В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 22
Текст из файла (страница 22)
>> ) Б>аимно однозначным соо>пве>пс>пвс>ем, между злементамн,эвух множес>в на >ывается такое соответствие, при котором каждому элементу первого множества отвечает только о,снн ->лемент в горого множества так, что при этом каждый элемент второго множегтва отвечает только одному элсменту первого множества.
) Легко показать, что любое бесконечное множество эквивалентно некоторому своему подмножеству, не совпадающему со всем множеством. Этот факт может быль принят эа определение бесконечного множества. РП. 3 пркдкп поспкдовйткпьности Иэ всевозможных множеств выделим следующие два важных типа: 1'.
Всякое миооюество, зквивалентное мносюешпву всех напвуральни:г чисел 1. 2, 3,.... и,... будем назнвапгь счетгшзл. Из опрев~ пения счетного янова гтва вгятгкш;т, 1то все элемеитгя этого множества ьгожчпэ Занумеровать. 2'. Волков мнозювсэпво, зквивалетпное множеству аеас веиэестпвенных чисел ингвервала (О, 1), будем казь~вапгь лгнтвсесговолэ мощнотаи континуума. Приведем примеры с к,тыых множеств и ьшожеств мощности контгыгуума. Первым примером счетного мггожегтва может с.гужить рассмотренное выпэе множество четных положительных шсел 2, 4, 6.....
2п, ... Другим примером счетного ьшожества может служить множество вгех рациональнгах чисел сегмента (0,1(., нбо, как доказано в сноске ) на с. 85., это множество можно расположить в последовательность без повторений, т. е. заыумеровать. Примером множества мощности континуума может служить множество всех вещественных чисел (бесконе шая прямая). В самоэ1 деле, функция у = с18гх ) устанавливает взвнхшо однозначное соответствие между точками интервала О <,с < 1 и точками бесконечной прямой. В заключение .докажем, "ппо мноокество мощности континуума, не эквивалентно счетнолгу лпаююешпву. Для чгш о достаго шо доказать, что множество всех вещественных чисел гппервала (О, 1) нельзя занумеровать.
Допустим противное, г. е. про Гположим, что все вещественные числа интервала (О. 1) можно,эаыумеровагь. Тогда, запш'ьшая эти числа в виде оескоыечных дес»гн шых дробей, мы полу эим последовательность х1.= О, а1 аш ..а1„. хе = О. ггмаое... ее х„= О„гнпгсые... о„„.. Рассмотрим теперь вещественное чэн чо х = О. Ьо Ьа ... Ь„..., гле Ьг — любая цифра, отлн шая от огг. О н 9, Ье — побая цифра, отли шая от аю, О и 9. и вообще Ьв лкюая инфра, отличяая от а„„. О н 9. Так как число х ве содержит после запятой нулей и девяток, то это число не принадлежит к классг рациональных чисел, представимых двумя способами в виде бесконечных десятичных дробей').
Ио в таком случае число:г заведгипэ отлично от всех чисел хи хе,..., х„,..., ибо совпадеыие числа:г. с каким-либо х„, о'эна вмю бы совцаденне Ь„н а„„. Математиков долгое время занимал вопрос о существовании бесконечыого множества (з:). ие эквивалентного ни ш~етному хгножеству, ни мыожеству мощности континуума, но эквивалентного части ьшожеггва мощности континуума.
В 1963 г. американский математик П. Коэн доказал, что 1ипотеэа о существовании такого множества ые зависит ог остальных аксиом теории мыожеств. Это означает, что возможно построить внутренне не про- ) г1итатель имеет иредсгавлешле о функции у = с18 гх из -тементарнгэпэ курса. Вопрос о строгом построении тригонометрических функпий выясняется в гл.
4. ') С.. п. 3 1 1 гл. 2. ДОПОЛНЕНИЕ 1 тиворечивую теорию множеств, постулнруюшую как факт существования такого множества, так и факт его отсутствия (см. книгу: П. Дж. Коан. Теория мепзжеств и континуум-гипотеза. 91.! 11ир, 1969). ПОПОЛНЕНИЕ 1 ТЕОРЕМА ШТОЛЬЦА Во многих случаях для исслелования сходимостн частного ( — 1 после! у, довагельностей (т.„) н (у„) ока!ывается полезным следующее предложе- ние. Теорелеа Штольца. Пусть (у„) -. оозрасп!а!он!ал бесконечно боль- шая последоеательнотпсч и пусть последоеагаельноппь ( ''" '" 1 схоу у — ! дтпсл и ил!ест предел а. Тоеда последовательное!пь ( — "1 сходи!псл и имесд„! ет предел а.
Таким образом, 1пп — = 1ш ь'у '. гьу у Г:г,„— х„! 1 Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку погледовательность ! ! у у — ! сходится и имеет пределом шсло а„ то последовательность (о„). где а„ = а х — ! — о, бесконечно малая. Пусть Дс — любой фиксированный ,у у — ! номер и и > г! . Исполызуя выражение для о„, рассмотрим серию равенств: х —. — х —. = п(у —. — У-.) -1- о —, (уч — у-.). !кт! .к ! к-!-! х! не! ! мт! х). — — =а(у —,. у= )+с" .. (у,. у,.; ) нм! !хт! = ! кхе вы) т ! ! лт! . хе!! ° х„! — х„а = а(у„, — у„!) -1- о„! (у„! — У„е), х,„— х„.! = п(у„— у„. !) -1-о„(у„— у„ Складывая эти раве!и:тва, найдем — !х = у» — ун -Н * !(у, е! — Ук) ч-пук!(уй!в — уте,) З.
+ о -!(у -! — у — !) + и (у„— у„!). '1ак как (у„) — возрастающая бесконечно болыпая погледовательносгь. то. начиная с кекс!торосе номера, ее элементы полохоыельны. Будем считать, что при п, > !х у > О. Тогда из последе!е о равенгтва получим у„, У ! "ч!!(Уче! Уу) 1 !х"; з(ух~а Уу~!) ь ' ' ' + ет(у ' у' !) у„ ГЛ. 3 Ш'ЕДЕЛ ПОСЛЕДОВЛТЕ:1ЬНОСТИ Поскольку поппе,говагельносгь (у ) возрастающая, то разности угчг — уь, 1 = Ж, Лт-11,..., и — 1, положительны.
Поэтому из послещего соотношения имеем х х —. — ау —,, — — а < .т л у„ у (а —. ((г/ —, — у-.) + /а —,гг)(//-.ж — у —. )+... +~те„)(г/„— у г) 'г/, Докажем теперь, что пгкледовательность ( — 1 сходится и имеет про,.тел о,. ту 3 Для этого достаточно доказать, гго для любого положительного е можно :г„ г казать номер Л' такой, что при и ) Лт выполняется неравенство у„ — а < е. Во-первых, гто данному е > О выберем номер Л' так, чтобы прп е и ) Л" выполнялось неравенство )о ~ < — (это возможно, поскольку по- 2 следовательность (а„) бесконечно малая). Дштее, выберем номер /Л' Ъ Л" х= — ау —,, л а так, чтобы при и ) /У выполнялось неравенство ' < —.
Такой у, выбор номера Х возможен, поскольку число х —, — ау-. фиксировано, а по- следовательность (у„) бесконечно больвтая, и поэтому погшедовательность х — „. — /лу —,. 1 л ) бесконечно малая. Пусть теперь и > Х. Из неравенства (3.8) ггьг имеем х, - (у —.
„— у —,.)+(у —. „. — у —. )+... -/-(у„, — т/„г) — — а < — +— г/, 2 2 у или х г/ — уу — — а < — +— у, 2 2 у„ У УЕ Так как при и ) Х у„— у —. < у„и у„> О, то ' л < 1. Поэтому при и > /Л' 'г/ из последаего неравенства иьтеем ( — — а(<е. Теорема доказана. 3 а м е г а н и е. Еелгг (у„) позрпетпаюшая, бесконечно бпльипав иоследппательноептг, а послы/оеапгельносгтгь ' / пшкопх беаконечмо у„— у„, — г большак и спгремхтвсл к бееконечвоепги оиределеннпго знака, пго последп/х„1 оапильность ( — г бесконе пго болыиал. у В самом деле, пут:ть х —:е, у — у„— г ДОПОЛВВВПВ1 Последовательность (А ) бесконечно большая.
Имеем при и > й!' Х,- — х —,. =.4 —. Гу —, л!! 'х м!!! л!! з) :г„— х„! = А„(у — у !). С!ела/!ывая эти равенства, най/вем х* — хк = Аут!(Уу— ,:/1 — Ух)+ "+ А (!З« — У--!). Отсюда Аут~(у."сэ! ум) + .. ь '1" (у у — !) ту У„ У„ у Из э!ого соогношения имеем .4 —. (У вЂ”,. — Уи) -!-... -!-.4„(2/„— у, !) х —. м !! н !! м ''' ' " "' у (З у) У, у„ у Вудем для определенности считал ь, что прп и > Х элеменлы погледова- тельносгей (у„) и (А„,) положительны.
Выберем,,далее, по:!аданному по- ложительному А номер /!! !ак, чтобы при и > '"!' выполнялось неравенство А„> 44,:!атем такое /У > й!', что прп и > йз! Возможность выбора !якого Х обеспечивается тем, 'по погле,ювательяости (А„,) и (у„) бесконечно большно и нх члены, начиная г. некоторого ном! ра, положительны. Очевидно, при и > /У из неравенслва (3.9) имеем „(Уу„— У вЂ”,:) 4-" -Е(У* — У -!) х —,1 У,! У„, '!/„, — > 4А 1 — ='~ ~1 — А > 4. у г, у / Г:г.„! Таким образом, последовательносгь ( — '" 1 бесконечно болыпая.
!/„ Рас!'мотрим несколько примеров. 1'. Локажеь!, что если последовелельнсють (а ) сходится и имеет пре- Г а ! + а ! т... -!- а„з дел а, !о последовательность ( средних арифмегиче- В! ских значеаий элементов последовательности (а ) сходится к тому же самому пределу и !. В самом деле. ес.ш положить а! -!- а! -!-... -!- а„= х,, а !! х — х ! х х у„=.
и, то = а„. Так как 1пп = 1пп а сущелгвует, У вЂ” У„,-- ! !/„— у„-. ! -! то по теореме Штольпе а! -!-а! -!-... + а„ 1пп 1ш! а„= а. — !. и ') Это предложение было доказано Евши. ЕЛ. 3 Е РЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2'. Рассмотрим теперь по! тедоввтельносз ь а,, где 1 ' -1- '2ь -1-... -1- и" пь "! и Гг пелое положительное число. Обозначим 1!' -1- 2!' -1-....1- и, ' через х„, а и'!' через р„.
Тогда по<жедо- !. !.! Г:г ! вательногть [а„) приооретает вид ! — '. Игследуем сходимосгь нос!!е, зава- р« Гх — х,— ! 1 тельно!:ти ! ' !. Имеем р — р — ! х„— х, (! Э.1)иг — [ ) и! ' -1- ч- ( — 1)ьэ! 2 Поделив чии!нтель н знаменатель последнего выражения на и, получим !. х,— х, ! 1 й -~- ! -~- — [... ) 1 и г. !е в знаменателе в квадратных скобках опугдено выражение, предел кото- [В+1)Л- [ рого при и э оо равен ~ — .
Из последней форь!улы находим 2 х — х„.! 1 1ьи! »- - р„— р„, й л- ! ' Следовательно, по теореме Штольпа имеем 1" +2!+.. -1-пь 1 1пп и! -!. ! й -> 1 Га" [ 3'. Рассмотрим, наконеп, последовательность ( — [, о > 1. Полагая и 3' Гх — х !1 гл' = т„и и = р„и исыГедуя пои!едователыгость Г, находиь! Р— 21, — ! р„— р аl Поэтому, в силу замечания к !гареме Штольца, имеем и' 1!ш — = -Гси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
