В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Ь(т т проведем оценку погрешности д. тя . тюбого номера и. Обоптачим приближенное значение функции 16 от, полученное из (8.105) путем отбратывания члена 2хтн„г, через тЬ:тн т Ьптт выяснения точности вы'пилений мы дотжны, очевидно. опенить разность ЬЬ г — т1т:е. Заметим, по ЬЬх и Г!те представляют собой цепные дроби, которые мы обозначим Роет Р„ет сотлветственно — и— О„„, Выпишем значения частных числителей а,. о,, и частных знаменатвлей Ь„Ь, дтш этих дробей (черточкой сверху мы будем обозначать вели тины, Р„,, относятпиестт к дроби ' ). Имеем бд.„ нт Йт х ттг ог х ° ... тт .т.т п».т х Ьо=бо=в, Ьт=бт=! ...., 6„=6„=2п — 1. 6» т = 2п+ 1-Ь 2тгги„ег, 6„» т = 2п+ 1. 297 ДОПО71Н8111!8 Перейдем теперь к оценке разнсюти с!эх — !Ьх при х > О.
Так квк при х > 0 и„тв > 0 (см. (8.110)) и любое гзь > О (см. (8.109)), то выражение в квадратных скобках в правой части равенства (8.108) нг превосходит единицы. Далее, из (8.109) получаем еле.чующее норавенство: („)„Я, э, > [(2п — 1)0) (2п+ 1). Поэтому прн х > 0 лля любого номера и справедлива следующая оценка погрешности: е ьэ .г " "!"' < ((2. — 1)))р(2 +1)' Остаэпэвилк:я на опенке погрешности при и = 6 для значений х, удовлетворяюгдих неравенствам 0 < х < г/4.
При и — —. 6 число 2п — 1 равно 11, а число 2п + 1 равно 13. Так как (н/4) < 0,.8, то хэв < (0,8)ш < 5,6 10 Легко подсчитать, по 11!! = 10395. Поэтому, учитывая, что 2 6+ 1 = 13, из формулы (8.111) шэвучиьь шо ошибка в ирибэлиясенном гэычиавеяии ФЬ х для и = 6 не превышает 4 10 и Докажем теперь неравенства (8.109) и (8.110). Доказвтельгтво неравенства (8109). Докалсем сначала неотрицательность любого ф,.
Из формул (8.106) вытекает яеотрипательность !эь и йь при х > 0 для любого й < и. 5!ы уже отмечали, 'шо сГ, = О., Сэзо = 1. Отсюда н из второй из формул (8.97) вытекает неотрицвтельность Ць для .тюбого а < и. Из второй формулы (8.97), а также из неотрицвтельности ль и ф, вытекает неравенство ~ -Пе 4 Ь; ' !1~ ~ (х) = — --. !э~ Урбедиыся теперь в том, что 1)ш !хл~ ~ 'ур'~ !(х)~ = 0 ото~ Для втого достнп очно убедиться в том., что величина (8.113) (8.114) (8.115) в1э эгх ограничена прн х э 0-1-0, Из соотношений 9 = сЬ чгтх и 9 = вытекает., 2,/х что 9(х) н !!'(х) ограничены при х э 0 -!- О.
Но то~ да эп (8.102) вьггеквет, что и величина хд (х) ограничена при х — э 0 -!- О. Юь > !эь57г ы (8.112) Так квк ~о = 1, а Ьь = 2а — 1 и!)н 1 < )г < и, то последовательно из неравенства (8.112) полу )аем с), > 1, Цв > 3, ..., Щ. 3 (2Ь вЂ” 1))!. Сп!эаведливость неравепг тва (8.109) установлена. Доказательство неравенства (8110). Достато !тго доказать. ~то все производньге функции у = с1э. 'х при х > > О положительны. Очевидно, тем самым мы докажем неравеяство (8.110), <~эю ибо и„ээ = 9~ х Умноэкая последнее соотношение (8.103) на ", мы моэкем перепн- 4 гать зто сОотно!пенне В Виде 298 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕ51Ы О НГП1'ЕРЫВНЫХ ФуН1(НИНЕ ГГЕ 8 После этого из пос.нщнего соотношения (8.103) по индукции по.
~учается, что вели тина (8.115) ограничена при х — г О+ 0 для любого номера п. Тел~ самым соотношение (8.114) доказано. Докажем теперь., шо для любого номера и производная (8.116) р (т:) положительна при я > О. О'и'видно, что р~ (.с) = р(к) = сЬ х/х положи- ~01 те.тэна при т > О. Предполовсим. что для некоторого номера и ве.,птчина (8,11б) по.,южигельяа при я > О. урбсдимся то1да, что н 1Г'"тО(т) положительна при я > О. Из (8.113) заключаем, что произнодная в левой части (8.113) положительна при х > О, т. е. функция я"з НэрщтО(я) возрастает при л > О.
Но тогда из (8.114) следует. что эта функпия положительна при я > О. Итак, 11Ш~' (л) > 0 при л > О, и неравенство (8.110) доказано. 4. Вычисление гиперболического синуса, гиперболического косинуса и показательн о й ф у н к ц и и. В дальнейшем символом 5„(1) мы будем обо:значать следующую цепную дробь: (8.117) 2н4-1 Обычно для электронно-вычислительной машины составлшот программу вычисления этой цепной дроби. Используя эзу программу, можно без 1атруднений составить программу вычистений гиперболического тангенса, ибо, как бгяло выяснено в предыдущем пункте, приближенное значение 1Ь х может быть вычиштено по форму.п (8.118) 1Ьк- 5'-( э)' причем в предыдущих пунктах было также выяснено.
что с увеличением н точность вы сиглений возрастает и погрешность стремится к нулю. Вычисление функций вЬ 2х, сЬ 2х, е'" может быть редуцировано к вычислению гиперболического тангепса с помощью формул 21Ь х 1 -1- 1Ьт л э„. 1 4- 1Ь х 1 — ЦП х' 1 — Ц~-':с' 1 — 18 к Из зтнх формул и из соотношения (8.118) полгчаются следбтощие формулы для приближенных значений перечи<шеннгих функций: 25,(к') л 5,',(х') + з-' т, 5„(яэ) 4-л Ясно. ~то с помощью этих формул и программы вычислений для 5'„(1) легко составляются программы для вычисления вЬ 2х, сЬ 2л и сэ'"'.
5. Вычисление тригонометрических функц и й. По аналогии с раз:южением в цепную дробь функции ейт строится разложение гсля функции 18 я, 299 ДОПОУ1НВНИВ Расс>пирам функпик> у = сов <х для значении х ) О. О'гевидны с.<едук>- щне соотношения, полу'гаемые пос'>едовательными диффереш<ированиями этой функции и щюстыми преобразованиями: и у у 2тгхд = — Я1п>!»О 2>/хр' -1- — ' >ух 2>ух ИЗ последнЕго соотношения получаем тождество 4,д + 2!' +;д = О. Последовательно дифференцируя это >ождсство, будем имоп, 4хуи' -К буи 4- у' = О.
4»д<" '+ 14>> 4- 2)дш >О + ущ> = О. Обозначим о<ношение через и„«.. Тогда из последнего равенства у" 1 полу <им равенство 4»и„< > 4-4п 4-2 = — —, .из которого вытекает соотно- И„,<>' шение — 1г2 и 2п+1+ 2хи;; > Отсюда, в полнои ана.логии с рассуждениями для гиперболического тангенса, получаем еле,ту>ощее разлшкенно функции 18х в цепную дробь: х Гкх— 1+ 3 -~- б+ 2п+ 1 + 2х» и„>» Прибш<женпое значение 18 <г получас> ся из этой формулы путем о гбрасывания члена 2х>в т».
С учетом выра>кения (811<) это приближенное значени<' может бь<ть найдено по формуле 18х (8.119) Как н в пиучве гиперболичегкого танп нса, можно убеднтьгя, что с увеличением и то шость вычи<шепий по формуле (8.119) возрастает и погрешность стремится к нулю. С помощью известных нз курса элемонтарной математики формул 2гйх, 1 — 18 х яш2». = . н сов 2х =, н соотношения 18.119) по,ту гаем сле- 1+18»х ' ' ' 1+18»х дующие формулы для вычисления приближепгпях значений яш 2» и сов 2;г: 25а( — »») . х Ь",, г — х>) -е»>» эп>2»: — у( с>) >, <.оэ2х — о»< >) В заключение заметим, что точность вы гисленнй всех функций., указа>шых в последних двух пунктах, для шести итерапий (и = 6) будет не моньше 10 '' при условии, по аргумент х по абсолютной величане нс пр<'- вышает к,<4.
ГЛЛВА 9 ГЕОМЕТРИт1ЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАФИКА Ф'з'НКЦИИ. НАХОЖДЕНИЕ МАКСИМАЛЬНОГО И МИНИМАЛЬНОГО ЗНАт1ЕНИЙ ФЪ'НКЦИИ 8 1. Ъ частки монотонности функции. Отыскание точек экстремума 1. Отыскание участков монотонности функции. В 8 10 предыдущей славы мы уже установили ряд условий, обеспечивающих возрастассие (илп соответственно убьксание, ссвссозра; спсспсие и сссубьюаспсв) функписл «(х) на некотором интервале (аэ й).
Для удобства сформулируем еще раз найденные условия: 1', Для того чтобы диффсревпируемая на интерва:се (а,й) 3 2 функпия «(т) ссе убьсвала (ссе возрау у=х -Зх -4 стпала) на этом интервале, необходи- 0 1 2 мо и достаточно. чтобы производная этой функпии «'(х) была неотрипательна (неположительна) всюду на этом интервале. с 2', Для того чтобы дифференпиру-4 емая функппя «(х) воз1хсспсалса (убывала) на интервале (о,,й), достаточно, 'с чтооы производная «' (х) была ооложительна (отрппательпа) всюду на этом интервале.
— 8 Таким образом, изучение вопроса об участках монотонности дифференпируемой фупкпии «(х) сводится к исследоРис. 8.1 ванаио знака иервссй нрсисзводной этой с«1усскцсси. В качестве примера рассмотрим вопрос об отыскании участков монотонности функции «(х) = х' — Зга — 4. 11оскольку 3 ЗО! О'!'ЫС'КАНИЕ ТОЧЕК сЭКСТРЕЫУМА )с(х) = Зхв — бх = Зх(х — 2), то, очевслднсц 7ч(сг) положительна прп — оо < х < О, отрицательна при 0 < з: < 2, положительна прсл 2 < х < +ос. Таким образом„рассматриваемая функция возрастает на каждой ссз полупрямых ( — ос, 0) и (2, +ос) и убывает на интервале (О, 2). График этой фупкпии изображен на рнс.
9.1. 2. Отьсскание точек возможного экстремума. В и. 2 !) 7 предыдущей главы мы ввели понятие локального максимума (мстссссмсдма) функ!сии 1(;с) и установили сссобходссмосс суслов!!с! наличия у функции /(х) в данной точке локального максимума (клинимума).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
