В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 38
Текст из файла (страница 38)
(5.20) Поскольку все сию.аемые в правой части (5.20), начиная со второго, содержат в качестве множителя слх в положительных степенях, сущсствует и!ждс>явное зна>1енис указанных слагьи>мых при с.'>х — > О, равное нулю. Первое слагаемое в правой части !5.20) от Ьх> пе зависит. Стало быть, существует предельное значение (при слх — > 0) правой части (5.20), равное их," '.
По опрс"делению производной указанное прс дс-лын>е значение равно «!>он>водной Ч>уч>кции р = х"'. г. е. (хв) = '>исг> Проведенные расс'уждення справедливы для любой точки,г бесконечной прямой. 2. Производная функции у = а>п х. Пользуясь формулой приведения разности синусов к виду, удобному для логарифмирования, можем записать: 170 ОСНОВЫ 2!ИФФЕРЕИЦИЛГ!ЬНОГО ИС'!ИСГ!ЕНИЯ ГЛ. о Таким порезом, су(ц((тв1ет пред(п(ьное зна (ение !прн Ьх — г 0) правой части !5.21), равное произведенин! предельных значений 15.22) и !5.23), т. (Ес равное совх.
По определению производной указанное предельное !начение равно производной функции у = = вшх, т. е. 1вш(х) = сов:г. Проведенные рассуждения справедливы для любой точки:г оесконечной прямой. 3. Производная функции у = соа х. Пользуясь форму(к)й приведения разности косинусов к виду. удобному для логарифыировв(ния. ыоя((хв(:!аписат!: (хх ( , (хх Ьд .= сов!х + Ьх) — сов х .= — 2 вш 1 х + — ') вш 2 ) 2 Таким образом, при (Хх ф 0 !5.24) 2 Так как функция р = вшх является непрерывной в любой точке х бесконечной прямой. то существует предельное значение 1пп в1п1х+ — 1 .= в1п.х.
!5.25) дх (0 ( 2 / Из существования предельных значений !5.23) и !5.25) вытекает существование предельном> значения 1прн Ьх — ! 0) правой части 15.24), равного ( — вшх). По определению производной по(щеднее предельное значение равно производной функции у = = сов.гь т. е. 1совх) = — вшх. Проведенные рассуждения справедливы для любой точки х беско(н.зной! (прямой. 4. Производные функций у = $и х и у = с1и х.
Так как нами уже вычи(щ(ны производные функций у = вшх и у = сов х н так как вн(.(' сов х !их =- — '', с!й:г = — ' сов г в(а х то для вычисления производных функций й = !й:х и р =- сгй,х можно воспользоваться теоремой 5.3 !то вне. формулой, выражпощ(й пронзводнук( ча(тного, т. (..
тр(ть(й из фо1»(ул 15.16)). Мы получим, что всюду, кроме тех точ(к, в которых сов х = =О, 1в!и х)' сов х — 1сов х)' вто х 1 1!и х) совв х сов!.х ' С 5 ТЕОРЕМЛ О ПРОИЗВОДНО11 ОБРЛТНОй1 ФУШ(иии 171 Итак, (1йх) =,, = 1+1и~сх 1д,тя всех значений х, кроме х = — + кп, где и = О,х1....). Анало!'и*п!О в('юг! крОмР тех тО'1Рк., в которых ап1х = О! ,! 1согх)'8>>>х — 18тах)'соьх 1 818 и 8!и х Итак, (С$6 х) = — 1, = — 11 + с$6 х) 8!и х 1,3ия всех '1нач<'.Иий:16 кр(>мР х = ггп, гд('.
и = О, х1!... ). 5. ПРоизводнаЯ фУнкции У = 1оии х 10 < а ф 1). Взав в качРствР !'Г л!Ооу>О то'тку ПОлтпряыой х ) 0 и считая, что )г<лсх) С С иц можем записатьс Ьу = 1ойи(х + Ьх) — 1ой„х = 1ой„" = 1оа„) 1 + — ' ) . х+ (Зх / схх > Таким образом.
при слх ~ 0 8 ~ !!их = — 1О6„[(1 + — ') ] . 15.26) В силу основного результата и. 3 ч 6 гл. 4 выражение в квадратных скобках имеет при Ьх — > 0 1и при любом фиксированном значении х) предельное значение, равное е, Тог (а на основании непрерывности функции у = 1оких в точке х = е сушествует предельное значение 1при <лх — > 0) правой части 1О.26), рав- 1 но( — 1О6 с.
По <нгредс;,тенню производной указанное предельно(1 и значение равно производной функции у = 1о „х! т. е. (1об,сх) = — !о~ос 1для всех значений:г! >ц>инад,н'жа>цих по.тупрямой * ) 0). В частном случае и = с получим 11пх) = 1(гх. я 5. Теорема о производной обратной функции Теорема Б.~. Пусть фгуг!кг)г!и у = 1 гх) о некоп!орой окрестносп!и точки хо еозрисгп!иеп! (,илг) убы(гает) и )<олл(!>пел непрерывной. Пусть. кроме того, фупкцг!и у = 11х) дги)>(1>су)сг<цируел<и о точке хд и проиоиоднил зи1хо) отлипни от нулл. Тогда сусцессооуеси обрит~ич сруг!кцг)л х = у' ' (у), которал ог!ред<!лени 172 ОСНОВЫ 21ИФФЕ»зЕ»ЛЦИЛДЫ1ОГО ИС "1ИСЛЕНИЯ ГД. В в лсслв»с»»»»орс»»7 окретпиости с»с»сз»»»с»сз»пс»табун»и1»зй»почи»», уо = ) (хо), диффере»сии1»уе»ио о этой точке и с»мес»»п в эплой точке»»роиэооднлйю, Ровн»1ю 1/('(хо).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего заметим, что для функции у = »(х) вьпюлнены в окрестности точки хо все условия плед»тизл»с из ~е~~ы 1 с( 4 гл. 4. С»»глас»»с» итсзьсъ следствию существует обратная функция х = 1" (у), о»»1»одело»»н»ля в лп которой окрестности гочки уо = 1 (»»зо) и непрс рывная в этой окрс стностн. Придадим аргуун'нту у этой обратной функции в точке лув произвольное отлпчнос олп нуля прирюценис Ьу.
Этому прирщцению отвечает приращение»лх обратной функции, п1»ллчс.хл в силу воз1»ситанпя (или убывания) функции»Ь,»: ф О. Таким образов», мы имеем право написать следующее тождество: зй» 1 »ху»иу»с»й» (5. 27) Пусть теперь в толсдестве (5.27) Ьу — э О. Тогда, в силу непрерывности обратной функции х = »' '(у) в точке уо и согласно разностной форьле условия непрерывности. и»их — + О. Но л»1»лл Ь»»; — + 0 знаменатель дроби„стоящей в правой части (5.27), по ол»1»еделенллю проллзводной.
ллмеет предельное значение, равное 1'»(с»:) ф О. Стало быть, правая часть (5.27) имеет при 1 »'.11» -л О предельное значение. равное , . Но тогда и левая »'(.тв) ' часть (5,27) имеет при»5г1» — + 0 предельное зна»ение. По опре.1атению л»1»оллзводнойл указанное предельное значение равно 1з (ус»))'. Таким образом, мы доказали дифференцируемость обратной функции в точке уо и получили для ее производи»ил соотнсппепие (Г~(уо))' =,(, ) (б 28) Теорема, 5.4 доказана.
Доказанная теорема имеет простой геометрический смысл. Рассмотрим в окрест»»ос:ти точки:го график функции у 1"зс ''1 = 7'(»»») (илп сзб»1»»лтнсзлл функ»лии). П1»едположим, что точке хо на этом графике соответствует точка ЛХ (рис. 5.4). Тогда, очевидно, производная 7»(»»»о) равна тангенсу у»ла наклона ст касате»»ьной, проходя»слей через точку ЛХ, к оси Охх Производная обратной функции 11' '(рв))' равна тан- ') Символом (» '(уо))' мы обозначаем производную обратной функции в точке уо.
173 ВЫЧИО с!ЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ген<у угла накз!она /> т<)Й же) )оюатс'льнОЙ к О< и О!Й ПОскольку углы о и ~3 в с умън составляют )г/2, то формула (5.28) выража< т очевллдный факт: !й >6 = 1/ !й о, й 6. Вычисление производных показательной функции и обратных тригонометрических функций В этом параграфе, опираясь на доказанную вьппе теорему 5.4, мы про Солжпм вьгли<ление гй>оизводных простейших зл<зхп>пта1)нллх функций.
1. Производная показательной функции у = ах !О < < а ф 1). Показательная функция у = а"', будучи определена на бесконечной прямой, служит обратной для логарифмической функции х = 1ояо!Й определенной на полупрямой у ) О. Поскольку для логарифмической с!>ункции в окрестности любой точки л< полупрямой у ) 0 выполнены все условия теоремы 5.4, то, согласно зтолл теореме, функция !! = а' диффсреншлруема в любой точке х = 1ойо у и для ее производной справед.ливи формула у !а') = !!ой, у)' ! !ой„с у Из этой формулы, Воспольз<)ВНВ!пись изВРстным из элеыентар- 1 ного курса соотношением 1ой 5 = и учитывая. что у = а~, !о,о, Ь ОкОП'1атсь<п ПО получим (а~) = ах 1па. Полученная формула справедлива для всех точек х бесконечной прямой.
В частном случае а, = с эта формула принимает вид (е ) = е'. 2. Производные обратных тригонометрических функций. Начнем с вычисления производной функции у = агсвшх. Эта функция. будучи определена на интервале — 1 < х < +1, <служит обратной для функции <г = сйпу.
определенной на инт<рва.;н) — — < !) < + —. Поскольку для функции х = вп)!! В 2 2 акре)стности любой точки й инте'рвала — —" < у < — выполнс'- 2 ' 2 ны все условия теоремы 5.4, то. согласно этой теореме, функция у = агсвш х дифференцируема в любой точке' х = вшу и для ес. произв<>дной спраВРдлпВа фОрмула !агсв!и:1>)' — ., — = .
(5.29) 1ипд)' совУ <! в;илу 174 ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦ!ЧАЛЫ!ОГО НС'1ИСЗЧЕНИЯ ГЛ. В Мы в:)яли перед корнем знак +, ибо совр положителен вен)ду т т ня интервале — — < у < —. Учитывая, гто вшу = — х7 из форму- 2 2 лы 15.29) окончательно полу шм 1ягсвш х) ( 1 УГГ- 7) По;!у ченнйя фо1>ь!у.>а. Кйк уж( Откнл!й.)ось В проц()осе га> Выводй, справедлива для всея х из интервала — 1 < х < +1. По анало- !ичнОЙ схеме Вычи(>ля(71с!1 щ)ои )Водная функции у = я1ссов >л Эта функция, буду Ги определена на интервале — 1 < т, < +1, (служи> обратной для функции х = сову, определенной на ин- тервале 0 < у < )г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
