В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Заметим, что для задшшя чисел в современных электрслшых вы )и<лит<)л< ных маппшах напбол<)<1 часто используется двои 1- ная си<7тема счисления, а ино<да троичная снстехса счи<;<ения. Это объясняется тем, <то входящие в конструкпию электронных минин радиолампы и полупроводниковые элементы имеют чаще всего два. а иногда трн устойчивых состояния (наприк<ер, лампа )акрыта„ток не идет одно устойчивое состояние: лампа открыта, ток идет .
другое устойчивое состояние; третье устойчивое состояние возникает. если рвиличать направление, в КОТОРОМ ИДЕТ ТОК). В связи с отмеченным обстоятельством возникает необходимость в рса)работке алгоритмов перевода чисел из десьтгнчной< системы счисления в двоичну)о систему и обратного пс"ревода чисел из двоичной системы в десятичную. Примеры таких алгоритмов '<птахе.,<ь и )йд<<т в Доно,,тнснии 1 к настоя<пей главе. 3. Вещественные числа и правило их сравнения.
Рассл<отрим множес<пвсг всевсгзмсгэю)7<ь<х бгс<слсгнеч)<а<<11 с)еся<пичнь<х дробей. Числа, прс<дс<павимые этими дробями, будем навивать асс<1<<С<7)ВС<7<7<Ь<М<Г, ) Данное вещсств<нно<' пн7ло бул<*м на)ывать поллэгснп<ем— пьем, (сгп)ри<1а<сгель<<ь<м), ес)ш оно представимо в виде положительной (отрипатс)льпой) б<юкопечной десятичной, ц)оби.
В состав множества вещественных чисел входят, кон< чно, и во< рациональные пиша, нбо все онп представимы в ви.п) бесконечных дес)минных дробей. Пред<свив,пенне <анного рационального числа в виде бесконечной десяти шой дроби можно поят'<ит)ч иапйим< Р, из <;1<. 11 <ОЩих сооойажений. „1юооь<У Рапи- ') Как уже отмена.юсь а сноске 7) на с. 20. поюпие чнс.)а относится к начала нм по«ятням, вкщкствкпнык числа ональному 1ислу соотвеетстВует олей()деле)иная то 1ка ЛХ чпслОВОЙ ОС11, а э)ОЙ Точи<". Ставится в соо'е'Ве',тстгн<'. Прее Помощи способа, указанное.о и пункт(л 2, опреде)ее(<<лая Оссконее шая десятичная 1 дробь. Так, рациональному числу — ставится в соответствие бес- 2 конечная десятичная дрооь 0««1999..., рациональному числу— 4 3 бесконечная десятичная .еробь 1.
333... Вещественные чп< еа, не являнпцпе<я рациона.еьнымн, принято н<слывать иррациональными. Нашей задачей является по<щедовательное перенесение на сыучай произвольных вещественных чисел трех правил и всех Основных свойства 1нщиональных П1сеел, пере пп' пенелых В и.
1. Тем самым для вещественных чисел будут обоснованы все щ)аВн:еа ьо<ементй)НОЙ алееебры. Относящиеся к й)нфметле Еескпм действиям и к сочеганшо равенств и неравен<(гв. В этом пункте мы установим правило сравнения вещественных чисел. Прежде и-и перейти к формулировке этого правила, договоримся об определенной форме записи тех рациональных чисел, которые н|ждставеемы в велдс коне"ее<О<1 деесяпт«ее<о<1 дроби,.
Зееаеегиал, что указанные рациональные члл< Еа допу(кают двоякйн) запись в виде бесконечных десяти шых дробей. Например, 1 ! чп(езо — = 0.5 можно записать: 1) в виде — = 0«4999 ...; 2) в 2 2 вллде — = 0,5000 ... 1 2 И вообще рациональное чн<що ело«а) ай ... атм где аее ф О, можно записать: 1) в вллде ао, алой ... а„л(ао — 1) 999 ...; 2) в виде ао, ала) ...
Оп 000 ... Первая из указанных двух записей может быть получена по способу, описанному в и. '2, а вторая формальным превращением данной конечной десятичной дроби в бе(конечнуео еюсредством доши:ывания нулей. Е«1ы договоримся 111)ее, сривншпш веецественныес нисе)л польло- В 11 ы:я длее у каз«)нных рациональных чисел лип)в ее<ей<)ой из этих двух форм записи в виде бесконечной десятичной дроои. Иными <шовавен, при сравнении вещественных чисел влы не будем употреблять бесконечные десятичньп дроби, все десятичные знаки которых.
начиная с некоторого места. равны пулю (зее нсклк)чением, конечно, дроби О, 000 ... ) '). Перейдем теперь к формулировке правила ()1кевееснеея вещеСТВЕН111.1Х 1НС()Л. ) Принятие )акой договоренности вполне соответствует процессу измерения отрезка. описанному в п. 2, ибо описанный процесс не может привести к бесконе шой де(в(личной дроои, у которой все десятичные знаки, начиная с некоторое о месс к равны нулю. ткория икщкстикнпых чискл ГЛ. 2 Рассмотрим два прои:»вольных вещественных числа и п 6.
Пусть ятн .сис са 111»е»Лслг»визсьс с;и'дуюгцими бсгс:конечными дссяти шыми дробями: а = жссо, а!ай ... а„..., (24 6 = ~!»о! Ьс!»я Ьн (2. 1) (где из двух знаков ж бс рется какой-то одигг). Двсг вещественных числа (2.3) и (2.4) ыгсзываготсся Хи»выжми, ес пз они имекзт одинаковые знаки и если справедливы равен»:тва с»о = Ьо сп = Ьс! , о = Ьн! Пусть даны два неравных вещественных числа а и!». Ъсгтановим правило, при помощи которого можно прийти к зак;почению, каким знаком, > пли <, связаны эти два числ»а. 1. Пусть с:начала о и Ь обо, гсвг»ге»Х»гзцсгтелг»гсвг, и имеют следующие представления: а = оо. и,сгх ... а„...; 6 = Ьо. 616а ... Ьн ...
Так как чис га а и 6 не равны, то нарушается хотя бы одно и'г равенств оо = Ьо, аг = 61, ..., о,„= 6,... Обозна п|м через Ь наименьший из нспгс 1!он н, сьл»г кото!»ых на1»ус»гнется 1»авенство а„„= Ьи г». Тогда мы будем считать, что в, > 6, если ссь > Ьс,, 1! и и, < Ь. если оь < Ьсс.
'2. Кслн из двух чисел а и 6 одно неончлсцательно, а другое огпХ»гсгсссгггеллоссг, то мы! сстественно, будем считать, что ш отрицательное пило больше отрицательного. 3. Остается ргпжмотрсть с:сучай, когда обо, чгглсла и гс 6 от!тцосгпезсьнь».,7озовс»ргсмсгя низнватль м о д р л е м вещесягвгннозо чсила а неотрицательное, вещественное чггсло, обозна»чаемое. сгсмволо вс / сл ! и рсгвное десятичной дроби. гсредстивлшюсцей число а, взятой со знаком +.
Если а, и 6 оба отХ»гсцсггпгелг»гсьс, то мьг будем считать, что а ) > 6, если /6/ > / а,/, и и < 6. если / сг/ > /(з! -). ! ! » Итак мы считаемц что ас = Ьс», а! = Ьг,..., а» ! = 6» с, но а», ф 6».. г Легко видеть, что сформулированное правило сравнения вещественных чисел в применении к двум радиоиальныь! числам приводит к тому же самому результату, что и правило сравнения рациональных шссл, указанное в сноскс г. на с.
38. В самом дс ле, достаточно рассмотр»сгь лишь случай двух иеонсрицательнмх рапионшп.ных чисел и и Ь. Пусть а > Ь согласно правилу сравнения рациональнъгх чисел. и пусть а = ае, а!аг ... а„...; Ь = Ье, 6»Ь» ... Ь„ Предположим, что раниональному числу а ссхгтвстствует на числовой оси точка ЛХ», а раппа»!алиному числу Ь»о»ка »РХ . тогда ясно, гго то гка ЛХ! лежит правее точки Ыз. Вместе с тем из и. 2 вытекает, что целое чис- 1 ла аеа»,. ас(ЬеЬ! ... 6»д показывает, сколько раз — часть ъгасштабного !0» отрезка ОК укладывается в отрезке ОЛХ! (ОЛХ»! с выкинутьш правым конном. Поскольку отрезок ОЛХ! больпк" отрезка ОЛХ», то найде! ся такой помер Ь, что ас»а! ...
и» ! = ЬсЬ! ... 6» », а аеа! ... а» > Ьео! ... 6»з но это и означает, что а > Ь саг.лис!*а нраеилр сравнения весцсствснных сисел. вьщистннниыи числй 'Убедимся, (то щ)авила сравн( ния Ве(ц()ственных .Икх л Оо:(а- дает свойством 1', сформулированным в и. 1 для рациональных чисел. ИЬ1ш!Ио, доках(ел1, что Р()чи а, 6 и с щ)ои')вольные ВР- )цествспны<) числа и сслп а > 6 и Ь > с. то а > с 1свой(тво транзитнвностн знака )) ).
Зля док(гзат<<чьства этого свойства рассмотрим три возможных случая. 1. Пусть сначала с ) О. Тогда из правила сравнения вещественных )исел очевидно, что 6 ) 0 и а > О. Пусть и = = а». О(ия ... ((н ..., 6 = 6», 6(6В ... Ьл ..., с = с». ()(сч ...
с„... Обозначим чере) Й наихп ньший из номеров и.. для ко- тОРЫХ ПаРУ(настен РаВЕНСтВО а.„= Ьлс 1Т. Е. ПРЕДПОЛОЖИМ, Чта а» = 6», а) = 61, ..., Оь 1 = Ьь 1, аь > Ьь), а через р наименьший из нам<'ров п„для которых нарушает<я равенство 6„= сн 1Т. е. предположим, что 6» = с», 61 = с(...., 6, 1 = ср 1, Ь„> ср), Тогда„если обозначить через т, наименьший и:) двух номеров )с и р, то о)дут справедливы соотношения а» = с», и( алл,— 1: Сл) — 1, аш ) Слл . а ЭТО И ОЗН» 1Ж Т.
!ТО и ) С, 2. Пусть с ( О, а > О. Тогда рав(нство и > с будет справедливо при любом 6. 3. Остается расса(огреть случай. когда все три пила а, 6 и с отгрпцал(ельнь(. Так как и > Ь и Ь > с, то /Ь/ ) !и,/ и /с/ > ) )6!. Но тогда, в силу уже рассмотренного выпи" (луч»я трех положительных чисел, , 'с( > (а!. а это и означает, что о, > с. СВОЙ»тВО тра1Г)итиВБОсти знака ) полностыО ДОкл:)апо.
4. Приближение ве(цественного числа рациональными числами. П этом пункте мы покажем, что всякое веществ(нное число можно приблизить с .любой ст(пенью точности рациональными чи(лазш. Рассмотрим произв(шьное в<-щсственно() чи<1)ю и. Ради »пред(.1(енности бЬд()м с п(та(ь это (и(с(о НРотрипательным и щ)<.дсчавим его в Вид<. бе< кон()зной( д()с)ги( 1- пой ДРоби и = ао, а(оа ... пш ...
Обрывая указанную дробь на н-м знак( после запятой, полуп(м РЩиональное чис:(о и», г))ая ... ан. Члве.чи (ив это ч)к"ю н( 1 1 —, полу шм друго( рапиональное (и(ло о», а(ая ... а„+ —. 1О- ' 10" Из правила сравнения вещественных шсел легко установит(о чтО дчя люООГО нОм("ра н сщ)ВВРд.чины н('раВ(нства 1 и», и(ив ... Г(н ~ (и ~ (О,», ГЛ(п,.. иь + —. <(2.5) 1О- ' Нерав<нства 12.5)) означают, что Вс(йестосннпс число гс заключено,мс(чк)дй днрлт р)()<гг)нг)льны.мн числ»ми„разность мсэк)др ! ко(г(прими раина —. П1)(г, этом номер и можно гзллп((л,г()обг)(1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
