В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 33
Текст из файла (страница 33)
6 3 5 путем замены обозначений функций эшз: и сои х иа э'(х) и С(х) соответственно. >) Множество (х) точек бесконечной прямой называется всюду п,лоплнмм на бесконечной прямой, если в любой --окрестности каждой точки этой прямой имеется бесконечно много точек множества (х). 148 ЦОНУ1ТИЕ ФУНКЦИИ. НЕИРЕРЫВНОСУ1'Ь Г21. 1 В силу того, что Я(г>) непрерывна в нуле и Я(О) = О. получим, что , Гх, — х'> с,гх -~- х 1пп В ( " ) = О. Поскольку последовательность ' С( ' ) ) ограни- ченнал ' ), правая (а стало быть. и левая) часть (4.16) имеет своим пределом нуль.
Но это означает, что 1ш> 5(х„) = В(х), т. е. функция В(х) непрерыв- на в точке х. Аналогично доказывается непрерывность функпнп С(:е). Для этого вме- сто (4.15) нужно получить формулу С(х ) С( ) 25( )5( ). 2) Докажем, что значения функций 8(х) в С(х) определяются единр.г огненным абраг>ом в точках —, где р целое положительное нли отри- 2" цательное число, а и — целое положи>ельное число.
Отметим, что такие точки обри>уют всюду игютное множество точек числовой прямой. Предва- рителык> установим некоторые свойства функций В(х) и С(х). Установим, во-первых, что этн функции периос1ические и имеют период 2н ). В самом деле, полагая в (4.1о) хо = х -Ь 2п и х' = х. получим л(х -Н 2п) — Е(х) = 2С(х + х)Я(х). си т> Так как Я(х) = 5 ( — + — ) = 2Е ( — ) С ( — ) = О, то из последнего соотно- 2 2 2 2 шсния вытекаст, что 8(>с+ 2п) = 8(г>), т.
е. функция Я(х) периодическая и имеет период 2я. Отсюда. в частности, следует, что Я(2п) = О. Полагая во второй формуле (4.5') х' = х и х" = 2т я учитывая, что Е(2х) = О, найдем С(х + 2 "г) = С(х) С(2к) . Так как С(2т) = 1 (в этом легко убедиться, применяя формулы (4.5') сна- чала для х' = х/2 и хо = т)2, а .>атем для х' = и и хо = п), то С(т 4- 2к) = С(х). Таким образом. перно,>ичносгь С(х) также установлена. Свойство периодичности функций 8(х) н С(х) позволяет в наших рассу- ждениях ограничиться сегментом [О, 2я].
2йы установим сейчас, какие знаки имекп значения функций Е(х) и С(х) в различных точках этого сегмента. И,> (4.6'), (4.7') и непрерывности Я(х) се>>с>ует, ч>о на сстменте (О, тс>2) з>гаче- ння функция Я(х) нео> рнцательны, прпчеьс на этом сегменте функция Я(г;) обращается в нуль только в точке х = О.
Так как В(п — х) = Я(я)С( — х)— — С(я)о(х) г) и Л(т) = О. С( г) = — 1, то 8(я — х) = л(х). Поэтому на сегменте (т,>2, -) значения функпин В(х) неотрипательны, причем на этом ') Из соо~ношения 5" (х) + С'(х) = 1 вытекает.
что !С(х)! ( 1 для всех х. ше -~- х а огсю.са вы>екает ограниченность последова>ельности (С~ ~). 2 е) Функция 1(х) называется г>ерс>ос)инес:хой с периодом а > О, если >ля любого х справесишво соотношение 1(х -1- а) = 1(х). е) Эта формула вытекае г нз первой формулы (4 5 ) и нечетност и фъ нкцин л(х). ДОИОйи<ВНИВ сегменте функция Я(х) обращается в нуз<ыолько в точке х = х.
Из формулы Я(2х — х) = — Я(х), которая может быть получена анщ<огично формуле 5(х — х) =- о(х), вытекает, что на сегменте [х,йх] значения функцтли д(х) неположителы<ь<, причем функция о(х) обращаегня в нуль лишь па концах этого сегмента. !'ассуждая совершенно аналогично, можно убе,знгьгя, тто функция С(х) неотрицательна на сегментах [О. тг/2] и [Зх/2, 2 т] и неположительна на сегмо<пе [тг/2.
Зн/2] и обращается в нуль только в точках г/2 и Зх/2. Для,заверя<ения доказательства едипс<ве<шости функций л(х) и С(х) нам попа„<ооятся некоторые формулы. к выводу которых мы и переходим. Во-перва<к, отметим„что из (4юм) вытекают следующие формулы '): з (х) 1 — С(х) Ст (х) 1+ С(г) 2 2 2 2 (4,17) Пологая в этих формулах х = х' + хо в еще раз применяя формулы (4х'), мы я получим интересующие нэс соотноп<ения т/х 4-х, 1 1 — С(х)С(х )4-Я(х)5(х ) / 2 „, /хщр хо ') 1+ С(х')С(хо) — .гз(х') $(х") / 2 ') Достаточно во второй формуле (4.,'!') взять х' = хо = х/2, а в третьей формуле (4л') взять т/2 вхшгло х.
Эти форму.<ы показывают, что если известны значения функций о(х) х' 4-х и С(х) в точках х' и т!', то значения этих функций в то <ке опреде- 2 лаются е <ннственным образом. поскольку из приведенных вылив рассужде- ний штедует, что нам и'<вестны знаки функций о(х!) и С(х) в каждой точке сегмента [О, 2т], а следовательно, в силу их периодичности с периодом 2 т, и в любой точке х числовой прямой. Исходя пз известных и <'„<ин<твен- ным образом определенных значений 5(х) н С(х) в точках О. т/2. т, 2н сегмента [О, 2п], мы можем, прил<сная последовательно только что получен- ньп" формулы, выпилить единстве<шым образом значения этих функций во всех <очках вида рх/2" сегмента [О.
2х] (р и и, — це.тые неотрицательные числа. причем р < 2"ч ). Так как множество точек вида рт/2" плотно на -! ! сегменте [О, 2 т], то. в силу гка <анного в начале доказательства единствен- ности, функции 5(х) и С(х) е.<инственным образом определены на всей числовой пряъюй. 2. Доказательство существования. Мы <окажем более общее утвер- ждение. Сущсстпэуютп функции э(х) и С(х), определенные и кепрерь<оиме но всей числовой <рамой, удоолетпоорлюи<ие требооонилм: 1'. Длл ли<бах огщегтпоснных чисел х', т," и х оыполилн<пюл соотно- <оенил Я(<г' 4-:го) = 5(х')С(хо) + С(о/)Я(ото), С(х'+ хо) = С(.')С(хо) — Я( /)Ь( о) (4.э') от(х) + Сз(х) = 1. ДОПВПНВННВ и С(т) в точках множества (в).
Прн этом мы должны убедиться. что последовательное применение этих формул приводит к о,>ному н тому же результату независимо от способа объединения слагаемых в, в гртппы в формуле (4.19). Например, мы можем по.южить в = к 4-х, г 1е х = а>в> и:г, = 2„' а,в„ =э и:>атем вычислить Я(в) по первой формуле (4.5'). Но также можно поло- жить х' = а>в> -~- а>аэ и в" .= 2 а,з,. Чтобы убедиться, что после >она=э те.п пое применение формул (4.5') будет >авать одни и тот же рсзул>пат независимо от способа объединения с;игаемых э, в группы в сумме (4.19), достаточно.
чтобы имели место соотношения б((' 9 кп) 4- '"') = Я'' + ( и+ ч)) С((х' ж х") + т"'] = С[в' + (х" -г к"')). Справедливость этих соо>ношений устанавливается непосредственно путем двукратного применения формул (4.0'). Убедимся теперь, что функпии 5(в) и С(я), определенные нами на множестве (в), обладают свойством 1' на этом ь>ножестве. Пусть в'.
вл и я'+ в" прина>лежат указашюму ыпожес> ву. Представим в>, в» и з>+я > в виде сумм (4.19). Объединяя входящие в в' н в" чис >а в„с одинаковыми т>, до тех пор, пока оставшиеся в не будут иметь различные индексы, мы придем к группировке слагаемых в„, дающей представление (4.19) дл» чиста я' 4 з".
Но выше мы показали, что результат вычисления Я(я) или С(я) для суммы нескольких аргументов не:>ависит от спосооа группировки слагаемых этой суммы. Оло >ователын>, если в, я и в -~-я принадюжат множеству (я), то значения Я(в) и С(в), вычисленные в этих кочках, у;ювлетворяют первым двум соотношениям (4.о ). В справедливости третьего соотношения (4.о>) для указанных значений аргумента убедиться петру ~но.
В самом деле, из определения 5(в) в С(к) в точках 0 н >( следует, что л (О) 4- С>(0) = 1 и 5э(г)) -г Ст(с() =- 1. Из рекуррентных формул (4.18) вытекает справедливость соотношения лэ(в„) + С (к ) = 1 для всех в„, а из непосредственно проверяемой формулы л (х 4-.г )+С (и жт )=(л (т)+С (т))(5 (х )4С (к )) следует справедливость соотношения л>(в) + С>(в) = 1 для всех точек множества (в). Покажем теперь. что для всех точек множества (в). отличных от 0 в с1. справедливы неравенства 0 < 5(э) <1. О < С(в) <1 '). (4.20) Доказательство справедливости неравенств (4.20) проведем по ин,>укцин.
Для этого каждому п поставим в соответствие группу элементов множества (к), относя в зту груп>ту все элементы (в), которые можно предстарс) вить в ви >е —. где О < р < 2" и р нечетное число. Элементы этой группы ')Напомним, что в >очках 0 и с( значения л(в) в С(в) определены формулами (4.0'). 152 РГЕ 1 НОИ11ТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ будут называться элементами порядка и. Каждый элемент порядка и + 1 лежит между двумя последовательными элемен Гамп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
