В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Во-первых, выясним границ>я изменения т. Из формулы (8.86) получаем 292 основныв тногвй1ы о нгпгвгывных ст3 ннцинх гн. 8 Из 18.91) сзезгует. что для значений ЛХ, удое.~отворяющих неравенсгваы 18.84), абсотпотпал величина х удовлетворяет условию ') (х) < 0,172. 18.92) Заметим теперь,что структура остаточного члена Хст„гэ1х) такова, по опенка для отрицательных и положительных значений х может быть прогедена одинаковым способом 1из формулы 18.89) видно.
что замена х на — х не изменяет структуры Гтг„т„(х)). Поэтому досгаточно получить оценку Яш,,тт1х) для х > О. Учитывая это и неравенство 18.92), полу шъб заменяя я 1 правой части 18.89) величину х чвслом 0,172, величину — единицей. 1+дх 1 1 а величину — чисюм „, следугощукг опенку: 1 — дх 1 — 0.172 ' 10,172) ""' г 1 2п+ 2 С (1 — 0,172)т"тг1 В последней формуле внесем 10,172) " в квадратные сгсобки.
Так как 0.172 1 — 0.172 < 0,208. получи а следуюшукг опенку для Лт„, г1х): Я„т1х)~< (0,172)т"те З- (0,208) 'т 2п-Е2 18.93) При вычислении 1и а на электронно-вычислительной мапгине т) формулу 18.90) берут обычно при и = 6. Точность вычисгений для этого случая (0,172)'" + (0,208)' опенивается, как ви;шо из 18.93), числом ' ', которое не 14 превышая г 1.625 10 2. В ы ч и с л е н и е агсе8 о. Очевидно, можно ограничиться ггтучаем положительных значений аргумента, ибо, полагая )и! = х. найдем агсг8 и = эйп о агс18 х. Укажем теперь стан,тартные преобразования, с помощью которых вычисление агс18 т для значений аргуменга х, пе меш шик 1/8, приводится к вычис тенпю арктангенса для значений аргумента, меньших 118.
Пусть сначала х > 1. Положим у = агсййх, т. е. х = 18 9, и хч = 1819— ейр — 1 х — 1 — аггея 1). 11з последней формулы получаем х~ = = — ( 1. Так гяр+ 1 х+ 1 г как агс18 г = агс181 -~- атеей х1 = — + агс18 т|„то вычис гение агсейх для 4 знэчеяий х > 1 привозится к вычггслеггякг гит Г8 х1 при 0 <:г1 < 1 Обратимся теперь к слгчшо, когда аргумент удовлетворяет перавен- 1 стаям — ( х < 1. 8 Пусть Ач = 1. )гт = 1/2, ка = 1/4., йл = 11'8. Очевидно, для некоторого г = 1. 2. 3, 4 выполняются неравенства к, <х<2к,.
18.94) ) Так как х является функцией от 8Х, то вопрос сводится к разысканию максима. и ного значения модуля функции 18.91) на сегменте )1/2, Ц, е) Именно так вычисляется 1па на эчекгронно-вычггснигегп ной машине ВЭСУ1-6. 293 ДОПОЛЛНВВИВ Положим у = агс18х. г. е. х = 68 у и,г, = 68(у — агс68Л,). Из этой формулы получаем Р„ — = Ьо + Ь,ч- (8 96) Ьи+ Ьз Ч- Величины им и,..., и обычно назыззаются чистньзми чишгителхми, а Ье, Ьы..., Ь„чиглииыми за имглзизиеллми. Цепные дроби Ре Ьо Рз и1 Ри и1 —.= —., — =Ье+ —, — =-Ье+ и,,.... (8.96) бд. 1' Оз Ь,' бди Ьэ ) Именно так поступают, например, при вычизшениях на электронной машине БЭСМ-6. 48 у — Л, х — Ь, 1+у,сйу 1+ух Так как х > О, то 1 -З- Л,х > 1, кроме того. согласно правому из неравенств (8.94).
х — )ч < 2Ь, — Л, = Л,. Поэтому ив после;щего выражения для х„ получаем неравенство х, < Лз. Поскольку агсгбх = агс18 Ль -~- агссбх„то вычнсленне агссй х для значений х„удовлетворяющих неравенствам (8.94), приводится к вычислению агслй х, при О < т, < Ь,. Повторяя описанные преобразования аргумента х самое большее чегыро раза, мы приведем вычисление агсс х для значений х из полуинтервала 11'8 < х < 1 к вычислению арктангенса для значений аргумента, меньших 1/8. Для вычисления агс68 х при х < 1/8 используется формула Маклорена х' х' , хэ"+ агс18х = х — —, -г — —...
+ ( — 1) ' -~. Йи,тэ(х). 3 5 2п,т1 При вычислениях обычно последнюю формулу берут при п, = 6 и отбра- сывают остаточный член ). Программа вычислений дтя логарифма и арь- тангенса общая. При пользовании этой программой для арктапгенса надо и, 3 лишь позаботиться о перемене знаков у соседних членов рлз ч- 1 2. Вычисление тригонометрических функций, показательной функции н гиперболических функций. Вычислегзие этих функций основано на применении ц е п н ы х (или.
как их еще наэывазот, н с- и р е р ы в н ы х) д р о б е й. Необходимые нам свойства этих дробей приво„тятся ниже в и. 1. Вычисление всех перечисленных функций связано г определенной цеп- ной дробью, которая получается при разложении функции Сйх. Поэтому мы подробно рассмотрим вычишзение значенвй функции Ьйх, а затем ука- жем, каким образом вычисляются остальные функции. 1. Некоторые сведения о цепных дробях. Конечной Р„ цепной дробью — называется выражение вида (д„ 294 ОСНОВНЫЕ '1ЕО1»ЕМЫ О НЕП1'Е1'ЫВНЫХ ФуН1(цИяХ Гуй 8 Р„ назыеакпся пттдттттдлатттжтт дробями для дроби — ". 0„ Если положить Р.т = 1, (2 т = О, то из выраткений (8.96) дти подхоРл, дящих дробей — (Ь = 1, 2,, и) можно получить следующие формулы, (2» свялтыватотт»ит' Р» с Р» т и Р»-т и ()» с (эз»-т и Ю;- т: Р» = Ь»Р» т ч-тт»Р» т, ()» = !тлел-т "-тт»Ял-т.
(8.97) Р»Д» т — ьстт»Р» ~ = (Ьт.!"л. т + е»Рл. т)Ц» т — (!т»(тз» т + ттЯ»»)Р». = — а»(Р» -тЯ» — т — (кт»-тР» — т). (899) Последовательно используя соотновление (8.99) ддя значений !Х (!т — ! ), ()л— — 2), ..., 1 и учитывая, по Р т = 1, („1 т = О, Щт = 1, мы придадим дроби (8.98) следующий вид: — — = ( — 1) ал,а» т...ат Р» Р», »э., 1 (8.100) (е» (т'»-т (ээ» — т (2» Так как ло с помощькт (8.100) лты и получим необходимую нам сттепиалытую фор- Р„ мулу для дроби —.": (.т» ' (Ы, а,а (2.,а 2.
Разложение функции сйх в пепнукт дробь. Используемый в этом пункте способ разложения функции Сйх в цепную дробь был предло»тлен Ц!лемильхом т лля разложения в пенную лробь функции 18:с. тт !'ассмотрнм функпню р = ей ьтх для значений х ) О.
Очевидны т и.— Луютпие тождества, получаемые последовательными дифференцированиями датитой функции и простыми преобразованиями: 2ьГт, Лз'.= з)тьтт, 2ътхутн -1- Р— 9 .=-О. тттх 2»ттх ') Б с 1» ! о пл т ! < Ь О. Ге!тет т!еп Ке!Ьетт!ттттсй !Ет !8х. 0 Ха 5!ас)т. и. !»йуэ. 18о7.
Хт. 2. Я. 137 — 165. Нам понадобится специальная формула для дроби — ', опретлоляемой соотношением (8.95). Для установления 'этой формулы сравним две подхо- Р» Р» дяплие дроби — н . Разность этих дробей, очевидно, равна дл 0», '- Р» Р»-т Р»Я»- — »л- (8.98) (т'» — ~ (т'»- т(з» Числите»и правой части (8.98) в силу (8.97) лкпкет быть записан в виде 295 ДОПОЛНВ)П)В 4гу"' -)- бган — у' = О, (8.103) 4хую ' '+ (4п+ 2)ую л 0 — ую) = О.
о эг) Обозначим отношение ', через и,„г. Тогда из последнего соогног/~"' 1 шения (8.103) получим тождество 4хв,„л ъ + 4п + 2 = —, из которого в„.).г вытекает л:оотношение 1)г2 'и .г. г 2п -Ь 1 Ч-2хивгг (8.104) уг' 11),Гх Так как иг = — =, то соотнопигнио (8.104) при и = 0 может быть у 2ъгх ' записано в следуюшей форме: СЬ ъ)х = 1 -)- 2лгиг В правой части 'этой формулы заменим иг его выражением, полученным с ггоъгощью (8.104) при и = 1.
В результате получим формулу 11) ьгх = 1+ 3 4-2т;из В последнеъл соотношении мы можеъл заменить иъ его выражением, полученным с помошью (8.104) прн 'и = 2. Такого рода операции ъгы ъюжем провести лк)бое конечное чиг.то раз. В резулг тате получим разложение функции 1Ь ъггх в цепную дробь. Заменяя в этом разложении „/х на .г, найдем нужное нам раэ,тоженис функции 1Ьх в конечную цепнуиг дробь. Это разложение имеет вид (8.105) ейхв 1 4- 3 -)- :с ,,г 2п -)- 1-)- 2;гггил ). 3. Вычисление значений функцллгл !Ьг. Оценк а п о г р е ш н о с т и в ы ч и с л е н и й.
Вычисление значений функции сЬ х на электронно-вычислительной машине обычно производится с помошью формулы (8.105), в которой отбрасывается член 2х'и„в. При этом л берется равным б (и = 6), значения же х по абсолютной величине ограничиваются чис.лом яг)4. Из пос,леднего соотношения по.гучвем тождеслво, справедливое для всех х>0: 4л:у ' + 2у' — у = О. (8.102) Последовательно дифференцируя толслество (8.102), будем иметь 296 основнык ткоркьйы о нкп1»крывных шун1сцияк ккк 8 (8.106) рт„ Так как для дробей — и О т =Я т =0 и Оп=От»=1, то с помо- щью формул (8.106) и соотношений (8.97) получаем с тедующие равенства: Ф = бдт Я = Я„.. 2„= 0„, О„ет = (2тт»-1-6 2хгп». )1д„-рт»Щ, т О,,+т — — (2п-~-1)(тт„-Ьх (тэ Ров, Р„.„, Представим теперь каждую из дробей ' н " в виде (8.101).
Из форедэ О мул (8,106) и (8.107) ясно, что зтн представления будут отличатт ся лишь последними слагаемыми. Поэтому разность "" — " будет равна раз- О, ности последних слагаемых представлений этих дробей по формуле (8.101). Так как ратттость рассматриваемых дробей равна бй х — 11тх, то, используя (8.106), получиьт следующую формулу: Л.бд,. О„О„», Эттт гоотяотпение с ппеппцыо формул (8.107) легко преобрвзпвывается к следующему виду: ,д бт»Я,ньт 12гл(гт„и вег .»- (2п -Ь 1Щ„+ тегЯ„т 1 ,1ля получения нужной нам оценки воспользуемся снедукпцими двумя неравенствами, которые будут дока»апы ниже. При х > 0 длл любого А > 1 сприведлишт нерпвенстивм (да > (2/е — 1)!! (8.109) При х > О велттнттна н„г ттоложнтттельни: (8.110) и„».г > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
