В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 31
Текст из файла (страница 31)
ВЕПРЕ ЫВНОСтЬ Гл. 1 Равны а! и 12 (х11)). (й (х11)). 161хг!)) г:оответствУюшие последовательностии значений функций у(х), й (х) н 6(х1). По условию 1пп ~(хв) = 1ш! 3(ха) = Ъ н ~)х„) < 6(х„) < у(:гн). Но тогда, в силу теоремы 3.14. 1пп 6(хв) = Ъ. Поскольку (хв,) произвольная сходящаяся к гл по!подов!и сльность значений аргумента, то пог.леднев равенство озпачаг1т! что 1пп )!(х) = 1Г. !2 = Ъ. Лемма доказана. 2. Предельное значение функции ' ') в точке х = О (первый замечательный предел).
Докажем следующу1о теорему. В1П,Г Теорема ~.~. Пргедггггы!ое значи!их фуггнции — '' в тонне .г = О су)игестеуг!гг! и, равно единице: (4.8) Х вЂ” !В 2: Д о к а з а т о л ь г: т в о. Мы )же огмг-.чали, гтт2 при О < < х < 2гг22 справедливы и!!Равенства О < вшх < х < 1йх (сн!. и.
6 предыдущего параграфа). Деля почленно эти неравенства на вшгг, получим в!и х или совх « 1. 1«вЂ” ВШХ СОВ2: Последние неравенства. справедливы также и для значений гг, удовлетворяющих уг:юаням — — ' < х < О. Чтобы убедиться в 2 сбп х зш( — х) этом, достато шо заметитг„что сов х = сов1 — х) и Так как сов х — непрерывная функция„то 1)гп сов т, = 1.
Таким г — !О ЫП 2: образом, для функций сов х, 1 и — '' в некоторой Ъ-окрестности точки х = О выполняются все уг к2вия леммы 3 (д21я того чтобы убедиться в этом. обозначим )'(х) = сов х, я(х) = 1 и 6(х) = — ' Бш х и положим б =- 2г/2). Слелователыю, 1пп ' = 1пп сов:г = 1. х — !О 2: х — !О Т(.ор!',ыа доказз.на.
в!п(Ьх/2) ) Выше ны говорили о функции . Его!и обозна !ить .2х/2 через 222:/2 З1П Х ;г,, го ны и получим функпшо ' . Усхювие зх — ! О нрн згом обозначении сволится к условию х -! О. придильнык знйчнння ннкоторых Функций 135 т,и 3. Предельное значение функции (1+ — ) при т — + со (второй замечательный предел) ). Докажем (шедующую теорему. 1) т Теорема 4.о. ??рс(?ел( иое зипчеиие фдика)ии, ?((г) = (1 + — ) 1: ири ж -э оо суи(естейст и риеио е: 1пп (1+ -) = е.
(4.9) Д о к а з а т е л ь с т в о. Нужно доказать, что. какова бы пи была бесконечно большая последовательность ~жь) значений аргумента функции ?((1)) = (1 + -), соответствующая п(к тедовательность 1? (((ц ) ? значений этой функции имеет своим пр(делом (и(.зо е. Ра(х:мотрим (;нд))о(цие (етыре группы бескоп(эчно больпп(х по(шедовательностей значений аргумента ж: 1'.
Бесконечно большие по(шедовательности )и(,), элементами которых явля(отея целые п()дожителы(ые (ясна. К )казанной гру(ше относ)лтся, например, по(шедоватедьность 2,2,1,1,3,3,2,2,4,4,....и+1,и+1,и,и,.,. 2". Бесконе шо большие по(шедовательности, элементы которых, на(иная с некоторого номера, состоят из положительных вещественных чисел. 3'. Бесконе(но большие последовательности.
элементы которых, начиная с некоторого помора, состоят из отрицательных веп((эств()нных *пи:е:1, 4'. Бесконечно б(11(ьши(1 по(ци(донат(эльности, содержащие бсскопе пи) х(ного как положит('.л(,ных, так и отри(шт(эльных ве; 1ц(м:твенных чисе;1 ). Заметим. что соверш(нно произвольная б()сконечно болыпая последовательность значений аргумента относится к одной из групп 1', 2', 3'., 4'. По:этому теорема будет доказана, е(сп( мы проведем дока:зательство для каждой группы 1", 2', 3" и 4". гупомяиутая ранее за,(ача о предельном значении функции (1 -1- Лт?.г)"и ' при хя, стремящемся к пглк), и фиксированном:г ) ) О сводится к указанному вопросу.
Действительно. ес (и положить (лв)?т = 1?и, то при .Ът — ) О и — ) о( и (1 ж ')я?я)'~а'" = (1+ 1?а)', а эта функция огличаегся ог функции (1+1?т)" то.пко обозна(сияем аргумента. ) Так как функция (1+ — ( ие опроделеиа иа сегменте ( — 1, О) (поскольку 11 для зиачепий я из этого сегмеита выра)кение (1 + — ) либо отрицатольио, либо ие имеет смысла), то естествеиио считать..(то элементы поп)едовательвостей 2', 3' и 4' пе принадлежат сегменту [ — 1, О).
138 ПОНЯТ!ЛЕ ФУНКЦИИ. 1Ц:Н1'Е1'ЫВНООТЬ Гл. л то для любого е > О можно указать номер Ж такой, что при А: > Ж ((1+ —,) — с <е н (1+ — „) --с <е. т. е. при сс > 111 ((1+ — ')"'-е <.. Следоватсльно, 1пп (1+ — ) = е. Тес!хема доказана. 3 а м с ч а н и е. Из доказанной теоремы следует, что 1пп(1+ х) ~' = е. :г,— со В самом деле, пусть (х„) --. любая сходящаяся к пулю послсдовательпос;ть зна*ссний аргумента функции (1+ х)~с~, элементы т„которой отличны от нуля.
Тогда последовательность (х„,). где х„, = 1схкч бесконечно болыпая (см. теорему 3.6). Так как (.х-)""=( и".„1™( и"=е то 11ш (1 + х )1сх~ с, ч — ссс и поэтому 1пп(1 + х) с' = е. х — со 3 7. Непрерывность и предельные значения некоторых сложных функций 1. Непрерывность и предельные значения некоторых сложных функций. Докс!жеи непрерывность некоторых сложных функций. 1". Пусть х — у(1) и й — 1(са) — простейшие элементарные функции (см. 8 5). причем множество значений (х) функции х = д(1) является областью задания функции й = г'(ссс).
Из результатов 8 5 с,!сдует, что простейшие элеь!ентарпьп. функции непрерывны в каждой точке области задания. Г1оэтому, в силу теоремы 4.3„сложная функция у = 1'[сд(1)], т. е. суперпозиция двух элементарных функций, непрерывна. Напри!сер, функция 1 й = вш — непрерывна в любой точке х ф О. Чтооы убедиться в этом, достаточно рассмотреть функции х = Г и й = вшт. Сс!ожная ф1нкссия р = в1п1, только обозван!ни!си арг1 Ушита НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ПРЕДЕЛЫ(ЫЕ ЗНА'1Е1П1Я 139 17 1 отли'!и!'.тся от фбнкции у = 8!п — и, В си71у ока;занного Вьп!и)< непрерывна в любой то !ке б ф О. Рассуждая аналогично, легко убедиться, !то функция 17 = 1пвппх непрерывна в любой точке каждого интервала (2))п, (2)< + 1)тг) '). 2'.
С т е п е н и о - п о к а з а т е л ь н ы е в ы р а ж е н и я и(г)'(а). ()невидно. И),п!нг смы<!з .лип(ь азу*(ай. ~осла и(х) > О. т(е(ко убедиться, что если и(х) и п(х) непрерывны в точке а и и(х) > О в окрестности точки а,. то функция и(х)а( ) также непрерывна в точке а. В самом д<миь !!(х)а( ') = е ( ) (' ). Носко)!ьк) 1п'а(с) гц)е (- став.!яет соб<нл непрерывную в то !ке а функцию, то и функция о(х) 1п и(х) также непрерывна в точке а.
Но тогда функция с<(х) па( ) непрерывна в точке а. Отметим, что установленное свойство непрерывности позволяет утвергкдать, что при сделанных предположениях 1пп и(х)е(х! = а(а)а('). .г — )а 3 . Предельные значения от< пенно-показательных в ы р а ж е н и и. Выясним вопрос о предельных значеничх степенно-показательных выражений и(х) "(' при х — ) а,. Прн этом мы бу шм предло.
<агат)ь *и*о и(х) > О в некоторой окрестности точки а. Из соотношения и(х)"" = е' ' '" видно, что прелельпое значение выра)кения и(х]' ' при х — ) а зависит от предельного значения вырал<ения е(х)! и(х) 1. Пъ ель !пп и(х) !пи(х) = б. Убедимся, .что в этом случае !пп и(х)'<') = е . В самом деле, функция а(х)!и и(х) при х ~ а, и)(х) = ) ) ) Ь при х=а непрерывна в точке;г = а,.
Поэтому в сложная функция с" (т) непрерывна в чтой точке. Глетовате п.но, !пп <" ") = «''" = " Так «вк !пп г"'<' 1)ш с, то !))и и(х) ' с)'и!ш)течет и равен с Используя полученные в этой г,<аве сведения о предельных значениях е«' при и) -) — ос и и -) +со, легко убедиты:я в след)лпн!ех<. П. Если !пв и(х) 1пи(х) = — х, то !(ш и(х) "«) = О. 1П, Если 1пп е(х) 1и и(х) = +со, то 1ш) и(:г)" <') = -Еош Установленная связь между предельными значениями выражений и(х)" " и и(г)!пи(х) позволяет в ряде случаев легко найти предельное зна- )) Там, )де ып х > О.
14О ПО111П! ИВ ЕУНКЦИИ. Н11ПРВРЫВНОСО Ь Рлй 1 1шэ и(х) = О э !э! — 11, С и(х)'СЮ = ([1+ (и(х) — 1)]""' ' ) Положим, далее, Н(х) = [1 Э-(и(х) — 1)]'Д'Π— ! 1с(х) = ]о(х) — Цо(х), так что и(х)"'' = Н(х) Поскоги ку 1!эп Н(х) = е (см. заъэечаиие к теореме 4.5) и е > 1, то значение Рйп и(х)'~'~ = !пп Н(х) оо зависит, от предельного значения функции Г(х) в точке а, г. е. от 1пп[и(х) — Ци(х). Именно: если !пи[и(х) — Ци(х) .=- 1пп Ъ'(х) = с, го !шэ и(:с)' " = !пп Г(с)" !ю = е' (см. случай 1)); есля 1пп[и(х) — Ци(х) = +ею, то 1пп и(х)'!Ю = д-ж (см. <шучай 2))! если чение функции и(х), есги известяы п[эелельиые значения фуикпий и(х;) и и(х). Рассхсотрээм для примера следук~цие случаи: 1) существует 1пп и(х) > О и 11ш о(.с); 2) !пп и(х) = Ь, Ь > 1, 1цп с(;г) = -~-ош 3) !пп о(х) = Ь, Ь > 1, !1ш и(х) = — ос.
Убедимса, что в <лучае 1) 1шэ и(х)ы'! = '[!!эп и(х)~' " . Пействительно, так как 1пп и(х) > О, то, в силу непрерывности логарифмической функции, 1пп !и и(х) существует и равен !и ~!Оп и(х)) . Поэтому суп!ествует 1пп и(х) !и и(х) = 1пп и(х) !и [1пп и(а ) ~ Согласно 1 отсюда вытекает, что В случае 2) !пп ь(х)1пи(х) = +ос, и поэтому согласно П1, 1пп и(х)ы ! В гзучае 3) 1пп и(х) !в и(х) = — ж, и поэтому„согласно П, 1пп и(х) ч'О = В зак:по эеиие укажем три щгучая, для которых нахождение прелельцого значения и(х)ых! требует дополнительных исследований.
1. Неопредслсниость типа 1' йш и(х) = 1, !пп и(,г) = сю. 2. Неопределенность типо, О": !пп и(х) = О, 3. Несэпределсниость типа м.~: (х) = : ! (х) = О Зля первого из этих эту.гаев мы приведем формулу, удобнукэ для практических приложений. Преобразуем выражение и(х)'ы! следующим обра;юм; НЕПРЕРЫВНОСТЬ Н ПРЕДЕО!ЬНЫЕ ЗНЛ" 1ЕНИЯ 141 1пп [и(х) — Цп(х) = — по, го 1пп и(х)'!'! = О (см. случай 3)). Таким образом, мы получаем следуюп1уго формулу: «гг! в(х)''' 1»! 1 1-1!! 1 Неопре,1елеицости типа 2 и 3 приводятся к иеопределециости типа 1 следующим оорвзом. Положим (/(х) =- с, Г(х) =1пи(х). Очевидно, 1пп Г(т) = 1 и 1ш! 1Г(х) = хсо.
Кроме того, 1 П р и м е р. Найти «ш [сов х]»' . Так как !пп совх = 1, а !пв ;-гв,, -!в ' -ге вгп х = оо, го налицо неопределенность типа 1 Иг:пользуем формулу !пп в(х) ' = с" е ', получеииую нами выше. Имеем 1 !пи[в(х! — Цп(х) = 1пп [сов х — Ц о ..— го вгг! х е!г] 1 1. 1 1 = ! [-2в! е-'1 х, =--« 2 Поэтом 1 — 1 !пв[соьх]-»!. =е 2 4. П!ледельные зна 11'.вин некгзтсзрых с нож н ы х функций. Докажем справедсгивость следующих равенств: (4.12) [(1-!- Х)» — 1~ [(1-1-.Х) -Р (1+ х) -1- ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
