В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 14
Текст из файла (страница 14)
очевидно, количество п~'~'«всех чисел т оупет равно р, н мы получим после несложных пы шслений, что 2 [ — «Р «' Ю З- г««««) Р ') «,+,« / "~ Р" — « р1з- 2 « *-о Сумма 2 п»«г), стоящая под знаком фигурной скобки, завнгит о'г выбранного нами спогоба округления, но в любом случае зта гумма будет целор' — « численной. Второй член под знаком фигурной скобки при любом 2 ч е т н о м р не будет целым. Таким образом, при любом четном основании р средняя ошибка Ь пе равна нулю.
Это означает, что при ллобом фиксированном способе округления, опре «еляемом лишь отбрасываемыми разрядами, ошибка от округления до меныпего числа разрядов будет иметь систематическое смещение при любой системе счисления с четным основанием. С другой стороны, легко проверить. что обычное «школьное» правило округления г любой системе с нечетным основанием приво,«ит к «несмещенным» ошибкам.
1л ) Символ 2 есть символ суммирования тех гзагаемых. которые записаны вслед за зтим символом. Если указанньп слагаемые зависят от номера й то запигь 2 обозначает, что нужно произвести л:уммирование по всем значения»| '«От «п цо 7«. ГлйВА З ПРКДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ О:спой из основных операций матсматического анализа являстся операция предельного перехода. Эта операция встречается в анализе в различных формах. В настоящей главе рассматривается простейшая форма операции прсдс:п,ного перехода, основанная на понятии предела так называемой числовой последовательности. Понятие предела чистовой постюдоватсльнскти позволит нам в дальнейшем определить и другие формы операции предельного перехода. у 1.
Числовые последовательности 1. Числовые последовательности и операции над ними. Из элемечттарного курса читатель имеет представление о числовых последовательностях. Пряхи'рами числовых последоватсльностей могут служить; 1) последовательность всех элементов арифмстичсской и геометрической прогрессии, 2) последовательность периметров правильных 11-угсзльников. вписанных В даННуЮ ОКружНОСтЬ, 3) ПОСЛЕданатЕЛЬНОСП Х1 —— 1г;Га —— 1,4, та = 1. 41...
приближенных зна и ний числа ъ'2. Этот пункт мы начнем с уточнсння ПОият11я *сис;10вой ПОс;1сдоватс;и тюсти. Если каждолгту сислу и псипуральпиео рядо чисел 1. 2г......, 11,... Ставится а еоотаететпаие по определтьчалсу загсотггг тгено- П1ОРОЕ ОЕтйгтетастстгОЕ СиСЛО Хгн та ЛишатежснтО ВаПУМЕРООангти: аещеетпаетстсмх чисел Х1 та ° ° ° тгг (3. 1) мьс и будем тсааиаатпь числовой последооательпостыо или просто последоаатпельтгостью.
с1испа тп будем называть «лементамв или членами поачедоватетьности (3.1). Сокращенно последовательность (3.1) будсхс ОбаэиаЧатЬ СИМВОЛОМ тСХгг). ТаКг ПанрнМСр, СПЬ ШО;ЮМ ~1Сгтг) будем обозначать последовательность 1, 1/2, .... 1(тг, ..., а симво.юм (1+ ( — 1)п) последовательность О, 2, О, 2, ... гл. 3 пгкпкл пос лкдовлткльпсзоти Ввсдем понятие арифмсти неких операций над числовыми послсдоватсльностями.
Пусть даны произвольные посчсдоватсльности:Г,1, х2...., Хд, ... и у1, у2, ..., уд, ... С!умной этих !нкщсдоватсльностсй назовем г!о<'.лсдоватс:п,ность х! + уг, хг+ + 7!2... °; Хд + Уд ° ° ° (И-1И (Тг, + Уд )), Раз!!ОСГГ!ЬЮ вЂ” !ЮС.1С;70- ВаТ!'ЛЬНОСТ! Х1 ' У1, .'Г2 — У2, ..., Хд -- Уд, ...
(ИГ1И (Гг, — 72гг~~). 71Р07юасдг!И!ЕМ ПО!СИ ДонаТС:1ЬНОСТЬ Х! 'У1, Х2 П772...., Хгг'Уд ° х! х2 г (или (Хгг.гуд)), часптым послсдовательность — ' 91 !и у (или ( — ")) . 7':г„) 3 а м с ч а н и с. При определении частного с— ) нужно трсу. боватзч чтобы осе элеме7!ты уд !!ос„ш;совагсльности (уд) были отличны от нуля. Однако если у последовательности (7угг) обращается в нуль лить копечггое. число алел!ег!и!ос, то частное !' — "1 су,! можно определить с того номера, начиная с которого все элементы Уд отличны От нрлгг. 2.
Ограниченные и неограниченные последовательности. Определение 1. Последосагпельг!Ос!па (хд) назьюеетсл о г р а и и ч е и н о й с а е р т у (с 7! и з у), если ссйцестсует, такое аесйестсез!7юе число ЛХ (число 7п), что каэгсдыс! элемхп!т .Гд последователю!ости, (хд) Удоелетгзоулет, неуаеспгстоу хд < М (хд > т) !) При этом число ЛХ (число гп) наз! пзасгтс:я серхг!ей' грег!ью (ниэюиеа гранью) пос:!с!сова!с!!ьности (х„Х, а неравенство .Тд < М (хг, ) и!) называется услосиелл одгсраг!7!'!717!7!Ос!пи посл сдов аз ель ности сверху (си изу) .
Отметим, что гпобая ограпичсгшая сверху после;шватсльность (Гд) имеет бесчисленное множесгп!о веРхних гРансй. В самом дс.!с, если М верхняя грань, то любос чис !о М', большее М, также является верхней гранью. Подчеркнем, что в условии тд < ЛХ ограниченности пос:.!сдовательпости (х„) сверху в качсстнс М можс! рассма!рина! ыя,г!сзбни нз !ирхннх грсн!Сй.
Аналогичные замсчшгия моэкно сделать в отношении нижних граней ограниченной снизу последовательности (хг,). Определение 3. Последосателы!Ость (хд) иазысаетсн огра!!и"!Сг!7!О77, с обеих сварог! тли ггросд!о о г р а, н и ч е и и о й, если она г!гра!Гачеиг! и соерсу. и снизу. и. е. если сг!и!Сгггг!а!!юг!! числа и! и ЛХ гпакие„что хгобой элемент, хд эггит, последосателы!Ости удослетаорлет 7!граве!!Отвале гп < хд < ЛХ. ) Это определена!' полностью аналогично опреаеленнге дграннчснного сверху (снн!1) множества вегиественных чисел (см.
и. 5 З 1 гл. 2). ЧИС'гОВЫЕ !!ОС' 'гЕДОВктЕ'гЬ!!ОС'ТИ Если пос' гслтоватсльность 1х„) ограничена и М и эп. се верхняя и нижняя грани, то все элементы хп этой гюслсдоватсльности удовлстворянэт неравенству )х„,! < А. (3.2) где А максимальное из двух чисел ~ЛХ~ и ~ггг~. Обратно, если все э,н*,менты послсдова.ншьности (хп) удовлетворяют неравенству (3.2). то выпо.шякэгся также неравенства — А < хк < А, и, силовательно, пос;пдовательность 1ха) огРапичена.
Таким обра:эом, неравенство (3.2) представляет собэой,другую форму условия ограниченности псклсдоватеэп ности. Уточним понятие нсограгси !от!ой последовательности. Последооагплльпосгпь (х„) называется неограг!ачетгой, если для любого ггсэлосяссггпелыгсэго числа А гюйдется элелогнтп, ха зпигй псэслсэдосэапгсэлыгоспт, удовлетворяющий первое!!стоу )хгг( ) А. Рассь!отриь! несколько приъиров: 1) Пос.юдоватсльность — 1. — 4, — 9, ..., — и, ... ограничена свс'рху и нс ограничс на снизу. Верхней гранькэ этой посысдоватс.сьпости является лкэбос число, пс меньшее — 1. 2) Поссюдовательность 1, 1/2, 1!3, ...., 1!и, ... ограничена. Действитеэгьгго, верхней гранью этой последовательности является .:побое число ЛХ ) 1, а нижней гранью ..
побое чис .ю гп ( О. 3) Последовательность 1. 2, 1. 3, ..., 1, и, 1. (гг + 1), ... нс ограничена. В самом дслс, каково бы ни было положительное число А. среди элементов этой посл«допит!с!внести (сс четныъпл номерами) найдутся элсъгснты, превосходящие А. 3. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Определение 1. Последовательно!ешь 1хп) гюзыоается б е с к о и е ч н о б о л ь иг о й, если для любого полозюителюиого числа А ') лгозкно указать !гол!ар Хтакой ). что прин, > эУ асе эгемегггггы хк этой г!оследооагаельноспт удсэсээаегггсгоряют нера; вен«шоу /х„! ) А 3 а м с ч а н и е.
Очевидно, что лкэбая бесконечно большая последовательность являетсл неограниченной, поскольку для:по- бого А > О моэгспо указать !юъп р Х такой, что при и, > Ж ос.е злееиенть! ха удовлетворяют неравенству (х„) ) А, а следоватс,п,но. для:побого А > О найдется по крайней ънрс один такой элемент хн, гто (х„( > А. Однако нсограннчснная пос ссдоватсльность может и нс быть бесконечно большой.
Напрггъгср, неограниченная пасси'.давал„п ность 1, 2. 1, 3, ..., 1, гг,, ... нс'. является бесконечно большой, поскольку при А ) 1 неравенство (х„! ) А не имеет мс«та для всех ха с нечетными номерами. ') Сколь бы бояьппсм мы его нк к:шли. г) Так как помер Х зависит от числа 1, то иногда пишут Х вЂ” — Х1А). гл. з ш кдкл поолкдовлткльнооти ОЮРеделентле 2.
Пттслег)гтгтательттгтстгтго 1гтт,) ') лалътаетпсЯ б е с к о п, е ч н а м а л, а й, если для любого пала;ткитлелтпгога "гнала е "1 меток:ттгт Ука;гатпь номгту Х такай' ) т чипа пРи и > Х все гтггетиггтттгтвг, ол опитй тил:ледгллмпсльнастпи удогтлетпворянтпт неравгнгтлву )гтгг! ( е. Рассмотрим следующие примеры: 1. Докажем, что последовательность гт„г) . г)з, .... г)л, ... при ~ д ~ ) 1 является бесконечно большой. а при ~ г) ~ ( 1 бесконечно малой.
Сначала рассмотрим случай ~ й ~ > 1. Тогда ~ г) ~ = 1+ Б, где б ) О. Используя формулу бинома Ньютона, ттолучим ~ г) ~'' = = 11+ б)' = 1+ бХ+ положителытые чъны). Отттода (г)1к > г1Х. 13.3) Фиксируем произвольное число Л > О и выберем помер Х столь большим, чтобы имело место неравенство бтт7 > Лл). Нз после;1него неравенства и неравенства 13.3) вытекает неравенство (г7! ' ) Л. Так как при тт, > Х и при (д) > 1 )г))л > (г) ( ' 1в си- ЛУ Снсйетн ПРОИ:1ВЕДЕПИЯ ВСШЕСтВЕННЫХ ЧИСЕЛ). тО 1Г) )в > А ПРИ н > Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
