности, это чи!)ао х являлось бы пре)ельной точкой и выделенной нами подноси ,ювательностн, а эта подпоследовагРльность не имеет предельных точек, превосхо,зящих х. Итак, число У является наибольшей предельной точкой рассматрива)- мой пос))едоваге))ь»о! тн. Существование у совер!пенно произвольной последовательности верхнего предела доказано.
Аналогично доказывается сушествовашю нижнего предела. 5. Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности. При выяснении вопроса о сходимости посл!)ДоваТед11И)сТИ 1ша) прИ ИОЛ101ЦИ Оп))едех1!вн1Я схедИЫОСТИ наи п))ихо11ится од!)пинать ))а.знг)сть зузсзз!)итон х„этой посщедо- Гл. а пгкдкл послкдовлткльвости вательности и се пре)дполагаемого предела а. Иными е: тонами, пртлход)ится предугадывать, чему равен предел о, этой последовательности. Естественно указать евнутреншшь критерий сходимости последовательности, позволяющий выяснить вопрос о ее сходимости .,тишь по всличинет ее элементов.
Такой внутренний критерий и буде)с установле)н В настоятпеем пунктеь Для форьеулировки этого критерия введем потштие фундаментетльной последовательности. Определение. Последе)ве)тпетльног:тгеь (хп) наэьитаепи)я ф й нд а м е н шт а л ь н о й, если для,тн)боио полоэюптпгльноао е теетдетпсл, номеР тт)7 не«та)й, чпто длл гюех номсР«в нэ йдовлетпете)- рянт)пх белавин) и, ) Х) и для осех нетттеч)йнзльных чисел р (р = = 1, 2,... ) Егтераееедл,иво т )ниьенстгто ~Х)еэр Хее! ~ -. Ое:ИОВНОЙ задюп)й настоящего пункта являе)те)я дОкетзеттенеьство еледунпцего критерия сходимости последовательности (так называемого критерия Коши')); для того чтг)бы ттоследоеие; 7))ел)пег)етпт, были сходятее1ггя, необходимо и догппогшочтег), члиобье, она была фйеедамеишильт)й Прежде чем перейти к доказательству критерия Коши.
мы докажем несколько вспомогательных предложений, имеющих и саьюстоятельный интерес. Теорема а.тб. Для пт«го чшобы пг)сгтетдоееатгеетлт)иостг)ь (х„) бтиг) схе)дятетейе)я. необсодтлмо и деи:татпочио. чгшобы они было. г)е))атет) и.*«нот) и, «пабы, ее: етерхнтш и нтт«гете))71 711)адель) х и т совпадали. Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Н е о б х о д и и о с т ь . Пусть пое.ле)довптеьльностт, (хп, Сход~~с~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
