В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 35
Текст из файла (страница 35)
(4.24)). Выбирая 1» = 1ссб, л(я„,) . л(я„) мы определим на сегменте [О, сГ) такие функции л(.г) и С(х), что будут выполняться неравенства 0 < л(»с) <:г. Геоксетрззчес к»се соображения показывают, что ес.зи д = я/2! то 25(я„) длисса стороны правильного 2"-угольннка! вписанного в окружность радиуса 1! 2я„. длина дуги окружности, стягнваемой хордой длины 2о(я„). и 21(я,),юнна стороны правильного 2"-угольника, описанного вокруг этой окружности. Неравенссва (4.25) в этом случае имеют вид л(» ) < ( я,„< 1(я„). Поэтому в указанном случае Ь = 1. Утверждение полностью доказано. *) См.
сноску з) на с. 145. ГЛАВА 5 ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСт1ИСЛЕНИЯ В этой главе вводятся попятив производной и дифференциала, устанавливаются правила диффереппировавия, вычисляются производные всех простейших элементарных функций, уже выписанные ламп в гл. 1. Далее рассматривакггся производные и дифференциалы высших порядков. й 1. Производная.
Ее физическая и геометрическая интерпретация 1. Приращение аргумента и функции. Разностная форма условия непрерывности. Пусть функция й = )(х) определена па некотором интервале ) (а,, 6). Фиксируем любое значение:с из указанного интервала и зададим аргументу в точке х произвольное ггриращение 2ах такое. что значение х + тах также принадлежит интервалу (а...й). т)риритвнтсм )1)йокции й =- Ь'(х) в гпочкв х, соответствующим приригввнию иргу)мента 2ах. низовеле число иу = Х(: +21х) — Кт) (5.1) Так, для функции й = вшх приращение в точке х, соответствукяцес приращению аргумента ьгх, равно .Хх~ . хт Ау = айп(х+ Ах) — вшх = 2соя (х+ — ) вш —. (5.2) 2) Имеет место следующее угвер>кдепиел длл шоно чтобы фйпкцпл д = )'(х) являлись непрерывной в точке х, необходилео и досшгтточно, чгпобы прп)иииснис Ар этой функции в гпо аке х, ) Вместо интервала (о, Ь ) можно рассматривать сегмент (о, Ь), полупрямую, всю бесконечную прямую н вообпее любое влопаясь е себе множеслво (т ).
Определение плотного в себе множества (х) дано в Э 3 гл. 2. производная 157 ссоссгпслессссспслусссщее прираяценспо аргумттси сххч являлось бесконе'. Гно лссл,ссгвслл п)лсл л.мс; — с О В самом деле, по определепию, фусскция у = «(х) непрерывна в точке т., если существует предельное значение 1шч «(с + ллх) = «(г) (5.3) ,Ьл — со В силу п. 3 2' 2 гл. 4 существовапие предельного зпассция (5.3) эквивалентно чому, что функция [«(х+Ьх) — «(х)[ аргумента лхз; является бескопе шо мглой при Ьх — > О. 1оказалсссое утверждение позвозшес выразить уело~лис непрерывности функции у =- «(:г) в точке х в новой форме, а именно: функцсля д = «(х) непрерывна в точке з:, слсмссл п7сслрслсссеюсг Л у зссшй фусскцслсл, в то сксл з:, соответствднгщее путращению аргумента, лхх, являеспся бесконечно мильлм при лхх — э О, г.
е. если 1пп лзу = 1сш [«'(х+ Ьх) — «(х)) = О. (5А) пг ~о пг со Ъслослве (5.4) мы и будем называть )лазноспсной формой условия непрврывноспли функции у — «(з:) в то сскг зх Это условие мы будем неоднократно использовать в дальнейшем. С помощьк> условия (5А) еще раз убедимся в том, ччо функция д = вшх непрерывна в любой точке х бесконечной прямой. Ьх'с ' В самом деле, из формулы (572), слз усювия сов(х+ — л1! < 1 Лх и из равенства 1пп вш — — О пепосредствеппо вытекает, что пг-со 2 1пп сзу = О.
гп -со 2. Определение производной. Сохраним для функции у — «'(:г) предположения и обозначения, сформулированные в начале предыдусцего пупкта. Считая, что Ьх ф О рассхсотрихс в даппой ф)слксслрссвслслслссс1 точке х очпошсние прпрасцепия Ьу функции в этой точке к соответствукнцему приращению аргумента Ьх Ьу «(х + зпх) — «(х) (бс. 5) .лг .Хх Опсошепие (5.5) будем называть розносплным относигнием (в данной точке х). Поскольку значение х мы считаем фиксироваюсым, разпостцое отпошсшсе (5.5) представляет собой функцию аргумента с.'мг. Эта функция определена для всех значений аргумента Ьх, принадлежащих некоторой достаточно малой окрестности точка лЬх = О.
за сссключешгекс самой то ски сзх = О. Таким обра'лохс, мы имеем право рассхсатрслвать вопрос о существовании предела указанной функции при лхх — с О. Определение. лл р о сл з в о д и, о й фуслкцслсс. у = «(с:) в дслнслсссл фиксированной точке х назывиется предел при лтх — с О 158 ГЛ. о ()СНОВЫ ДИФФКРЕНЦИАЛЫ1ОГО ИО'1ИСЛЕШИ51 рагннн:тноао нпгноигхггия (5.5) (при дг>лг>ггглгз., что этот нредел г:игцег>ггго уенг). Производную функции у = «(х) и точке х будем обозначать символом у'(х) или «'(т). Итак. по определепик>, «(,>.) 1>пз ' У )зш «(' ' ) «(х) (5 б) Пх >О ад>' Ъх >О Ьг Отметим.
что если функция у = «(:г) определена и имеет производную для всех х из интервала (аг 5), то эта производная будет представлять собой пекоторук> функцию переменной х, также определеннук> па шпервале (а,б). 3. Производная с физической точки зрения. Понятие производной мы ввели. исходя аз физических соображений, еще в гл. 1. Здесь мы езце раз остановимся па физических приложениях понятия производной. Прежде всего, предположим, что фуззкция й = «(гг) описывает заков г>етгэгсенил млгтерпальной >панки по прямой линии (1.
е, зависимость пути гб пройдешюго точкой от начала отсчета, от времени х). Тогда., как известно. разпостпое отношение (5.5) определяет средцк>ю скорость точки за проьгсжуток времеви от т, до:г+ глх. В таком случае производная «'(х). т. е. предел разиостиого отношения (5.5) при гах — э О. определяет меннон>туго скорость тн гки н мг>мент времени х. Итак, производная фуш(пии, описывак>шей закон дззижевия.
определяет мгновенную скорость точки. Чтобы пе создалось ззредставлецие о том, что понятие производной пшроко используется только в механике, приведем примеры приложешгя понятия производной из других разделов физики. Пусть функция у = «(х) определяет количество эл(ктрпчества й. протекшего через попере шое сечение проводшп(а за время х. (При этом момент времени х = О берется за начало отсчета.) В таком случае производная «'(х) будет определять с(злу тока, проходящего через попере шое сечение проводника в момент времени х. Рассмотрим, далее, процесс нагревания некоторого тела,. Предположим, что функция й = «(х) определяет количество тепла > й, которое нужно сообщить телу для нагревания э>ого тела от О до .т'.
Тогда, как известно йз курса элементарной физики, разпостпое отношение (5.5) определяет г>рег)ггггиг> теплоемкость тела при нагревании его от х' до (х+ Ьх)'. В таком случае прои:>водная «'(х), т. е. предельно(' зпачепи(' разцостпого отношения (5хй) при гах — э О, определяет нгеплг>емкость тенг> ) Выраженное, например, а калориях. ПРОИЗВОДНЯЯ 159 Ряс.
5.1 при, донной п>е>иг>ер>!!!суре х. Подчеркнем, что зта теплоемкость, вообще ! оворя, меняется с изменением температуры:г. Л!ы рассмотрели примеры приложения понятия производной в трех ра:>пых областях физики. При изучении курса общей физики читатель встретится с друп>ми мно! очисшеннымя примерами првложеппя понятия производной. 4.
Производная с геометрической точки зрения. В 9 '2 >л. 1 мы рассматривали задачу о пахожденпи касательной к кривой, являя>щейся графиком фупкппи у = «(х) (на некотором иптервале (а,б)). Там мы дали определение касательной к указанной кривой в точке М(х, «(х)) э>ой кривой. (3>тесь;г некоторое значение аргумента пз интервала (а,!>): см. рис. 5.1.) Если через Ьх обозначить произволын>е приращение аргумента, а символом Р обозначить точку па кривой с коордипатами (х + Ьх, «(х + 21!»)), то касательную. проходящую чере> точку ЛХ данной кривой, Р Я мы определяем как преде,>ьпое положение секущей ЛХР Х(хч>тх1-Х(х1 при ХЛх — э О. Из рис.
5.1 яспо, М что угловой коэффипиепт се- >у кущей МР (т. е. тапгепс угла йх паклопа этой с>>кущей к осп >Ро Ох) равен разпостному отпо- в а >р(лх1 х хе хь х шенин> (5.5). Пз этого факта и из того. что в пределе при Ьх — >О угол наклона секущей должен переходить в угол наклона касательной. мы в З 2 гл. 1 сделали основаш>ый па наглядных соображепиях вывод о том, по >>у!и>вводная «'(х) равна угловому ккмЯигциеигпу каттеаьнги1 в пи>яке М к гХх>г«чику >«гйикции й = «(>г) В пас>05>щем >гупкге мы >г>с>чаям ука>аппыс паглядныс> соображения.
Предположив, что функшгя й = «(х) имеет прои>- водпук> в данпой точке х, мы докажем: 1) по график функция у = «(х) имеет касатсльпую в данной точке М(х. «(х)). '2) что угловой коэффициент указапной касательной равен «'(х). Будем доказывать утверждепия 1', и '2) одновременно. Обозначим угол наклона секущей МР к оси О:г символом у>(Ь:>>). Поскольку угловой коэффициент секущей ЛХР (т.
е. 1й>Р(Ьх)) 1и равен отношению — '. то >1х ' Р(ьх) =- агс1й '~У (5.7) при лк>бом достаточно малом Ьхз отличном от нуля. Из сущесгвовапия производной «'(х), т, е. из существования прсдель- 160 (>ОИОВы ДПФФеренЦийлы1ОГО ис'1ис>1ееии51 Гл. в ного значения 1пп — ' = «(х) и из непрерывности функции -'ау дх — «О гах' и= агс18 гх д.
гя всех значений аргумента вытекает существование пр(дельного значения функции (5.7) в точке гдх = 0 и равенство 1пп гр(2дх) = 1пп агс(я —" = агс(8 «'(х). (5.8) г>х~~ гхх~~ -Ъх Равенство (5.8) доказывает существование предельного значения (при г.'га> — + 0) утла наклона секущей МР« т. е. доказывает существование касательной к точке ЛХ. 1хроа>е то> о. и:з равенства (о.8) вытекает, что если обозначить угол наклона касательной через гро, то гро = агс1п «'(х)«т, с, 18>ро = «'(х).
5. Правая и левая производные. В полной аналогии с понятиями правого и левого предельных значений функции ввод>нся поп>ггия г>1я>вг>й и левон г>1>г>г>звг>днагх фупкщ(и у = «(х) (в дгип>ой ~о~ко х). Определение. П р и в о й (л е в о >й) и р г> и з в о д н о й г(«ункциг> у = «(х) в данной («>икгси1>г>вт>н>гг>й >по'гке т называется г>ранг>е (левое) пределы>ое знака(ие ргьзнг>ст>гг>гг> ответе>и>я (5.5) в то"гке гдх = 0 (ири уги>овин«тно это предельное значение су>дега>вуст). Правую производную Функции у = «(гс) в точке х обычно обозначакп символом «'(:г+0), а левун> производнук> в точке х— символом «'(х — О).
Ег:лп 1>у>гк((ия у = «(х) имеет в точке т. произоодну>о, то она имеет в этой точке и правую. и левую производные, совпадг»ггн(ис меэк;ду собой,. Если г()у>гк"вия у = «'(х) имое>п, в точке х и г>рг>вун>, и яе(еу>г> ирогюводныс и, если уквзоннаге производные гх>вт>>адан>т, меэюду собой, то г«>унк>1ия у = «(х) имело в точке х производную' ). Вмест( с тем существуют функции, имен>щие в данной точке:г и пранук>. и левук> производные, по не имеющие производной в этой точке. Примером >акой функции мож(т служить фупкш>я Эта фупкпия имеет в точке х = 0 правую производную, равпук> .зх " — Ъ 1пп — '=1, и левую производыун>«равную 1пп — = — 1« ах-«оз-о -Зх зи -«о — о Ьв но пе имеет в точке:с = 0 производной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
