В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Ц 8 гл. 5), представляя>щук> собой вычшлительный аппарат дифференциального исчисления. Каждая формула этой таблицы, устанавливающая, тто га или иная функция Р(х) имеет производную. равную т (х), приводит нас, в силу опреде.п;ния неопределенного интеграла. к соответствуюптсй фОрхтул(> инт('.Гра.;тьнО)0 нс'тн(хпчтия > з > ((х) (х = Р(х) + С Таким путем мы приходим к следующей таб>тице основных неопределенных интегралов: 7 В.А.
Иаьип, Э.Г. Почнаа. часть т 194 НЕО1!РЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРА2! ! '. )О с1т,=С. 2'. ) 1. с1х = х + С. 3'. х с1х = — + С 1сс ф — 1). и+1 4'. — = 1п/:г/+ С Ог у'= 0). а'. 1' ' ге= — '~-о(о~ ~ц,с.'ак= *~с. !а в 6'. 1 вшх с1х = — сов х+ С. 7'. ) сов х с!х = вйп х + С. 8'. ',"' = 11 +!бах) с1х = 1кх+ С 1сх ф — + яп. где 1 сев х 1 2 и, = О., х1..... ). 9'.
/ '., = 11+ с162х)с)х = — с!ах+ С (х ч'= ягг, где / Вссгг х и=0,+1,...). агсвшх+ С, з Л вЂ” х'-' ) — атосов х + С ~ а!'с1кх+ С, 11'. — агсс1и х+ С. 12'. =1п .'г,+ 1/ха+1~+С (при -- Ц > 1). 1х этим формулам можно присос!дингсть и соответствуютцие формулы для гис!ербоссических функций: 140. ) в1гх; с1х = с11х+ С. 15'. ) с1! х с1.г, = в)!я + С. 16". 1 ., =11гх+ С. 1 с!гг х 17'. 1 — '. = — с11гсг+ С (х Ф 0). вйг х Сделаем замечания в отношении формул 4, 12 и 13, Формула 4 справедлива для любого интер!гала, не со;сержапцего значения х = О.
В самом деле. если х > О, то из формулы 11сгх) с 1 с!х закспочаем, что ! — ' .=- 1пх + С, а если х < О. то из формулы пврнооьрйзнйя Фмнкцнтг н нвопркднлкнный 11нтнггыл 195 [1гг( — х)] = — заключаеьг„по ! — ' = 1п( — х) + С. Тем самым Г йх формула 4 оправдана, для любого х ф О.
Формулы 12 и 13 занимают исклгочитсльное положение в нашей таблице, ибо эти формулы не ихгенэт аналогов среди формул таблицы производных. Однако для проверка формул 12 и 13 достаточно убгнгггт'ьсяг в том. что прогпводные гэыражений, сгошцих в правых частях этих формул. совпадают с соответствуюпгиаги подьштегральными функциями. Наша ближайшая цель дополнить таблицу неопределенных интегралов основными приемами и методами интегрирования, По прежде чем приступить к рвали:запии этой цели. сделаем одно важное за меча нне. В 9 7 гл. 4 мы ввели понятие гэлелгентггугнгэг1 ф11нка1иа, а в и. 3 э' 8 гл.
5 уг'тановили. гто производная любой элементарной функции представляет собой также .элемен гарную функцию. Иными словакт, мы усгановили, что опе1гаг1ггя сЭггфференигсроеанггя не выеодггт нас из класса алеллентарны:г фЭЭньгг1ггг1. Отметим сразу же, что с операцией интегрирования дело обстоит иначе.
Можно доказать, что интегралы от некоторых элементарных функций ужо нс являются элеаиэнтарными функциями. Примерами таких интегралов могут ссгу>кить с гедующпе: 1 в ] г .г г) т 2'. 1 сов(ха) гЬд 3'. ] вш(ха) г1х. '1'. — '' (О < х ~ 1). 5'. ' ' г1х (х ~ 0). х Каждый из указанных интгггратов ггрегЭетпгтггл нет тэбгт функцию, не яоляюгцрюся алемелтгарной, Указанные функции не только реально сущг ствуют '), но и игракэт большую роль в различньгх вопросах физики. Так, например, интеграл 1, называемый ангпеералом Пуассона или нигпегралолг оилибок, широко используется в статистической физике, в теории теп.юпроводности и диффузии. интегралы 2 и 3, называемые интлгралагми 51ы уже отмечали, что в 1 7 гд. 10 будет доказано существование неопределенного интеграла от любой непрерывной функции.
Существо- ванне интегра;юв 1 б обеспечиваетси нецрорывностью подыитеградьных функций. нкопркдклкнный ннтнп лл 196 !Л.В срренел.я. широко применяются в оптике. Часто встречаются в приложениях и интегралы 4 — 6. первый из которых называется инпсегральным логарифмам. а иосси;дние два инпп1г1ккльньсми косинусам и ссзнуссом. Для всех перечис сенных новых функций (интеграла Пуассона, испегралов Френеля. интегра.сьного логарифма, синуса и косиггуса) составлены таблицы и графики. Ввиду важности для приложений, эти функции изучены с: такой же полнотой„как и простейшие элементарные функции.
Восгбп)17 с тедуот подчеркнуть ус'тонность понятия простеишей элементарной функции. й 2. Основные методы интегрирования 1. Интегрирование заменой переменной (подстановкой). Вамепа переменной один из самых эффективных приемов интегрирования. Этот приеьс оазируется на следукпцем элсь ментарном угвстрждении. 1111стпь ф)1нкция 1 = с)7(,х) О7141едвлена и диффертенийг)зуслса, на, нскв7пврвлс .л1нпэнгРстпВР.
(х) ) и 71успсь (1),мнОэтсес7пвО Все.с эналссний этой функции. Пусттпь далее для функцтги я(1) существует на множестпве (1) тсервообраэная функция С(1)7 и,. с. 1 1 1 1 7 а(1) 711= С(1)+С. (6.3) Тогда Всюду на, множестве (х) для футсктцитл е [с)7(:11)]777~(сс) сущес7пВуРтп, 71ерВОО17рсзстная функция, равная С[77(сх)), 7п.
Р. (6.4) Для доказательства этого утверждения:)остаточно воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции-) —,„'",,(С[р(х)) = С'[р(хПАх) и учеггчь по, 1ю оснсс.сс;1снию периообрн пп1й. С (1) = й (1). Предположим теперь„что нам требуеття вычислить интеграл ) (х) с!гл (6.5) В ряде случаев удается выбрать в ка гестве новой переменной таКуЮ днффсрвицнруЕМуЮ фуНКцИЮ 1 = 777(Х), ЧтО ИМЕЕТ МЕСТО Ч Это множество представляет собой либо интервал, сшбо сегмент, либо полупрямую, либо бесконечную прямую. 7) См. г 7 гл. 5.
197 ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТНГ1'И1'ОВАНИЯ равенство (6.6) |(с»!) = я(~р(»»»))с»» (х), причем функция я(1) легко интегрируется, т. е. интеграл е (1) »11 = С(1) + С просто вычисляется. Доказанное выше утверждение позволяет нам написать с!едующук! формулу для интеграла (6.5): ~ ~ч |(с»:) с(х = С(!»»(;!»)] + С. (6.7) Этот прием вычисления интеграла (6.5) и называется ингпегриг»ос»аниел! путем замены иерементт. Конечно, такой прием применим не ко всякому интегралу. Кроме того. следует подчеркнуть, что выбор правильной подстановки в значительной мере определяется искусством вычислителя.
Приведем ряд примеров, иллюстрирующих только что изложенный метод. 1'. Вычислить | сов 2х с(х, Для вы !игления этого интеграла следует сделать прас:гейшу!о подстановку 1 = 2х, »11 = 2»1х. В результате этой замены получим сов 2х »1т, = — сов 1»11 =- — вш1+ С = — вш 2х + С. з с ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ | д т ~ ~ ~ | г с 1 2 2 2 2 . Вычислизь | — '. Этот интеграл вычисляется посредо дх Х +»» ством замены 1 = х + а, »11 = »1х. При этом получим 3'. Вычислить / е'"" вшх с1!»ь Легко видеть, что этот интеграл вычис'35»с»чс»! и'»тем зван»ны г = соя.г.
В самом деле. при этом »11 = — в!и»!» »(х и Г (агесс» т1' 4'. Вь! пк.!ит», с1»е. Д;!я вь! »исв»ени;! !того ипте- 1+ »,'- града удобна замена 1 = агсга х. В самом деле, при такой замене М= 1' И Г(""Вх1'" ~т= |»Ш а = "" ~~=(-с"")'а' ~С 1 + х- | 1-1-: '' | 1О1 1О1 198 нкопгкдклкшзый ииткг)Ал 5'. Вычислить 1 (7х — 9)азз" ««х. Еон««чно„этот интеграл можно свестн к сумме тр«.х тысяч табличных интегралов. расписывая подынз:егральную функцию по формуле бинома Ньютона. Несравненно проще сделать замену 1 = 7«: — 9„«11 = 7«1««:, в результате которой мы получим Г 1гооа «-, 0 гога (7х — 9) ээя 1 = — 12ээа«11= 1 +С= ~ ' ) +с 7 21 000 21 000 б'.
Вычислить | ' . Чтобы усмотреть ту замену, посред- Г «)х «:ог х ством которой может быть взят этот интеграл, перез«ишем его и виде «)х 1' соя х «1х / согх йх сов х ) соаг х / 1 — вшг х Посс«с этого понятно, что следует положить 1 = вшх, «11 = сов х «1х, В резулшате получим г «и 1 )1+1) «х .«з соах / 1 — )г 2 ~1 — 1~ ),2 4«' 3 7'. Вычислить " .
Удобна замена 1 = (2««з)4. «И = )«(2х)" Е 1 = 64:са «гх. Прп этом ~ ~ з ~~ ~ ~ ~ ~ г ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 2 хг «1х 1 | 61 асс«61 С агс)6(2х) С (2х)а+1 64 / 1г -)-1 64 64 8'. Вычислить ', Для вычи«,пгния этого интегра; йх г Ь аг)г«г ' ' ла оказывается удобной тригонометрическая подстановка 1 =- х «11 = агскй —, х =- а181««1х = п —,, а' ' ' ' ' согг1' В результате этой подстановки интеграл принимает впд (хг -)- аг)«пг аг 1 аг аг «1 4 «кг ) + С. агъ~х,г + аг «1х 9'. Вычислить, . Здесь оказывается удобноп под) й г г)г«г ' становка 1 = аг«а)ц —, х = аяза., «7х = а соь1«11. При этом 1 яп1 , х аг /1.;„'-'1 аг /~г хг ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГ1'ИРОИАНИЯ 199 10 .
Вычислить | ~ ' ' дх. тля вы !Ис"и!ния чтото интеграс' у( а — х ла оказывается удобной замена 2! = агссов —, х = а, сов 21„11х = и = — 2авш21М,. Мы получим — с1х = — йа сов 1Л = ~ а ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ д с" 1! =-"Ь- --")"'=-" -"%-""= /с2 2 ,х lхй = — 2ау — авш21+ С = — а агссов — '+ 1 — ( — "( + С.
и 2. Интегрирование по частям. К чисгт!у весьма эффективных методов интстрировавия относится лсьчлод пнтегрссрс!вансся гсо 'час!гаям. ЗтОт метод Основывас'.тся на гас!дуя)н!Охс утвс'.рнсде- НИИ. Пусть кажгдая из функций н(х) и о(х) дссфференцссруелссс на лснссзссессгсве (х) и,, кроле с!гого, на атом многи сспве сусс!Всгпвусет, первообразная, для функцсги ю(х)и'(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
