В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Итак, 8(гл) ~ 8(б), и мы их>еем право рассмотреть с,лс>д1 >г>п>> н> вс>пг>ыогатгь>ы>> >о с)>1 нкцшо: Р(х) = «(х) — ф(а) — [8(т) — й (а)]. (8.20) В силу требований, наложешлых на функции «(э:) и 8(х). функция Р(х) непрерывна на се! менте [а, Ь] и дифференцируема во всех внутренних то гках этого сегхлепта. Кроме того, очевидно, что Р(о) = Р(Ь) = О. Таким образом, для Р(х) выполнены все ус.ювия теоремы 8.11 (Рояля). Согласно злой теореме вну>ри сегмента [а, Ь] налдется точка б такая, что Р'(с,) = О.
(8.21) Их>е>! В Вид>", 'лто Р (э>) = «(т:) — 8 (и). и испо;>ьзуя я(Ь) — д(в) 270 ОснОВные теОРемы О ИГП1'е1'ЫВных Фун1(Цинх Гл. 8 равенство (8.21), будем иметь )'(б) — 7") 7" 8'® = О. (8. 22) е(б) — я(о) Учитывая, что 8'(;) ф О, из равенства (8.22) полу гим формулу Коши (8.19). Теорема доказана 3 а м е ч а н и е 1. Формула Лаграплса (8.7) является частным случаем формулы Коши (8.19) прп 8(х) =:гх 3 а м е ч а н и е 2. В формуле (8.19) вовсе не обязательно считать, что О ) а. 9 12.
Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя) 1. Раскрытие неопределенности вида —. Будем гово- О рить, что отношение двух функций — ' представляет собой при Т(х) к(х) () .г: — + а, неопределенность вида —, ег ш О' 1пп ф(х) = 1)ш 8(х) = О. Раскрыть эту неопределенность это:значит вычислить предельное значение 1пп (при условии, что это предельное зна- У(х) х«а 0(х) чг.игге су п1гкя вует) . Следующая теорема даст правя:нз для раскрытия неопреде- О ленпог:ти вида —.
О Теорема 8.77 (правило Лопиталяг)). Пусть две функции ф(х) и 8(х) гзпределеньг и дифференцируемы вснзг)у в некопхгрогг окрестности точки а, за ггскллггчениемь быть мозгсепь гхгмгт птчкгг, а. Пусть, далее 1ш1 Г" (гс) = 1шт 8(х) = О ,г.-«в ' х — «гг и производнош 8 (и) отлична от, нуля вг"гог)у в указанног1 вьшле окРестности точки а. Тгкедоз если сУи4естпвУет, (копеечное илгл бесконелгное) пр~едельное зно;гелсие 2) 1)ш (8.28) х-га К'(х) ' ') Гильом Франсуа де Нопиталь фраипузский математик (1661 1764). ') Отметим, что предельное зиачение (8.23) может ис сушествовать, тогда П') как предел отпошеиия функций 1пп — сушествует.
Напрцмер, можно ' -у(х) а, взять о = О, Г(х) = х вш —, у(х) = ь1пх. Таким образом, правило лопиталя «действует» ие всегда. 1'АОКРытие неОпРеде.!еннООтей 271 пи) существует и предельное. значение 1пп ', причем, сарах — )а я (х) ведливи форму,аи (8.26) 1)ш — = —, У(х) 7'(а) х — )а ц(х) я'(а) (8.27) 1пп —, = 1пп —,' (8.2-1) х — )а, я(х) а -аа я'(х) Теорема 8.17,(ает нам правило для раскрытия неопреде.,)ено нос!и вида —, сводящ()е вы )и(с)((ние щ)()л()льного знач()иия отноо' ' шения двух функций к вычислению предельного значения от- НО!П()НИЯ ИХ Щ)ОИЗВОДНЫХ.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (х„) произвольная последовательность значений аргумента, сходящая()я к а и состоящая из !ис(.„1, Отличных От а. Пуд()м ра(х:ма1ривзт! эгу ПО((ЛЕДОВатЕЛЬНОСттп НаЧииаЯ С тОЕО НОМЕРа П, С КОП)ОРОЕО ВСЕ Хп принидлезюит окрестности( тонко а, указанной в формзулпровке псеоремь(..
(оопределим функции 1((х) и (х) в точке и. положив их равными нулю в этой точке. Тогда, очевидно, 1(х) и 8(х) будут непрерывны на всем сегменте [а, зп) и дифференцируемы во всех внутренних точках этого сегмента. Кроме того, 8'(х) отлична от нуля всюду внутри этого сегмента. Таким образом, дли 7(х) и 8(х) на сегменте [а. ха) выполнены все УсловиЯ теоремы 8.16 (Коши). Согласно этой теореме внутри сегмента [оахп) най;ктся точка ба такая) что 1(х ) — 1(а) Г (С ) (8.25) к(*-) — к(а) я'(с ) У )итывая, !то, по нап!ему доопр(а н(вн"нгпо, !'(а) = 8(о.) =- О, мы можем (шедующим образ()м переписать формулу (8.25): Пх ) У'(6-) к(х ) к'(ба) Пусть теперь в форму.,и) (8.26) п ) оо.
Тогда., очевидно,,а„— + и. '1ак как мы предположили существование предельного значения (8.23), правая часть (8.26) при н -+ оо обязана стремиться к этому предельному значению. Стало быть, существует предел при и — + оо и „твой п)сгн (8.26). По определению предельного значения функции этот пред(л равен 1пп П ) . Таким образом, .),-)а К(а:) в щ)еделе при и — ) зо равенство (8.26) переходит в равенство (8.24).
Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е 1. Если к у( ювиям теоремы 8.17 добавить требовани( непрерывности производных,Г'(х) и 8з(х) в точке а, то при условии 8'(а) ф О формула (8.24) мол(ет бьггь переписана в виде 272 ОснОВные теОРех1ы О неп1'еРывных Функци|сх Гл. 8 3 а м е ч а н н е 2. Если производные «'(х) и 8'(х<) удовлетворяют тем же требованиям, что н сами функции «(х) и 8 (х), то правило Лопитыля можно применять повторно (т. с. предельное значение отношения первых производных функций «(х) и 8(х) можно заменить предельным значением отнои|вния вторьсх произвснЭньсх этих функций). Мы получим при этом 1пп — ' = 1пп — =!ш| П ) У'(х) «"( ) :с — сь я (х) х — са б'(х),х — сь ух(х) 3 а м е ч а н и е 3.
Теорема 8.17 лш ко переносится на случай, когда аргуме|п х стремится не к коссе|энем|с а к бвгл;внечному пределу а = +оо или а = — ос. Ограничимся тем, что сформулируем теорему 8.17 для с"|учая, когда а = +ос. 77дсть две функции «(<с) и 8(х) определены и д|сфференцирувмы вснп)у на полу- прямой с < х < ос. Пуст:ь, далее. 1пп «(х) = 1пп 8(х) = О х .с | ~ х.
> Ь с сс произво<Эн<ся 8 (х) отлично, овс нулся на уназанм<ой полупря! мой. Тогда, если суп<свис<сует. предельное значение !пп х — Ы сс б'(х) то су|дсствувт, и пре|Эельнвг. знамение 1пп —, ири сель сс|Эхс- У(х) х — с~,х- К(х) вс<)ливо равенспсвв б(х) . '"-'- и (х) П р и м с р ы. 1) !пп т' = 1ш х — со хт х ~о 2х 2 2) Следующее предельное значение вычисляется двукратным прим|.|и|пнем правила Попиталя: х — со х' х-.
о Зх' х. |о бх б 3) Тре.хкратным применс|ннеы ну|свил|с Лопггс"ыя вычи< |яется п1)вдоль|сов зца 1епие 4 ь 1пп,, = 1пп .с; еО хе С 2 соь х — 2 х |О 2.<, — 2<ба х = 1!ш = 1!ш = — 12. 12х" . 24х х — | о 2 — 2 сссь х,т — < о 2 яо х 2. Раскрытие неопределенности вида —. Будем говорить, что отношение двух функций — представ.шет сооой при - У(х) б(х) х — ь а неопределенность вида —, е<ши 1пп «(.г,) = 1пп д'(т.) = ос '). (8.28) х та .т — се ) Вместо ж можно брать -ох ила — ж. РАСКРЫТИЕ НЕОНРЕДЕУ!ЕННОС'1'Ей 273 1 12 Отсюда 8 (х,„) /( ' ) /'(6-,) и(' ° ) 8( ) 8'(б.), П -)' /(х„) Г(х) Если сушесгвует 1(ш, = 4, то 0ля, любоге е > 0 можно фиксировать *--8 (х) Г(б») номер т столь болыпии, по при любом п > т дробь, "' будет отклоняться от числа .4 меныпе чем на е/2.
Далее, учитывая (8.28), мы можем для данного фцксироведшого т найти номер пе такой, что при п > пе дробь 8( -) 8(:г„) /(х.) 1 —— /(яь ) е/2 будет отклоняться ос единицы мепыпе чем на . Но тогда при ~ 4( -1- е/2 п > пе дробь будет отклоняться от числа А меньше чем на — -1- -Ь 14~ -Ь вЂ” = ", Л это означает, что предельное значение 1пп ' сушествует и равно 4. .
-э 8(г) 1пп 1пх хэо-~-0 х П р и м е р ы . 1) !(ггу у/ш!пт, х — уо-1-0 1пп ',, = — 2 1пп у/ш = О. 1/х х-э010 ( — 1/2) х з~г хэО8 0 Дчя раскрытия этой неопределенности, т, е, ддя вычисления пределыиуго значения 1шт —, справедливо утвержде/(х) х — ге 8 (х) ние, совершенно аналогичное теореме 8.17, а именно; если о форллрлггровке теорелгы 8.17 заменить требование 1пп /'(ш) = х — уо = !пи 8(ш) = О на рсловие (8.28), тпо теорема, 8.17 останеласл спера сзе длиной. Для доказательства рассмотрим ирои,,еояяи~рю последовательность (х„) значении аргумента, сходяптуюся к о справа (или слева).
Пусть х„, и х„. любые два элемента этой последовательности с достаточно большими номерами т и и, удовлетворяюшими ушговию п > ш. Применяя формулу Коши (8.19) по сегменту (хе,. х„)., мы можем утверждать, что на этом сегменте найдется точка е,„„такая, что 1- У(х-) /(х„) — /(,г„,) /(х„) /(х„) /'(8„„,) 8(х„) — 8(х,„) 8(х„,) 8(х,„) 8'(Е,„„) 8(х„) 274 ОснОБные теОРех1ы О неп1'еРывных ФггнкЦНЯх Гл. 8 2) в-кратным прпьюнением правила Лопита.|я вычисляется предельное значение х" . ах .
п(в — Их:"' 1пп — = 11ш = 1пп х — е-Ьсс е' х — ~-Ь~ е". х — ~ -е се е а! 11ш —, = О. 3. Раскрытие неопределенностей других видов. Кроме О сс изученных выше неопрелеленностей1 видов — и —, часто встре- О сс чаются неопределенности следуюших видов: 0 ос. оо — оо, 1 ОО осв Все этп неопределенности сводятся к изученным выше двум неопредю1енностям путем алгебраических преобразований. Покажем это, например. по огнопн нию к послес11гим 1преьи пз указанных выше неопределенностей.
Каждая из этих неопределенностей имеет вид 9 = 1(х) ~'сэ: (8.29) где прп х — 1 и 1'(х) стремится соответственно к 1, 0 или ж, а 8(:г) стремится соответственно к оо, 0 или О. Логарифмнруя выражение (8.29), получим (считая, что 7'(х) > 0) 1пй = 8 (х) 1п 7'(х). (8.30) Для нахождения предельного значения выражения (8.29) достаточно найти предельное значение выражения (8.30). ,1аметим, что в любот1 из трех рассметгр11ваемых глуча в выражение (8.30) представтнет собой прп х э оо неопределенность вида 0 оо.
Стало быть, достаточно научиться сводить пеопреде- О сс пенность вида 0 оо к неопределенности ви;1а — и.ш —. Поке1жем, О сс как это делается. Итак, пусть (8.31) и=Их) Ф(х) причем 1пп |р(х) = О. 1пп ф(х) = ~ос. х -э с хэа Пере1шшем (8.31) в виде = (х) Ф(х) = ","-' (8. 32) ь1(х) 0 и1шдно, вырыкепне (8.32) представляет собой при х — > а О неопределенность вида —.
Наша цель достигнута. П р н м е р ы. 1) Вычпешить 1пп ххз Обозначим 9 = х". х — ЕО-ЬО !в х Тогда 1пу = т,1пх = — '. Применяя правило Лопиталя. будем 1/х 275 ЕОРХ(УЛВ ТийЛОРВ 1 13 иметь 1ип (1пу) = 1гш — "' = 1ип "',, = — 11ш х = О. 1(гх х-(0-(-0 " х — (ОЧ-0 1ггх' х — (0-~-0 — 1((гр х — (ОЕО Отсюда ясно, что 1ип у = 1. х — хО О 2) 1пп(1+ х )"-'- . Пусть у = (1+ х )"-'- .
Тогда х — хв 1иу = 1п(1+х ). (е' — 1 — х) Пользуясь правилом Лопиталя, получим 2х 1в(1+:г,") . 1+где 2х 1ип1пу = 1гш ' = 1пп = 1ип х-гО .гг-гО с' — ! — х х-(0 е' — 1 х — гО (е' — 1)(1 -(- (сг) 2 = 1ип... =2. х: -хО с'" (1 -Ь хг) -(- (с' — 1)2х: Отсюда ясно, что 1шг у = е~. х — хО 8 13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
