В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Символические обозначения: 1ш! 1(сс) = 6 ( 1пп 1(х) = 6). В качестве примера рассмотрим функцию ! (х>) =- 1)сх. Этн функция имеет равное нулю предельное значение прн х ) оо. !ей!:)вительнс>, ес си схс,а:а,...,:с:сс,... бесконечно бо'сып)я последовательность значсний аргумента. то последовательность 1/се), 1)схя,..., 1)сз>ъ,... бесконс"шо малая н поэтомт иха"с'т прсдс), с, равный нулю.
2. Арифметические операции над функциями, имеющими предельное значение. Убедимся, что арифметически! операции над с)>ункшсямн. имеющими предельное:)наченне в точке а, приводят к функц>лям, также имеющим нредег)ьное этой то скс . Справедлива, тс'с)рема.
Теоре,ма Л.1. йусс)сь зад!>)с)с!«с )са од)сом и том з«>е мссозсс)сстое функции ! (х) и «(.с:) им!с«>т о то:ске сл прсдельпъсе зсшчс.— ния, Ь и с. Тогда, фу>!к!!!с!с, !"(сс>) + я(х), г"(х) — (х), 5(х) е'(сс) и име>от о спо'псс а предель)съис значения (часпгное при ус!лая(х) ' ' " ' ' ь аии с ф 0), р«со)с!хе соопсоетспсое)то 6+ с, Ь вЂ” с, Ь с !! —. с' 3 о )с а з а т е ! ь с, ! в о П«с ! ! 3>! Псгг сс>п (ссп ) сс) произвольная сходящаяся к а пос;ндовательность значений аргумента функций 1(з>) и ьэ'(х). Соответствусощие последовательсп)стй! „с (сг!), ! (х2) .. °,! ()ъ) ° и Ь (з>!)~ь (з)2): ° ° ° ° д (сс)ъ) значений этих функций имсют пределы Ь и с. Но тогда, в силу тсорем 3.9-3.12, последовательности (.1(хсс) + ь(хсс)), (.1(х)с)— ИОнЯтие и!'е (е'1ьнОГО зни'1ениЯ ФУнкЦии 107 12 й(па)), 1<1(Хн) й(<а)) И НХНЮТ ЩХЧ<ЛЫ СООТВ<тЬ «геенно равные Ь+ с, Ь вЂ” с, Ь.
с и —. В силу произвольности нос <недовательности (х ) это означает, что 1!Пт(((<сс)+й(<сс)) = Ь+с, 1!пс'(1(сс) — й(х)] =- Ь вЂ” с, 1!пс(7"(11) й(х)' = Ь с, 1пп — ' 7" (х) 6 .с — сп х — сп х- и я(х) с Теорема доказана. Применим доказанную теорему для отыскания предельных значений многочл<-ног и н<.сок(сатих<ых слгеб(сани<сник д)хсбей '). Имеет место следунсщее утверждение.
В каждой то"ске о, бескоссечной прямой лредельссые зссачессил многочлгнов и ссссокроггсимых алгебраических дробей сущеспсвуюпс и равны чпспсным зссач<ссс<сям энсих функций в укслзолсиой <почке (в слу сае алгеб7и<сческосс дроби а ис доло<сна быть карс<ем зссам<сссасссалсс) . Действительно. в силу теоремы 4.1 !пп:г = 1ппх х= 1ппх 1ппх=а . , 2 х-пп х.— сп хып хсп Аналогично можно убедиться. что 1шс хн = а".
хе<с Следовательно„для к<ного глена Ьохи + Ьсха 1 +... + Ьн сх + Ь„ полй зим (использйя тео)жму 4.1 для сйсоизведення н сй мусы) 1<ш(Ьоха+ 6<ха ~ +. +Ьи.сх+Ь„) = = Ьоод+ Ьсо," '+ . + Ь„<а+ Ьн. В <луча<' не< ократимой алгебраической дроби. когда о не являет<я< ко1>нехс знахюн не:1<1, получим (щ>панис<я г<орехгс 4.1 дсссс частного) Ьпх" ФЬпс" 'л-.. ФЬ„...<х+6„Ьпа" ФЬсп" '-~...
з-Ь„са ФЬ 11<в хсаспх Сох' '< ...Сс,,хсс„, спа <оса"' сл ...С с„,,п<с„, 3. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Функция у = !'(<сс) называется бескоис. пссо малой в <почке х = о (при х — с о). если !Нп у(<сс) = О, Легко убег — са диться. Нащсиме!х '1то <))ункцня 1(.'<1) = (:с: — <с), Гд« пс ц<'лое свело, являес<сс бесконечно а<алой в точке х = а.
В самом д<чле, в пр<дыдущеас пункт<- мы установилн, что 11 < 1Несократимая алгебраическая дробь частное двух с<ногаи<с<сов, не име<ощих отличных от настоянная общих множителей. 108 ПОЦЯТ1ЛЕ ФУНКЦИИ. НЕП1'Е!'ЫВНОСТЬ ГЛ. ! Пр<у!Ен!КНОР '>Нач<'Ни(>:(НОГОЧ;!(",На ) (Х) =- (Т вЂ” а)п' В ЛЮбоЙ точке б( окон(чной прях!ОЙ (>>и!Р( ! НЬ(>т н равно !а<тном1 зна пнию мноГОчлРна в этОЙ тОчке'. Поэтому 11П1(х — а) =.
О. Отметим, что сели функция р = ф(х) илсееп), равное Ь предель- 7)сос зиа"сети!с' в 7иочкг. и, тио ф>7))скция (х(х) = 1 (<и) — Ь явля((шея, бсгкоисчтю малой а ангчкс а. Де!н твптел!Ьно, пред<>льныР знач<г— ния каждой и> функций 1(х) н Ь в точке а равны Ь, и поэтому в силу теоремы 4.1 1ш! (л(х) =- 11п!(ф(х) — Ь) = 1!ш )(х) — 1!ш Ь =- О. х->а хоо, ' х — )а' х — )о И(т!Ользй Я полу"<Рнный Рн>Ультат, мы пцлУ'1аеы спРЦношьнОР представление .<Ля функции, имеющей равное Ь пре,!ельное зна- *1РниР в точкР .'1' = а: ,7(х) = Ь+ <7(<х), Где !!ш О(х) = О.
7,— )а (4.1) 1!ш ) (:е) х- оно 1ш! ф(т) 2; — )а — О 1>ш ! (х) х оо)О 1ш! у (:с) х — )а — О илн !'(а + 0) = +ж, или )" (сл — О) = +сх>, нли !'((л+ 0) = — ОО, и.,ш )'(а — 0) =- — ОО. Познакомимся < методикой сравиешш б( скопечно малых фй'нкцпй и употреб>сяеу)ОЙ те>рминолОГНРЙ.
Пусть сл(сх) и )д(:г) . две '>аданные на одном и том же мпоже< тв<> <)>1нкнин. яеляющнеся б(скан<> шо меьтыми в ТО<не )г = и. 1. Функция о((г) называется бс>око>)сгчтсо малой' более высокого порядка, чем )>(а>) (имеет более высокий порядок малости), Рслн предельное значс ние функции о(з>))))>(х) в точке а равно нулн>. ПредставлРННР (4.1) Ока'п,>Рвется РР(ьх!а Лдобпым прн доказательстве р)х>ли шых предложений н будет неоднократно использовано на:1н ннжР. Наряду с: понятием бесконешо малой функции часто испо>!вздуется понятие функции, бссконс"чно большой в точк<' а справа нли бесконечно большой в точке а с !ева. Именнс>, фуикц()я 1 (г) назьиаепися бескоиечис> больисой в тс>чке а справа, (слева).
если для .лн>бой сз>одяиЛейся к а послсдоватпелеисошпи х>, <Г... Ха ... ЗиаЧЕ>тй аРгуМситна Х, ЗЛЕМЕ)отта Хп КОП(ОРОй больше а (меньше а), сов!и(>етстив71)ои)(ля 7>ос>л>сс)ос)ат)>салли!ветвь ф(((!) > ()лг), ф(ха), ... з)саосетс!лй фУ)(кйии Яаллепгсл бесконечно бал<ивой последовсиисльиос.п)ью оиределстисого знака,. Для бесконечно больших функций используются следующие обозначения: ПОНЯТИЕ П!'Е !ЕЛЬНОГО знаи!ЕНИЯ ФУНКЦИИ !О9 2. Функции О(т) и,с1(х) нгсэываютс>я беско>сеч>нг мситмсг, одного порядка (ихн>ют одинаковый порядок малости).
ессли прс'дельно!'. значР>пн' функцшч с:г(х )1 !1(,11) В тсчкР а суисс'с>твус>т и О'!с!ично от нуля. 3. Функции О(х) и )>(сг) нас>ываются эквивале>ш>ными бсско71еч7ю мальсма, се ш прРде„1ьнОР значс1пю с)>ункции О(х)/Дх) В тОчкс а раВнО сдиницР. '1асто бесконечно мальн> функции сравнивасот с какими-либо стандартными бесконе що малыми функциями.
Обычно в качестве функции сравнения берут функцию (х — а)п', где ка — целое положительное чпссло. В этом случае употребляется следующая тс-рхсипологп% бес кОпсчнО ма:шя в ТО скР а функция О(х) пмес т О(а') порядок малосв!и 7>Е если вреде>п.нос значение функции (х — а)"' в точке а, отлично от нуля. При сравнении бссконечно малых функций часто употребляют символ о (о малое). Именно, сслп функция сх = ст(х) представ,лает собой бесконечно малую в >очке в, функцию более выс:окого порядка, чем бесконсчно малая в этой >ке точке функция 1> = д(х), то это условно залп! ыван>т так: О = о(Д) (читается: с> равно о малое от сэ). Таким образом.
символ о(3) означаес любую бесконе сно малую функцию. имеющую в точке а бо,>ее высокий порядок ~ало~~~. Ие:1 бес:коне шо ~ила~ в этой точке функция Д = 7>(х) Отметим следующие очевидные свойства символа о; если у = = о(!д), то о(сэ) х о(у) = о(1>), о(17) Е о(сэ) = о(17). ".-)имети>с гакьк. что ещ>и с> и !э бсзсконе.сно ма.льп> в 11>чке о, с)>1нкцнп, то с)>ункция с>(> ихн>с т боле!.
Вьн:окий порядок м ьтосгти, чем каждый и> со:сне>интел С, и пс>этому ст)> = о(ст). ссгд = о()3). Для бесконечно больших в точкс- а справа (или с;лева) функций >н пользуесся ана.тоги шая кн.толика с равнения. Пусть А(х) и В(х) бесконечно большие в точке а справа функции, и пусть, например, обе эти бесконечно болыпие функции пололсителып>го знака, т. е. !пп А(х) = +Ос и 1пп В(х) = +Ос. к — га.1-0 7' — Г а -г-0 г>1ы будс'м говорить., что функция А(х) имеет в точке а справа более высокий порадок рослпа. чем функция В(х). Рссли функпия — являе>ся бесконечно болыпой В >очке а с>права, Ее>си же 4(х) А(', правое предельное значение функции — '' в точке а конечно и Н(х) 110 сьоцятие Функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
