В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 36
Текст из файла (страница 36)
6. Понятие производной векторной функции. В математическом анализе и его приложениях часто встречаются понятия векторной функиии и ее прои,>водной. > Это утверждение сщедуег из соответствующего утверж,>ения для правого и левого предельных зна гений фувкпии (см. г>ал>ечавне из п. 1 1 2 гл. 4). 161 П1 ОИОВО,ТНйЯ Если каждому значении~ нерсменнпй 1 из нехотороео мнолсества (г) сгаавиггсз, в соптпетствие ао извесеанолсу закону определгнний вектор а, гао зовп1~лга., оап на мнпвсгстве (С) задана оекторнал функция, а = а(1). Так как каж„гый векто1з а в заданной декартовой прямоугольной системе однозначно определяется тремя координатами к, у и -, то задание векторной функции а — — а(1) вквивалеитно заданию трех скалярных функций а' = я(Ц), р = й(1) и е = е(1).
Понятие векторной функции гзановигся особенно наглядным, если обратиться к так называемому еодозрофр втой функции. Годографом называвтгл геометрическое мепго концов всех векторов а(Е), приложенных к началу координат О. Кривая й на рпс. 5.2 представляет собой годограф векторной функпии а = а(1). Понятие годографа векторной функции представляет собой обобщение понятия графика скалярной функции.
13ве,геы понятие производной векторной функции а(1) в данной фиксированной точке й Для отой пели придадим аргументу 1 произвольное приращепио а Ьс Ф О и рассмотрим вектор .5а = а(йз Л- Ьй) -- а(1) (ва рис. 5.2 указанный вектор совпадает с вектором ЯР). Умножив указанный вектор на число 1/е56 мы получим новый нектар — = — [а(С -1- М) — а(1)), (5.5 ) за 1 * лд коллинеарный прежнему.
1)октар (5.5*) является аналогом разностного отношения (5.5). Отметим, что вектор (5.о*) представляет собой среднюю скорость изменения векторной фу|скрип на сегменте [П 1 л- .51). Производной векторной функции а = а(1) в донной фиксированной точке С назнваетсз предел ари 51 — > О равносганого оггнощениз (5.о ). Производная векторной функции а(1) обозначается символом а'(1) или да/дб Из геометрических соображений очевидно,что производная векторной функции а = а(1) представляет собой вектор, касательный к топографу втой функции. Так как координаты разностного отнопк'ния (5.5~) соответственно 1завны (' л- -51) —: (1) Р(с -1- -."з1) — Р(1) в(1 +.51) е(П .51 то ясно.
что координаты производной а (1) равны производным фупкп1гй г'(С), у'(1), ='(1). Таким образом, вы"шсление производной векторной функции сводится к вычислению производных ее координат. 3 а и е ч а и и е 1. Так как векторная функция а = а(1) апре,кляет закон движення материальной точки по кривой Ь, представляющей собой годограф чтой функции, то производная а (1) равна скорогти движения по указанной кривой. 3 а м е ч а н и е 2.
Из курса аналитической геометрии известны различные типы произведений векторов (скалярное произведение. векторное б В.А. Ильин, Э.11 Позняк. часть 1 162 ()СИОНЫ ДИФФЕ)зЕНЦИАЛЫ1ОГО ИС'1ИС(1ЕНИ51 ГЛ. В произведение и смешанное произведение). Выражение всех этих произведений в координатах дает возможность указать правила, ао которым вычисляются производные г:оответгтвующпх произведений векторных функций. В качестве примера приведем правило вычшшения производной скалярного произведения двух векторных функций а(1) = (аг(1), аз(1),аз(1)) и Ь(1) = = (бг О), ь. (1)., ьэ(1)): (а(1)Ь(1) )' = а(1)Ь(1) -Г- аООЬ(1) = (а', (1)1и (1) -1- о ту )Ьэ ОО + + ггг(1)бз(1)) + (ггг (1)бг (1) + ггэ(1)бз(1) + оз(1))г[г(1)).
Аналоги шое правило справедливо и для векторного п1юизведения двух гзекторных функций: [а(1)Ь(1))' =- [а'(1)Ъ(1)) + [а(1)Ь'(1)). й 2. Понятие дифференцируемости функции 1. Понятие дифференцируемости функции в данной точке. Пусть, как и в нп. 1, 2 предыдущего параграфа, функция у = у(гг) определена па некотором интервале (а,б). символом .г обозначено некоторое фиксированное значение аргумента из указанного игпервала, а символом 2га; обозначено энобое приращение аргумента, такое.
что значение аргумента (с+ глх также ~ргпгадлежит (а. б ) Определение. Функция у = ((х) называется д и ф ф ер е н ц и р у с м о й в донной танис .г, если ггрирвлггснгггг глу отпой функции в точке:г., ггоогпвспгспгвуннцее прггращсниго аргулгсгипа 1лх, лгогисепг бънпь представлснгг в ваде глу = Аьхх: + ос(хг (з.й) ег)г А - 1(ггкгзгггггргг( "гасло, ггг. зггвиггллцгге огп, глх, гг и — ф)уггкгция аряумента (1х, явлгянзгцаяся бесконечгггг малой при г.'гх — Э О. Заьгегим. что функпия (г(!лх) может принимать в точке гзх = = О какое угггг)нгг гзггггчггггие (при этом в атой точке остается справед.,ппзым представление (5.9)). Ради определенности можно положи гь (г(О) = О '). Так как произведение двух бесконечно малых гггдх является бесконечно малой более высокого порядка, чем Ь:г (см.
п. 3 () 2 гл. 4), т. е. (т(1х = о(глх)г то формулу (5.9) можно переписать в виде глу = Аьхх + о(Лх). Теорема 5.1. Для того чтобы функцггя у = )(х) являлуиги диффсрснцируемой в данной то"гкс х., нсогбходглмо гг, доста>потно, чиаобъг она омслгг, в энной точке коггсчггунг проьаводггунп ') Нрн этом частное значение функции гг(ь1г) в точке лт = О будет совпадать с ее предельным значением в этой точке. ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕ1!ЦИРУЕМООТИ ФУИКЦИИ 163 сг Доказательство. 1) Необходимость. Пусть функция у =- «(х) дифферепцируема в ггапной точке х, т. е. ее приращепие слу в этой точке представимо в виде (5.9). Предположив, что г.'гх 7'= 0 и поделив равенство (5.9) гга,Ьх„ получим ~'~ = А+ а. (5.10) Из равенства (5.10) вытекает существование производной, т. е.
Ьу предельного значения 1пп — =- А. ств->О Емл 2) Д о с т а т о ч и о с т ь. Пусть функция у = «(х) имеет в данной точке т конечную производпук>, т. е. существует пре- ДЕЛЬЦОГ ЗийЧШ1ИЕ 1гш — ' = «(:г). ах-->О Ъз' (5.11) В силу определения предельного зпачешли функция а = —— Ъу Ьх — «'(х) аргумента Лсх является бесконечно малой при Ьх — > О, т. е. О* л)су = «'(х)Ьх+ аЬх, (5.12) где 1пп сг = О. Представление (5.12) совпадает с представле- П ->О вием 15.9)„если обозначить через А не зависящее от Ьх чисто «'(х). Тем сймым докйзйгго, что фуггкция у = «(х) диффгрспцируема в то гке х.
Доказанная теорехга позволяет пам в дальнейшем огооогсдествллтл понлпгпе дглффеуенцируелиостп фуньпопп в донной точке с ггсгнлгпглем сугцествовспгпл у функцгллл в донной точке ггГнгглввслдглог1,. Операцию ггахо>ктгсггия ггроизводпой в да:гьпейшем договоримся назьпзать дслфферсзглцглросгслглисм. 2. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности функции. Имеет место счедунггцее элементарное утверж;Гение. Хеорелса 5.2. Если функция у = «(х) дглфференцглрувллсл в донной точке х, то онсл и непрерывно в вгглосй гпочкс.
Д о к а з а т е л ь с 1 в о. Так как функция у = «(т) дифференцпруема в точке х, то ее приращение Ьу в этой точке может быть представлено в виде (5.9). По из формулы (5.9) вытекает, 'по 1пп слу = О, т. е, функция у = «(х) непрерывна в точке х Ьх — >О в силу разпостпой формы условия пепрерывпоспг (см. п. 1 Г 1). Теорема доказана. Естесчвенпо, возникает вопрос о том. справедливо ли утверждепие, обратное теореме 5.2, т. с. вытекает лп из непрерывности фуггкции в дишой точке ее лиффсрегщируемость и этой ООПОВЫ дИЕсрит КицнйЛЬНОГО ИС)ИОЛБНИН ГЛ.
а точкс. Па э!.от ВОП1)ос следует дать с)трнпательный Ответ, нбо существуют функции непре1)ывттые в некоторой точке, но не являющиеся в этой точке чифферснцируемыми. Приъп ром такой фупкпитт мо>кстт стлу.нить фтнкция 11 = '~~с~. Еип видно, тто этй функция неп1)ет)ывттй в тетке х = О, но Оттй (ктпс покйзйно в конце и. 5 ~ 1) пе яьляс тся днффе1и и))струек)от) в этс)й тс)чке. Отметим, что с уществук)т ттещ)с 1Н1вньн' нй нс)к010ром сегмщ1111 фхнкттни, не имеющие ттроизводной ни в одной точкс этого с егхтента ). 3. Понятие дифференциала функции.
Пусть функция у = ~(х) дифференцирусма в точке х. т. е. Нрирюцение слу этой функции в точкс сг, моькст быть записано в виде (5.9). Анализируя формулу (5.9), мы приходим к выводу, что приращение слу дифференцттруехсой функции представляет собой сумму додх сгтигаамъссс: первое из этих слагаемых А)Ьх при А ф О представ,тает с обой функцию прирапн ния стргуттснта С.'тх, линетитую п однпроднун)г) с)птносптпсльно слх; это слагаемое представляет собой прп с".тх — ) О бсст'отсечнп малую такого аюс пор)лс)ка, что и сох: оп)орое. слагаемое стЬх представ;шет собой при сох — ) О бс.сконечно лнтлун) болс:е аъюокого порядка, чем с'.тт;. так кйк отОЛх ношение — = н стремится к нулю при с'тх — ) О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
