В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Есщл же щи ) аэ то, заменив в правой ча- ) Ради определенности мы считаем. что (1 > с. 2) ) )Гскуррснтная формула 1от латинского азова «гссппспва возвращающ)(йся) формула, позволяющая выразить 1н+ 1Рй элемент послсдоват(щьпости чсрс) значения сс первых п элементов. 76 гл. з рн кдкл послкдовиткльности Стн НЕРаВЕНСтВа Х„= В, + Хо 1 < а+-Хв ЧИСЛО а, ПРСВОСХОДЯЩИМ , .'2 его >ислам хо, мы полУ шм хт < 2хв, откУда хн < 2. Итак, мы доказалп, сто последовательность (хв) огра>си пи|а с:верх1. По теореме 3.15 она имеет предел. Обозначим эни предел через с. Очевидно, с. > О. И:з рекуррентной формулы имеем соотношение >о — В+ >в — 1: ,д которое о>на сает. >то последовате»внести (хн) и (а, +:св с) тождественны. Поэтому их пределы равны.
Тасс как первая из этих последовательностей имеет предел с, а вторая в, + с. то с 1 т,/Г+ 1 = в, + с. От>тода, поскольку с ) О, находим что с = П р и и е р 2. Рассмотрим теперь последовательность (хн), с пс>мощью которой обычно вычисссяк>т квадратный корень из пп,южительного числа а на современных быстродействуюсцих электронных ъсашинах.
Эта последовательность определяется следуя>щей рекуррентной формулой: 1Р о1 хне> = — 1хв+ — ~. н = 1,2, где в качестве х> может быть взято любое положительное число. Дока>кекс, что эта последователье>ос:ть сходится и имс'.ет своим пределом сисло >>а. Прежде в~его докажем существование предела пскледовательности (хв).
Д»я этого достато сно установить, по последовательность (х„) ограни сена снизу и, начинсся со в>порога нолсера, являеп>с:я не вос>рас>так>с>1е>1. Сначала докажем. что последовательность (хв) ограничена снизу. По ус">овин> х~ ) О. Но то>да из рс>суррс>»твой форм,лы, взятой при н = 1, вытекает, >то хг > О. а отсюда и пз той же формулы, взятой при н = 2, вытекает, сто ха ) О. Продолжая эти рассуждения. мы дока>кем, сто все хв ) О. Докажем теперь, что нри тс > 2 все хв йдовлетвор>ион»ссривенству хв ) >/а. Переписав рекуррентнук> формулу в виде а; т> = — ( — '+ — ~. воспользуемся почти очевидным неравен- 1 ством 1+ — > 2 '), справедливым для любого 1 > О (хсы бс рем 1 = = — "" 1. Получим, что хнт> > т>а при лк>бом п.
> 1, т. е. хн > >а>, >> а Г начиная с номера н, = 2. Докажем, паконеп, что последовательнс>стъ (:св) пр>с н > ) 2 не возрастает. Из рекуррентной формулы получим х >> > >лв доказательства зто>о неравенства достаточно заметитаи что при С > О оно эквивалентно неравенству С вЂ” 21 + 1 > О.
77 монотоннын носльдовм н!!ьности — 1+ —,, й Огскэдй, 1'Гййтывйя„'Гто;гее ) у'пэ, нйидем (~ 1, или эги ) ти ! (при и ) 2). Те>к как последовательность (ги) при п ) 2 невозрастающая и ограничена снизу числом е((а, то она имеет предел, не меныпий з(а (см. теорему 3.15 и теорему 3.13). Обозна;Гая этот предел через с и учитывая, что 1!ш;го+1 = с и э э - э оо 1ш! ( — (го+ — ")) = — (с+ — ) получим с = —, (с+ — ) '). С.и*- довательно, с = Е/а. 3 а м е ч и н и е 1. В рассмотренных примерах использовался следующий часто употребляемый прием разыскания щ>вдела последовательностей.
Сначала устанавливается существование Н1>(>дезлй, а зйтРм находи(ся е10 '!и(* ГОВОР знй'и!ниР из уравнения, которое п(элучает(я из рекуррептной формулы путем замены В НЕ',й Хээ И ГГтэ ! ! ИСКОМЫМ ЗНа'ГЕНИЕМ С Щ>(>ДЕ!.1а ПО(с!ЕДОВВТЕП!Ь- ности (ти). 3 а м е ч а н и е 2. Рекуррентные формулы часто используются в современной вычи(шительной математике, поскольку их щэим(.нениР щ>игодит к ынОТОк1>йтному пОВторени10 Однотипных вычислительных операций, что особенно удобно при проведении вьгшслснпй на бьп тродействукэщих злектропповы шслительных машинах.
Рек'смогренная нами ре'курре>нтн?Гя ф01>КГула Ощ>еде;1я(зт, кйк мы убедились, алгоритм вычи( Гения з(п (мы доказали, что 1!ш:ги = з/а). иэх В дополнении 2 к настоящей главе изучается вопрос о скорости сходимости по(>ледовательно( тн (>ги) к з((пш .'!1ы доказываем. что для лк>бого а ) 1 при ощ>сделенпом выборе первого приближения Гг> уже четвертое приближение >а! дает пйм чи(шо е/а! с ошибкой, не превышакпцей 10 П р и и е р 3.
Докйжеп(, что Гю(!тРдОВйтельность (си). Д.1я когоРой си .= ", их!ее.г пРи лк>бом фик('иРованном (г пРеде.л, Еи+ 1)! равный нулкэ. 1'ак как п1эи достаточно большом и дробь ' < и -Г- 1 ( 1, тО, НаЧИнаяСНЕКОтОРОГОНОМЕра Э"ЭГ, ИМЕЕМ )Е>ээе!( ( (Си~. ПОСКОЛЬКУ / (>(ее! ! =- =- ~ Е>ээ ~ ' 1и'~ ~т! , ~в! и! и,-~-1 и-1-1 Следовательно, начиная с номера Х. последовательность (/ си!) будет ъ!опотонно убывакэшей и ограниченп(эй снизу (например, нулем). По теореме 3.15 по(шсдовательность (/ сиД сходится.
П>'сть с — предел этой последовательности. Из соотноэ Этеэ Рввенктво вытекает ив РектРРентной фоРээхлы:(м тэ = — Г тл, -й — >1 . 78 гл. з ри нднл иослндонятнльиости !ПЕНИЯ ! Сп-!-1 ! — - ( Сп ) ' С и!Д1Ч1Т ЧТО С вЂ” О ТаК КЗК ПР1 Д! Л ,-1 послеДовательности 1! спэ1/) Равен с, и пРеДел послеДовательности ~ ' 7 равен пулю. Г (х! и+1 4. Число е. Применим теорему 3.15 о существовании предела а10нотонной пос,!едОвательнОсти для доказательс1ва существовании при'Д1!Ла по11Л!Донат!".Льно1тп 1хп), элеэ!гптт;ггп к71тс1- рой определяется формулой ' =(" )и Пока?кем, '1то эта посл!'.доват!'.льность (77771л777гпггегп1 'и 17арм7!Н1- 7еиа сверху.
Применив формулу бинома Нькгтона, найдем 1 п(п — 1) 1 пйп — 1)7п. — 2) 1 7п, — +11 + и 2! и'-' 3! пв ...+ п17! — 1Н7! — 2)... [и — 1п — 1)) 1 п,'. 777 Представим это выра!кение в 1шедукпцей форме: хп = 2 + —,, (1 — Ч +. —, (1 — Ч (1 — -) +... -'(1-Ч(1--') (- ') (3б) Совершенно аналогичным образом запишем элемент хп в11 =' —,' ('- п.',) —,' ('- ..',) ('- „,',) Непосредственным сравнением убеждаемся, что 11 < 11'77-~.1; т. е. последовательность 1х„) вг7зрастаи7щил. Для доказательства ограниченности этой последовательности сверку заметим, что каждое выр71жение в круглык скобкак 1 в соотношении 13.6) меньше единицы.
Учитывая также что — < 18 1 <,, при Й > 2, полу !им Итак, последовательность 1хп) возРастает и огРаничена свеРКУ. По теореме 3.15 посшедоватсльностть 1хп) имеет предел. Этот ') Ибо ! 1 — — 7! < ) 1 — ) для любого О < Л: < и и, кроме того, х„ и, п -1- 1 содержит но сравнению с т„липшии положигелвныи член 1 Л СВОЙС'ГВА ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСЗ'ЕЙ 79 1(ред(зл называк)т |ис;|ом (ь Сл(здоват( льне, по определ((ннк), 1 ') и е = 1пп (1+ — ) ( ) 3 а м е ч а н и (). В дгзлз Вейн!ох( выяснит( я, гго чи("и) () игра(т важную роль в матех|атике.
В настоящем пункте мы даем только определение числа е, по не указываем способа вы пиления этого числа с лк)бой степенью точности. Это будет сделано в ш|. 1 и 2 з 16 гл. 8. Здесь мы лишь отметим, тто поскольку х„< 3 и из (3.6) непосРеДственно очевиДно. Зто 2 < хо. то чи(:|о е заклк) |ено в предел()х 2<в<3 (3.7) (в силу следствия 2 из теоремы 3.13). я 4.
Некоторые свойства произвольных последовательностей и числовых множеств 1. Подпоследовательности числовых последовательностей. Пусть:г|, хи,.... х„, ... — некоторая пиловая п(кледОВательно('ть, 1 ги:смотрим прозтзвольнук) Возраст)1кнцз'10 по(си.'— ДОВатЕЛЬНОСтЬ ЦЕ.|ЫХ ПОЛОжИтЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ й|, йя, .... йо, ... Выберем |гз последовате;|ы|Ости (хв) .элементы с поморами й|. йэз .... йп, ... И РаСПОЛОжИМ И:( В ТНКОХ| жв ПОРЯДКЕ, КаК И числа йт: еь,,...,(г.ь„; Полученнук) ш(ловую последовательность будем называть подпоследовителыиютьто последовательности (хв). В ча( тности.
сама по(шедовательность ((гт)) может рассматриваться как подпоследовательность (в этом случае йп = и). Отметим следуклцее свойство подло(ледовательно(той сходящейся по(шедовательности: если последовательность (:гп) с:годится и имеет своим, пределом число и, то и любил т)одпоследовательность отт)о(1 последовитпельносп|и сходится и иместп, сваг(м пределом (осло а. В ('амоы д(ми). так как ((Г55) схОдяща5и:5| по(си'дОВале:1ьность и и - ее пр(з.(( л, то д1я.1к)бого е >О можно ука:зать номер )т' такой, что при и > ))т выполняется неравенство / хо — и / < е. ПУсть (л|.„,) — некотоРаЯ поДпо(шеДователь- НОСТЬ ПО(ГЛЕДОВат(ЛЬНОСтИ (;(п). Таи КаК йк > ))т, ТО, Налнная с номера йн, элементы подпоследовательпости (х|м) удои;и.тверяк)г нергзвенств( !:г„— о / < е. Поэте)(п полно(си)довательность (х|ы) сходится и имеет пределом чи(ыо и.
Справедливо и обратное предложение: если все подпоследовителг.- ности г)инной послсдооателы|остлл (го) сл)одятся. то пределы осех этих под))оследовителы(осте() )х)вт(ы одт(омд) и, том|) 80 Гл. 3 предел последовательности о)се числу а; в частности, к этому оюе числу сходится и, последовательность )х„).,(ействительно, лак как по(лсдоват('льность )хп) также является подпо(ыедователып)стью„то она сходится и имеет пределом некоторое число а. Но тогда и любая другая подпо(шедовательность также сходится и имеет тот же предел а.
Подпо(шедовагельности бесконечно оольших последовательностей обладают аналогичным свойством. Именно, каж:дая иодиоследоват(льиоскгь беекоиечио болыиоб пгвелсдовапгельиости также будет, бескоиечто больилой.,(оказательство этого утверждения аналогично доказательству соответствующего предложения о подпо(.ледовательпостях сходящих(я последова- "1()ЛЬНОСТ()Й. 3 а ы (' '1 и н и е.
Из каждой схОдя1ц()йся ПО("и'.доВат('льности можно выделить монотоннук) сходящунк:я подпоследовательность. В самом деле, если )х(э) сходяп(аяся по(ледовательность и а ее предел, то имеет место по крайней мере один из (ыедук)щих трех случаев: 1) имеется бесконечно много равных а элементов последовательности, 2) в лк)бой е-окрестности точки а имеется бссконе шо много алехи нтов, улов;и)творяющих неравенству хп < а. 3) в лк)оой е-окрестности точки а имеется бесконечно много элементов, удовлетворяющих неравенству х„< а ).
В первом случае сходящейся монотонной подпоследовательностьк) является подшкледовательность равных а элементов. Второй и третий случаи рассматривепотгя одинаково, поэтому ограни !имея рассмотрением второп) слу (ая, т. е. будем считать, гго в любой е-окрестности точки а имеется беско- Н() 1НО МНО! О ЭЛ( ХП Н 1 ОВ Хп, 1 э)ОВ Н 1 ВОВИК)П1ИХ Н( 1)5)ВЕНО 1 ВУ Гп < < а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
