В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 60
Текст из файла (страница 60)
(Х вЂ” а)" ' Х-1а а!(Х вЂ” а) Учитывая щ1едпо1шеднее равенство (8.49), мы можем переписать (8.51) в виде наа1(х:1 1 ' ~ -~-1 (х) ~ -1-! 00 1ш! " = — 1пп т — ~а (х — а)" и! х а х — а ТаК КаК ПрОИЗВОдлая Ла,, (а) 1ТШЕСтВуст И В СИЛУ ПОСЛЕДНЕГО (а) соотношения (8.49) равна нулк1, то предельное зня"!ение в правой! части последнего равенства существует и равно нулю, что н завершает доказательство равенства (8.50). Тем самым вывод представления (8.48) заверни н. Б зак11к1чен1к'. Зяпиш1'.ы НО:1ностью форм1лу ТейлОря с Ос1Я- точным 1!Пном в фОрме Пенно 1)( 1'(х) = Г'(а)-е ™ (х — а)-е...+ (х — а)а-1-о[(х — а)а).
(8.52) 2. Другая запись формулы Тейлора. Част!1 зшпк:ывак1т формулу Тейлора (8.33) в несколько ином виде. Положим в (8.33) а = хв, (х — а) = !ах и возьмем остато шый член в форме 21агрянжа (8А6). При этом х = хе + Ьх, и мы получим Лх.+ х)-ах.)=":";") х+"',"( х)'+ уы~(ха) ( а ) . ум ' 1(ха + !!Гаям) („~, )аа ! (8 .
3) 711 (11, + П! оиинкл оотлточного члипл 5 15 (Здесь г! некоторое число нз интервала О < 0 < 1.) Формула Тс'йлора (8.53) является естественным обобщс пнем формулы Лагранжа (8.11) (см. 8 9). Формула Лагранжа (8.11) получается из формулы (8.53) в частном сс!учае и, = О. 3. Формула Маклорена. Принято называть формулой ЛХнклоренп ') формулу Тейлора (8.33) с пентром в точке а = О. Таким образом, формула Х!аклорена дает представлечше функции в окрестности точки х = О. Запишем формулу маклорена для произвольной функции Е(х) с остаточным членом в форме Лагр шжа, Коши и Пенно Я): )(х) = Е(О)+ Е (, )х+ Е,( )хе+... + Е,( )хв+ЕЕвс!(х). (8 54) 7 7.
где остато !ный член имеет вид: 1) е фо)»се Лаг)ншжа .»Ес Лосс(Х) = ",Е(о' ')(0Х) (О < 0 < 1); (855) 2) в фсзрме Коши!) ""1 — д" ( ) 7 ( ) 7 ( в + П ( 0 ) ( О < 0 < 1 ) ( 8 г б ) 3) в фора!!с Пенн!! Всс Гс(Х) = О(Хв). (8.57) (Мы использовали формулы (8.46), (8А7) и (8.48).) Перейдс.м к оценке остато шого члена в формуле Тейлора Маклсзрена. к отыскан!по разложения по формуле Макло)эена важней!них элементарных функций и к рассмотрению различных приложений .-этс7й формулы.
8 15. Оценка остаточного члена. Разложение некоторых элементарных функций 1. Оценка остаточного члена для произвольной функции. Оцсспим для пронзносгьной Функции ф(х) Ос',таточный член в формуле Маклорена (8.54), взятый в форме Лагранжа (8.55). ') Колин 51аклореп английский математик (1698 1746). при атом предполагается, что П,с:) имеет в окрестносги точки к = О (и, -Ь 1)-со производную, а для остаточного члена в форме Пеано — в окресиюсти точки 7 = О (и — 1)-ю пронзво.Сную, а в самой точке:г = О и-ю производную. з) Еще раз подчеркнем, что значения Сс в формулах (8.55) и (8.56). вообще говоря, разли"шм.
282 ОснОВные теОРе\1ы О нГП1'ЕРыВных ФУЦ1(Циях Гл. 8 Прг.дположим, что ргк;сма 11)ива()мая «амп фу нкцня Х(х) облалаг т г)ледующим свойством; стшесп)вуен) от)кое вещественное. число ЛХ. чапо длл всег номеров и и дгя всех г)наченг)й аргумента х иг) 1нхсмвл)риваемой г)крестгноглпи точки х = 0 сг)Х)г); ведливо неравеналпво ]Х(а)((1:)] < ЛХ.
(8.58) Функцию, обладающую указанным свойством, будем пазы- вать г))унк)(ие)1, совокупность вгюх производных котораи огракиичена, в окрас)пносгп)г, п)очки х = О. Из неравенства (8.58) выт(каг-"), что ]Х('0(дх)] < ЛХ, (8. 59) и поэтому из формулы (8.55) следует, что ]Ла,(х)] = "',] Х(а")(Ох)] < ЛХ ]г)] Итак, мьг получаем следуюи) ую универсальную оценку ос)пата")- ного член)), для, гоункг)г)1), совокуггносьпгь всех производна)х коп)арой ограничена, числом ЛХ в г)крестнос)пи точки х = 0: е) ]Л„,,(хп < ЛХ ]'] ',. (8.60) Напомним, что при любом фиксировашюм х 1пп ]] =0 а — )х (и -1-1).' (см.
пример 3 и. 3 з 3 гл. 3). Отек)да вытекает, что, выбирая достаточно большой номер ггв мы можем сделать правую часть (8.60) как угодно малой. Это дает нам возможность прим(нять фг)рмул! Маклорена для приблн)кч"пно)х) выпи):л()ння функций, обладающих указсошым свойстьом, с любой нашред 'Заданнгн) точность10. Приведем примеры функций, сг)вокупность всех производных которых ограничена в окрестности точки х = 0: 1) Х'(х) = е", )'(п)(х) = г с совокупность вс(.х производя),)х э) ой ф) нкцпн ограш)чг на на л)обои сегменте ( — г, г] (г " О) лом ЛХ = е'.
2) 1(;г) = сг)н:г нли ! (гг)) = в)па. Совокупност) всг'.х прги)звг)дных каждой пз этих функций ограничена всюду на бг сконечной прямой чиго)ом )гХ = 1. 2. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций. А. Х(х) .= е". Поскольку 1'(а)(х) =. е'"', ХО) (0) .—.— 1 для любого и, формула Маклорг'на (8.54) нмг от вид Ех = 1+ — „", + 2, +... + — ", + Лвт1(Х). (8.61) 283 оцкнкл оотлточног о члннл гдв остаточный члСн в форме Лагранжа 1)авен , » -(-1 Ки. (х) = ™~, еа* (О < 0 < 1).
На любом сегменте (--и. +и) (и > О), в силу того, что ~еаг~ < е", псщучим следующую опенку для остаточного члена: (8.62) Б. )'(х) = ейпх. Поскольку )' " (х) = вш (х + и — и')~, (), 2 ( ) . и 0 при четном и. У (О) = юпи — = ( — 1) в при нечетном и,. формула Маклорена (8.54) имеет вид ,з, в 1 †х" вш х .= х — — ' + —; — —" +... + ( — 1) -' — ' + Ви ~ 2( а). (863) 3! 5! 7! и! где и нечетное шало, а остаточный член в форме Лагранжа равен Ли-, 2(х) = в(н ( их + и,— + я) (и+ 2)! (, 2 (0<0<1). Очевидно, что на любом сегменте ( — и. +и] (г > О) для остаточ- ного члена справедлива следующая оценка: )Ли-~-2(Х) ~ ~~ (8.64) В.
)" (х) = сов х. Поскольку )(и)(х) = сов (х+ и — "1, 2/' (и) и 0 при нечетном тм )' " (0) =:„, „ ( — 1) -' при четном и,, формула Маклорена (8 о4) ~~~в~ енд гг,,в,а сов х = 1 — —, + —, — —, +... + ( — 1) в —, + 14ив.2(х). (8.6о) где и, — четное число, а остаточный член в форме Лагранжа равен «-в Ли.е2(х) = 'Г:;(Ох+и + -) (0<О< Ц. (и-ь2)! ~ 2 На любом сегменте ( — и„+г~ (г > О) получаем для остаточного ч;и'на оценку (8.64).
284 ОснОВныи '1ВОРемы О ниц1терывных Фзун1(ци11х гл. 8 Г. 1'(щ) = 1п(1+ я:), Поскольку при н > 1 У[")(::) = (-1)'-' '" "', У(О) = О. УОО(О) = ( — 1)"-'(, — 1)), (1З т)а~ формула Маклорена (8.огй) имеет вид з 1п (1+:г) = щ — —, + — '; — — *+... + ( — 1)о' ' — + Лаы 1(щ) (8 66) 2 3 4 и Остаточный член на этот раз запишем и оценим и о форме Ла- араззжо,, и в форме Коиззз: т1 Лотз(з:) = „, (в форме Лагранжа), (8.67) ( +1)(1+рт)"з' Ф тз(щ)~ <, „,. (8.
69) Г)з оценки (8.69) очевидно, что для всех щ из сап мента О < щ < 1 Лот~(щ) э О при п — а оо. Оцепим теперь функцию 1п(1+ т) для отрицательных значений щ из сегмента — г < га < О, где О < и < 1. Для этого будем исходить из остатсзчнсьго члена в форме Коши (8.68). Перепишем этот остаточный член в виде Ли 1(га) = (-1)" ( ) . (8.70) Принимая во внимание, что для рассматриваемых значений щ 1 — е < 1, и переходя в формуле (8.76) к модулям, будем иметь 1 -'; Ря е1 Ф'-и(щ)~ <," (8,71) '1ак как О < г < 1, то оценка (8.71) позволяет утверждать, что!1ш Ло„, — О. ' ) Еще раз отметим, что а формулах (8.67) и (8.68) значения д являются, вообще говоры, различными.
Лае1(г) = ( — 1)ищ"т, ) (в форме Коши). (8.68) (1-~- дя)" т' Для оценки функции 1п (1+ щ) для значений щ, принадлежащих сегменту О < ги ( 1, удобнее исходить из остаточного члена в форме Лагранжа (8.67). Переходя в формуле (8.67) к модулям, получим для всех га из сегмента О ( щ < 1 285 ! 16 П!'1ЛМЕРЫ ПРИЛОЖЕИИ11 ФОРМУЛЫ З!ЯКЛОРЕ!!А Д.
)'(х) = (1+ х), где о — вещественное число. Поскольку з'(п)(х) = а(о — 1)... (н — и, + 1)(1+ х)" "', ~!п)(О) = о(о — 1)... (и — и. + 1), формула Маклорена (8.54) имеет вид (1+ )а 1+ о + а(о — 1) 2+ 1! 2! а(о !)'''(о и+Ц а Л (х) (872) а! где остаточный член в форме 1аграпжа равен (, ) (и ) (~ ) (1 ! Ох)о — (е 1)тле! (О ~ () ~ (и е 1!) (8.73) В частном «лу !ее, когда а = в -- целое число, Л~Р1(х) = О, и мы получим известную из элементарного курса формулу бинома Ньютона Если нужно получить разложение не двучлена (1 +:г)"'„а двучлена (а+ 2:)", то можно вынести а" за скобку и во< поль:зоваться формулой (8.74).
При этом получим (.+х)п = и" (1+-')" = ."~1+ — ",(-*)+и(",, "(-')'+...+(-') "~. Таким образом. общий случай бинома Ньютона является частным случаем формулы 51аклорепа. Е. !'(х) = агс1'8х. Можно убедиться в том, что О п)>и четном и, ( — 1) 2 (и — 1)! при нечетном н. Таким образот!., формула Маклорена (8.54) с остато !ным членом в форме Пеано (8,5?) имеет вид агс!8 х = х — — + — — — '. +... + ( — 1) ! — + о(х"). 3 5 7 п (Здесь и -- нечетное чи!ло.) Е 16.
Примеры приложений формулы Маклорена 1. Алгоритм вычисления числа е. В и. 4 3 3 гл. 3 мы вве15п ли пило е как предел 1пп (1+ — ) и получи.ти для е грубую и-~ж ( и 286 ОснОвные '1еОРех1ы О н1'п1'ерывных Фун!(ЦЦЯх Гл. 8 оценку [(аь формулу [3.7) из гл.
3) 2 < е < 3. Теперь мы укажем, как вычислить чи(гю е с любой интересующей нас степенью точности. Воспользуемся формулой Маклорена [8.61) и оценкой остаточного члена [8.62), положив в этих формулах:г = г = 1. Получим е = 1 + — + — +... + — + Лн.ы [1). 1 1 1 1! 2! и! [8. 75) где [лт.!1[1)[ < [ ',), < [ ' 1),. [8. 76) Выбирая в формулах [8.75) и [8.76) достаточно болыпое и, мы можем оценить с помощью этих формул чпсыо е с лкзбой интересуюп1ей нас степенью точнос;ти. 2. Реализация алгоритма вычисления числа е на электронной машине.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
