В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 23
Текст из файла (страница 23)
и ДОПОЛНЕНИЕ2 О СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, ПРИБЛИ2КАК)ЩЕЙ уга В и. 3 3' 3 этой главы мы дока!вли, чго предел последовательное! и )х„), определяемой рекурренгной формулой 1 ' а х„у! = — [х„-1- — ), и = 1, 2,..., [3.10) 2 ЯОПОДВЕНИБ 2 13.11) назовем итнасителшгой гшгржшнасгпшо п-го приближения. Справедливо ш«снующее «рпгеергкх)ение об опенке гпн«кительной пгп решности г„ьь«через относительную погрешность е~ первого приближения. П««сть гн аьгбраип лшк, что (гг) < 1«2. 2игди гйт ля«бг«м и > 1 и«иею«в .мс«:п«е не««««иенс««геа 0(г„з«(г, 2" 13.12) Дока за г ель с г во.
Из формулы(311) имеем „=;(1+ е„,). ),3.13) и Обращаясь к формулам 13.10), 13.13) н к равенству — = -«, получим Так как глцы = "«(1 -1- е„ы ), то, очевидно, 1 211 -Е е„) 13.14) 1 По условию )е~ ~ ( 1/2. Отскгда следуют неравенства О < < 1. Но 211 -~- ег) тогда из 13.14) при и = 1 вытекаез неравенство гг > О. Испит«ьзуя далее соотношение 13.14) при и = 2, 3, ..., убодимся в неотрипательносги к т« лля лкгбого и > 1. Из равенства 13.14),. из соотношений 0 « 1 и из неотрнпа- 211 -Е ег) гельности г„,игя лгобого п > 1 вытекает неравенство е„ю ( ег для лкгбого и > 1. Отс~ода сразу же получаем правое из неравенств 13.12). Утверждение доказано. Обращаясь к неравенствам 13.12), мы видим, что относительная погрешносзь е„.«г вьгшсчения «а после п итерация оценивается через относительную погрешность г«первого приближения хч и чигло и игерапггй.
Ниже мы убелимся, что при а > 1 «первое приближение хг можно выбрать так, что ег по абсолютной вели п«не не будет превышать 0,05. Очевидно, «то прп таком выборе х«отн«юительная погрешность е«будет удовлетворять условиям доказанного нами утверждения. Ясно также, что тем самым будет ) И т е р а п и я 1от латинского плова ч)сега11«ы — повторение) — резулыат повторного применения какой-либо математической операции.
В рассматриваемом случае одгил1 итерапией является вычисление х„тг гю х,„, с пот«о«цью рекуррентной форт«улы 13.10). г) Если а < 1, то а =- 1«Ь, гле б > 1, и «а равен 1«Л. 4 В.Л. Ильин, ть11 Позняк. часть 1 где и > О, а х г — любое положительное число, равен,'а. В качестве приближенного значения у«и мы можем взять любой элемент «г„«г этой последовательности. При этом, естошвенно, нужно выяснить вопрос о выборе ии ча л итераций '), обеспечивающих приближение х«а с зачанной погрешностью.
Обратимся к последовательно«пи 1х„), определяемой реккурентной формулой 13.10). Будем называгь элемент х„этой погледовательности и-и г«р«гб«лиоюг«««ием пи;ла, - = х«ш Величину Е РЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ГП. 3 решен вопрос о выборе числа и н~ ерапий, обе< печнвающнх приближение к ,/и с заданной оз носительной погрешностью е: эгао чиюк п,лшлсст быгпь наш)шзо из феХьм11лъ~ ) 10,05) < =. 13.15) Итак, пусть а ) 1. Пре,тставим число а в следующей форме: а = 2 +'ЛХ. Р 16) где Л вЂ” целое неотрицательное число. число 1 равно либо нулю, либо единице, а число ЛХ удовлетворяет условиям 1<ЛХ<2. 13.17) Отметим, что представление числа о в форме 13.16) единственно.
Выберем я~ следу~ощим образом: , 71,, 175 я~ = 2 1 — *2'ЛХ -Š— ~. )3 247 13.18) 1, 17 3 24 — 2' ЛХ + — — ъ/2* Ы х/22' ЛХ Р.19) Поскольку чинчо 1 равно либо нулю> либо едпнипе, а ЛХ ) 1, то Л Ы ) 1. Отсюда и нз 13.19) вытекает неравенство ~с~( ( ~ — 2'ЛХ -'; — — х/2ЛХ . 1, 17 3 24 13.20) Обозначим х/2ЛХ через Х.
Поскольку 1 < ЛХ < 2 и з, 'равно либо нулю, либо единице, то все допустимые значения Х наверняка находятся нв сегменте ~1, 2). 13.21) 1 < Лр ( 2. Используя введенное обозначение зб для ъ/2'ЛХ, перепишем неравен- сзво 13.20) в пчедующей форме: ~1 з 17 ~е,~ < ~-Хз-Х+ — ' 13 24 13. 22) В с илу 13.22) максимальное значение ( ~ ~ не превышает максимвльно- 1 з 17 го значения — Х вЂ” Х -~- — ~ Зечя значений Х, удовлетворяющих условиям 3 24 ) Справедливость этой формулы непосредственно вытекает из соотношений 13.12). Убедимся.
что длл любава ЛХ, удовлетворяклцего ус човиям 13.17). первое приближение яы вычисляемое по формуле (3.18), дает относительнук> ошибку с~ при вычислении - = э/ге превышающую по абсолютной величине числа О, 05. Для доказательства обратимся к точному выраженнго относнте,чьной хч ошибки сз = . Так как, соглас но 13.16), т = 2 'м 2* Ы, то из выражения для ~ и формулы (3.18) получим 99 ДОПОЛНРН118 2 (3.21). Для выяснения вопрога об этом максимальном значении обратимся 1 е 17 к графику функпни 1(Х) = — Хе — Х Ч- —.
Из курса элеменеарной мате- 3 24 матики известно, что графиком этой функпии является парабола, вершине 3,, 1 которой отвечает гочка Х = — (рвс. 3.4) '). Так как зч1) = Д12) 2 24 г3т 1 а 1~ †, ) = — †, то ясно, по для значений Ы 24: Х, удовлетворяющих учвювиям (3.21), зна- 1 1 чения 1(Х) заключены между — — н —. 24 24 Иньпш слога:~и ~У(к)~ = -Х'-Х+ —.'( < —. 3 24 24 Из последнего неравенства и неравенства (3.22) вытекает интересующее нас неравенство для е~ 1 )е~! < — < 0,05.
24 Рис. 3.4 3 а м е ч а н и е. Отметим, юто если заданная относительная погрешность е равна 10 ш, то для вычисления с таков то шостью квадратного корня из любого числа а > 1 после выбора к~ по формуле (3.18) потребуется всего — ~о лиш~ гврп итгирвйии 1п = 3), поскольку (0,03) < 10 ' ') На рис. 3.4 масштаб по оси Ор в 20 раз болыпе масштаба по осн Ов. ПОНЯТИЕ ФЪ'НКЦИИ. ПРЕДЕЛЬНОЕ ЗНАтХЕНИЕ Ф а<НКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ Эту гг<ггву мы наин<.м с у го <ненни важнейшего <ягнят<<я мате— матического анализа — понятия функции. Опираясь на понятие предела числовой последователыюстп, мы введем новую форму операции предельного перехода.
осн<гваннук> на понятии предельного значения (п:ш предела) функцигп В этой главе вводится такгке важно<, математическое понятие непрерывности функции. Значит<отвис<< а<осто в глав<. отводится выясн<.никг свойства непрерывности и других свойств простейших элементарных фуггкц<гйг.
Вопрос о приближенном вычислении значений элементарных функций рас< матрпвается в Дополнении к гл. 8. 1. Понятие функции 1. Переменная величина и функция. В гл. 1 мы уже отметили, что со всяким реальным физическим процессом связаны по меньшей мере две переменные вели <глг<ы, иза<енение которых взаимообусловлено. Рассматривая реальные фнзиче<'кис перем<.нные величины. мы приходим к выв<гду, что эти величины ве всегда могут принимать произвольные значения. "1ак, температура тела не может быль а<еньше — 273'С, < к<гр<гс<ь агагеринльной ишки не может быть больше 3 10ю см,'с (т.
е. скорости света в пустоте). смещение у материальной точки, совершакнцей гармонические колебания по закону р = А аш(ог1+ <<), может изменяться лишь в пределах с<гсмента [ — А, +А). В мат<'.митико О'гвлекантиэ! о'г к<<икр<у<'нь<х физических свойств наблюдаемых в природе переменных вели пш и ра<- сматривакп абсграктнунг ш.ремсннукг вели шну '), характеризу) уместно отметит<, гго понятие величины относится к числу нача,гьных иаоематических понятий (си. оно< ау ) на с. 20).
е< понятии еьнкции емуео т((лько численными зна Еениями, которые онй мо>к(се при- НИМНТЬ. Множество (х) всех значений, которые может принимать дйешая переменная величина, называется областьн> изменения этой переменной величины. Переменная вели шна считается заданной, если задана область ее изменения. В дйльнейппсм мы,кйк Рис. 4.1 Рис. 4.2 правило, будем обозначать переменные величины строчными латннскиъ(и буквами х, у, а, ..., а области изменения этих перех1енных симВОла п1 (х1., (д), (и), Пйсть зй;Ейнй п(ер((м(1(шйя Вели шнй х. Ихп(кь Ецая облас тьк> нзая нонна некоторое множество (х1.
Если каза:дому значенин> перемена(ой,'с из 4! мноо>сесп(оа (х) (>пн(оипгся о ооон(Ветс(попе по пзоесп(ному закону нек(т(орое. число у, то еооорят, что на мноокестое (х) задано, («>унк(Сия у = = у(х) . Еи = «(:). Прн этом переменная х называется а р г ух1 (1 и т О м, а мнОЖ(стВО (з:( - О О л а с т ь ю з а д й н и я функции у = 1(х). (Пп>чо у, кото1>ое гоств((тств((>г дйп»ему:1нйченик> йргухн(нтй х, называет('я ч а с т н ы м ,"1 е1 й ч е н и е( м ф у п к ц и и В тО'1к(1 х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
