В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Иными словами, ра(агмотрим ( (учай, когда в лк)бом интервале (а — е.а) содержится бесконечно много э.,н)ментов по(' и)ДОВательно('ти. ПУсть хь Один из этих э:и!ментов. хь! < < а. Из бесконечного множества элементов по(шедовательности )ха), находящихся на интервале )х(та). выберем какой-нибудь элемент хьэы номер Ь~ которого больше )с). Затем из бесконечно- ГО МНОжЕСТВа:)ЛЕМЕНтОВ ПОС.,)ЕДОВатЕЛЬНОСТИ )Ха), НаХО;(ЯЩИХСЯ па интервале (хьа а) выберем элемент хьы для которого кл ) > )св.
Продолжая этот процесс неограниченно, мы полу (им монотонно возра(тающун) поднос,н)довательность )хь„) по(шедоВВТе)1ЬНОСТИ )ха), КОТО1)515!. В Силу УказаННО!'О В ЭТОМ пуНКТС свойства подпо(ледовательностей сходящейся последовательности. сходится к а. Если бы ни один из;эи(х случаев не имел места. то в некоторой е-окрестности точки а находилось бы лишь конечное число эл('ментов после.(оватсльоости, т. с. точка а пс бьша бы пролетом последовательности.
( л сВОЙс'1'ВА пРОизВОльных ИОслеДОВАтельностей 81 Отметим. что из каждой бесконе гно большой последовательности можно выделить монотоннук) бе( конечно болыпук> подпо(гледовательпость. 2. Предельные точки последовательности. Определение 1. Точка х бесконе той прямой наливается 71, р е д е .л ь н о й 7п о ч, к о 'й п(н)ледовапгельност(та (:1:л), если в лн>бой г-окрестностм этной таочки ил(естся бесконе.чно много эл(>иетиаов последовательности (11;„). Справедлива следук)щая лемма.
Лемма х. Ес.ли (г — предельная точка последовательности (ха), то ти этой последовительности маслено вь(делить подиоследовительность (эь„), сходяи(днюя к числд х. Доказательство. Пусть х -предельная точка по(щедовательности (хо). Ра(тмотрим систему е-окрестно(тей точки х, для которых е последовательно равно 1, 1>>2.
17>3, .... 1>71.... В первой из этих акре()тностей выберем элемент (сь, последовательности (хп), во второй пирес>ности выберем элем()нг:гта такой, тто 1г > йг. В третьей окрестно("ги выберем элемент хг., такой, что Ка > Йз. Этот проце(т можно продал)кать неограниченно, так как в лк>бой е-окре('тности точки х нм(ется оесконсчно много элементов последовательности (ха). В результате мы получим подло(ледовательность;хь,, хг,.„ ...,хь,, ... последо! ват(гльпо(ти (хт)). которая сходится к х, так как )хь — х) ( —. 11( мма доказана. 3 а м е 1 а н н е.
Справедливо и обратное утверждение: ес- .>И 11) По(;)ЕДОВаПЛЬНО("1 И (Эп) Хгвжио выделнть Полно(ЛЕДОВательность. сходящуюся к чш!Лу;г. то чи((ло х является предельной точкой по(лсдователыюсти (х„). В самом деле, в .Побой е-окрестности точки и; имеется бесконечно много элементов выделенной подпо()ледовгпельности. а стало быть, и самой по( и.— ДОВВТ(ЛЫКИ:Ти (Хо). Такиьг образом, можно дать друп)е определение В1>сдельной точки по(.ледовательпости.
эквивалентное определеник) 1. Определение Й. Точла. х ниэывиется предельной точгкой послсдооолпсльт(осттл (хо), сели иэ:лпой послсдооапгсльткюпги моэм>но вь(делит,ь т)одт>осоледоватпельность. сходящуюся к эь Отметим (лелук)шее утверждение. Лемма 3. Каэ>сдал сходящаяся пос.гедовотельностпь иметп, тполько однд пределы(тио тпочк>1, совиадиющдю с прг делал( отпой последовательности. Д о к а з а т е „1 ь с г в о. Отметим. во-первых. что предел а СХОДЯЩЕЙСЯ ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСтИ (>сл) ЯВЛЯЕТСЯ ПРЕДЕЛЬНОЙ тОЧ- кой этой по(1,>едоват(льности, поскольку в любой е-окрестности тОчки а содержатся В(ч'.
эл(.'ъ1енты последовательно('тп, на'1иная с некоторого номера. Убедимся, гто у сходящейся по(щедова- 82 пгкдкл поолкдовиткльиооти ГЛ. 3 тельности нсэт других прсэдсэльных то'сек. Дс>йствитс'.льне Ь вЂ” ссрс>дальная точка сходяссссйся пс>с:>едовагельнос"ги. В силу леммы 2 иэ 1хп) можно выделить подпск н>дс>вательность 1х>п, ), сходя>с>у>ося к Ь, но .:попая волги>с.ледоватс>лыпя:ть ~ходящейся последовательности имеет предел а (схс. и. 1 этого па)>г>графа), и поэтому Ь = а.
Приведем пример пос >едовательности, имен>щсй две предельные точки. Докажем, что последовательность 1„2. —,2, —. 2,..., —.2... '2' '3' "' 'и" Рис. ЗЛ ') См. определение 2 предельной точки. а> ') 31ы говорим, по число а лежит правее числа Ь, если и ) Ь (гаг. 3 3 гл. 2). имеет толысо две предельные то >ки О и 2.
Очевидно., "по эти точки являются щх>дельными точкамги рассматриваемой последовательности,поскольку подпоследовательность 1, 1>2, 1>3,... ..., 1 />и ... этой последовательности имеет преде„> нуль, а подпоследовательность 2. 2, ..., 2.... имеет предел 2 ). Других предельных точек у этой пос;седовательности нет. В самом деле, пусть х любая точка сисловой оси, отличная от точек О и 2. Расс мотрим неперекрывао Х 2 ющиеся е-окрестности точек О, 2 и т (рис. 3.1).
В е-окрестностях то сек О и 2 содержатся, начиная с некоторого номера, все элементы последовательности, и поэтому в указанной -окрестности точки х находится лишь коне гное число ее элементов, т. е.х не является предельной точкой. 3. Существование предельной точки у ограниченной последовательности. Справедливо следукнцее замечательное утверждение. Теорема 3.16. У всякой ограниченной последовательности существует хотя бы г>дна, предельная гпочксп Д о к а ч а т е л ь с т в о. Так как последовательность (хгг) ограничена, то существун>т вещественные шсла т и М такие. что все элементы хп последовательности (х„) удовлетворьпот неравенствам т, ( ггг> ( ЛХ. Рассмг>игрим,множество (а:) всщес>гпве>гных чисел:г таких, чтг> нравее2) каждого иг этлгх "сисел либо вовсе нет .элементов последовательности 1хп). либо таках элелсенлпов лиигь кс>не"снве число.
Множество 1гх>1 их>е.- ст хотя бы один элемент (напрссхгер, гисло Ы) и ограничено сни:зу (л>обык> >ислам, мсныпим т). В силу теоремы 2.1 у мно>ке- свойства ьн оизвольных ноолкдовйткльнооткй 83 а е ) Цел«со<)б)раас)ос)та обоэиачепия этой нижней грани символом х бу)Сот вь)я<77)о) са ниже. ства (т)) существус т точная ниэюнля грань. которук) мы обозна- чим через У ). Докажем. что это число х и является предельной точкой по- следовательности (хи).
Пусть е любое положительное число. Число У вЂ” е заведомо не прин))дле)?К)гг мнОже.- х — а х х' У+а с,твт (.7,), а псытому правее числа х — " леэюит бесконечно много элемен!'ис. 3.2 тнв 7)вслед<)всстп«льнс)с<77171 (хи). По определении) точной нижней грани найдется )исв)О х< из множества (х). удовлетворяющее неравенствам:с ( х' ( х + + е (рнс. 3.2).
По определении) множества (х) правее х' лесясипс и«. более ч«лс конечное, ч<асло элементов последовастсльност<177 (;Си). Стала бнтЬ, На ПО.,)уСЕГМЕНтг (У вЂ” с,:С'1< а тЕМ бОЛЕЕ И 11 е-окрестности точки х содержится бесконечно много элементов последовательности, т. е. У является прс дельной точкой после- ДОВатЕЛЬНОСтИ (Ха). ТС)ОРЕЗЬ)а ДОКаЗаНа. 3 а м е ч а н и О 1. Обратимся еще раз к множеству (х), введенному нри доказательстве теоремы 3.16. Мы доказали, что точная нижняя грань У этого ашожества представляет собой пре<пельнук) ТО*1к" после, довательности (хп) До- х х' кажем, что ни <)дно чс)ело:с.
превпсхвдяшсе У. не является )сред«линой !'ис, 3.3 7ПО"<квй 710«77Е)двваП)«льти)- с)пи (х„). т, е. х является наибольшей предельной точкой этой пос зедовагельности. Пусть х лк)бое число, превосходящее х. Выберем ) 0 столь малым, чтобы число х — с также пре- восходило число:г. (рис. 3.3). По определению точной нижней грани найдется чис)л::' из множества (х), ле?кащее левее х— — е. По определении) множества (:с), правее:с<, а стало быть. и в с-окрестности точки х лежит не более чем ксшечное чиссю эле- ап Нтеи ПОСЛЕДОВат«ЛЬПО«тн (Ха).
Это И ЛОКЕКЗЫ))а<)т. Что не является предельной то )кой. Определение. Настбольи)оя 7<ред«льнаа точка х последо- вательности (хп! на<<сава«и)ся в е р х н и лз 77 р е д е и о м это<1 послед<)ва)пельно«тп и Обвэн<гчается символом х = 1пп:«77 77,— )ос Замечание 1 позволяет утверждать, что р всякой ограничен- ной посл«д<)вательности с<уилеспсву«771 верхний предел,.
пгкдкл иоолкдонйткльиооти Гл. г Совари«е!«Ио аналогично вводится понятие 7<«э)снего прсд()в ла х «п)шн;донате).«ьностн (х„)., который Огйн«д(".ля1«тся как нана<ни) ш(«71 пределы«ая Точка этоЙ по<си',донат<.)«ьносги. Для ниж- НЕГО ПРЕДЕЛа ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ООО:лиаЧЕН(П' Х = 1)Ш Хи. Су<л)ест()вовс!псле н«лн)него предела у лн)бой огриниченной поСЛЕС1«аан«)ЛЬШ«)тн (Хи) дОКаЗЫВастгя В ПО;ШОП апаЛО~ИИ С раесу>кдениями теоремы 3.16 н замечания 1 к этой теореме. То,!Ько на этот раз с ледует рассмотреть множество (х) всщественных чисел х таких, что левее каждого из этих чисел .зс)жит не бал< е и'.м кон<"шо<'.
«игла элехп)птов -)той пошп'дове<т()льности. Итак, мы прихОдпм к слРЛЬ 10п«Рму утВР1пкдРпию. У всякой огрслтл<лченной тлос))<«<1овслтт«Р((77<ос<тли, сутйествутот <)<у)<тп«<лй, <л 7(тлене)ттй пределы.. Извлечем е«пе ряд <си'дствий из рассуждений теоремы 3.16 и «амечания 1. Следствие 1. Ьлтл (а, б) <лнт>)ервалл, вне ноны)рого леэнг(ап лииль конечпос число элементов огран«чснной, тлосгледоввтпельносп>и «сх„), а х и х ниэн)н)ий и верхний пределы этой последи«а«пель нос тпи, тоо инттг 1)вил (х. х) с)оде1«лс<<лттлс)л в <лнтт)е1)вслл«е (а„б) 'и пГ)э7нам7! и х (~ б а. Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как правс е точки б находится не более чем конечное число элеъ«ентов пос<ледовательности, то Ь принадлежит указанному в доказательстве теоремы 3.16 множеству (х) н поэтому х, < Ь. Рассуждая ана,югпчно, убеди>к>я, что а ( х.
Это и о«начает, что интервал (а,б) содержит интервал (х,х). Следствие Й. Длл лтобого положе)ипельпого чллсли е )лнтервал (т, — е, х + «) содерэн:ит все элементы последс)вап>ельноспш (хн), начинал с и«копи)його номе1«л ()<лст(лс)л<л)его, коне>чно, Опл е). (о к а з а т е л ь с т в о. Так как х являегс<я точной нижней гршыо множества (ег„), указанного при доказательстве теоремы 3.16. то для л<обого «) 0 найдется число х'. меныпее х + + е и принадлежащее (т). 11о это означает, что направо от х', а <тепло быт>ь и 7<с)туп«о От ннт«Р«ала (<К вЂ” «ЛК+ «) лаю«ети леон)итнь л(лиль кОне.'"4140<! Чи()ла эл<лм<ин7пав т<ослс«диван««лти<(н)- ти (хо).
Аналогично докжывается, что и налево от интервала (:с — е, х + «) можРт л(>жать .лишь кон<«чно<. чис 10 э:п.ментов пош!(«донат(«льно(>Зги (х«,) ° 3 а м е ч а н и е 2. Выясним вопрос о том, сколько предель- НЫХ ТОЧЕК МОжвт ИХ«РТ) ОГРаНИЧЕШ«аЯ ПОСЛЕДОВат(«ЛЬНОСтЬ (Хи). Обозначим через х и х соответственно нижний и версний п1%делы э«ОЙ п0<:п«донат<«льности.
Оч<)видно, «т0 все предельНЫ<' ТОЧКИ ПОСШЕданатНЛЫ«ОСтп (Хи) (СКОЛЬКО бЬ) ИХ НИ бЫЛО) лежат на сегменте (х, х). 1 ! сВОйс'ГВА н РОизВОльных ВОслеДОВАтельностей 85 Если ш = х ), то последовательность имеет только одну предельную точку. Е<;-ш же х ( У., то последовательность имеет по крайней мере две предельные точки ге и х. Отметим, что последовательногть может ихп'ть, побое и даже бесконе гное число предельных то >ек. П<и ледовательность 1, 2, 1><2, 2, ..., 1<<><, 2, ..., рассмотренная в предыдущем пункте, имеет только две предельньп точки: нижний предел ш = 0 и верхний предел У = 2. Приведем пример по<шедовательности, имсющ<зй бесконечно много предельных то и к. Ра<х:мотрнм, например, последовательность, элементы которой бе:! повторений пробегшот все р щиональные чп<ла сегмента !О, 1] Я), Очев>лдно,,побая точка этого сегмента будет предельной точкой 5 казанной по<в!слепят<.льно<'ти.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
