В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Указанный в предыдущем пункте алгоритм вычисления пцла е лагко реализуется на электронно- вычислительных машинах. Мы приведем результат вычгнгзения чшла е по формуле [8.75) при и = 400 на электронно-вычис:яительной машине БЭСМ-6 ). Вычисления велись с 600 знаками после запятой. г Для читателей, знакомых со стандартным алгоритмическим языком АЛГОЛ, приведем записанную на этом языке программу вычислений: Сггслиима Алгол — БОСЯ|6, вариант 10 — 19 — 69 Ьеиш !пгекег г, с. р, и, т: ш!екег агтау а, Ь. с [О: 601[; ш: 400: шаг [39, оО, 39.
10. О, 0); в[О[: 1;Ь[0[: 1: Гог г: — 1 всер 1 ппВ1 601 с!о а [г[ г — Ь [г[: — в [г[: — 0: Гог и: 1 вгер 1 пп11! га, с[о Ьек)п Гог г: —. 0 вгер 1 ппг1! 600 с1сг а[с[:. Ь[г[:с: . а[0[; гог г — 0 вгер 1 пгг11! 600 с!о Ьек1п Ъ [г[: .= с сг а: с, = [с — и) х Ь[г[ х 10 Ч- а(г Ч- Ц еггс! р: — О Гог г: 600 вгер —. 1 пп11! 0 с1о Ъек(п с: .—. с[с[ -~- Ь[г) -г- р: р: — О Ьрс < 10 ЪЪеп с [г[: .
с е1ве Ьеи!п в [г[: — с — 10; р: = 1 епс! епс1 . О Гог и: 1 вгер 1 оп!1! 6 с1о Ьеяш оп!рог ['10,', 'яс1.'. в[0[): !ог г: 1 вгер 1 пггг1! 690 с!о оп!рог ['кс!', в[а епс1 епс! 1 и прими ы прило>иииий Формулы млклоринл 287 Ъ штывая поэме>нные олпибки окру>:ленин, хлы о>броси.ти поп ледние 10 знаков и приводим результат вы шсзения с 590 знакахпл ш>сле запятой: 2,718281 828459 045235 360287 471352 662497 757247 093699 959574 966967 627724 076630 353547 594571 3821 78 525166 427427 466391 932003 059921 817413 596629 043572 900334 29>260 595630 738132 328627 943490 763233 829880 753195 251019 011573 834187 930702 154089 1:19934 884167 509244 761!60 668082 264800 168477 411853 742345 442437 107539 077714 992069 551702 761838 606261 331384 583000 752044 933826 560297 606737 1Р3200 709328 709127 443747 047230 696977 209310 1-11692 836819 025515 108657 163772 111252 389781 425056 953696 ?70785 449969 967946 864454 905987 931636 889230 098793 127736 178215 424999 229576 351482 208269 895193 668033 182528 869398 496-165 105820 939239 829488 793320 36 ...
Отметим, что па проведение всех вычислений ушло око.ло одной минуты машинного времени. 3. Использование формулы Маклорена для асимптотических ) оценок элементарных функций и вычисления пределов. Формула Маклорена является мощным средством для получения асимптотических оценок элементарных фунллл(ий и вычиг:ленин пределов. В гл. 4 мы установили следующие аснмпготические формулы для элементарных функций: ейпх = х + о(х), Я + х = 1 + — ' э о(х). и 1п(1+ х) = х+ о(з).
(8.77) е' = 1 + х + о(х), сов х = 1 — — + о(х ). х Формулы (8.77),(азот представление элементарных функций при малых значениях (х(. Первые четыре из формул (8.77) оценивают соответствузон(ие .элементарные функцлли с точностью до членов 1-го порядка относительно малой величины;г, а последняя из форилул (8.7?) с точностью до членов 2-го тле>рядки о'лепи;ительно х. Оценок (8.77) оказывается достаточно для вычисления простейших пределов.
Однако для вычисления более сложных пределов, в которых определяющую роль игршот члены более высокого порядка относительно малой величины х, формул (8.77) ) Формулу или опенку. характеризуюлцую поведение 7(х) при х — > а (з,леса при х — > О). называют аеимплаотинеекой. 288 ооновныв твогвхсы о нгпгкгывных ез нкциях гл.
о оказывается уже недостаточно. Так, например, при помощи формул (8.77) невозможно вычислить предельное значение 1пп (8.78) ибо по виду знаменателя можно заключить, что здесь опрсдс- лззющую роль игрьнот члены 3-гсз псзряс)ка относительно х, Таким образом, для вычисления тонких пределов необходимо получить более точныс асимптосическис оценки для функций, стоящих в левых частях форму.с (8.77). Такие оценки немедленно вытекают из формулы Х!аклорена (8,54), ес,зи в этой формузсе взять остаточный член в форме Пеа- но (8.57). Записывая формулы Маклорепа (8.63), (8.?2), (8.66), (8.61) и (8.65) и беря в каждой из этих формул остаточный член в форме Пеано, получим следующие асимптотические оценки: » — 1 х э)пх — х — — + — — + ( — 1) 2 — + о(х ), 3! 3! а! (1+х) — 1+ — х+, )х +... п(п — 1)...(п — а -Е Ц ... +, х~ + сз(хз~), !п (1+ х:) = х — — + '— —...
+ ( — 1)" ' — ' + о(х"), 2 3 сз ,2 ез = 1 + — + — +... + — + О(.'и ), 1! 2! а! ,д з сов х = 1 — —, + —, —... + ( — 1) з —, + о(х"'з '). (Здесь в зсервой из форлсул (8.79) и — — любое нечетное число, а в последней из формул (8.79) а щобое чепзное число.) Формулы (8.79) оценивают соответствующие элементарные функции с сочти:тыо до чзизнов любого сзсзряс)ксз. и, относительно малой величины х,. Эти формулы являюпзс эффектслвныго средством для вычисления ряда топких предельных значений. Приведем примеры использования асихсптотических формул (8.79).
1'. В качестве первого примера рассмотрим уже записанное выше предельное значение (8.78). Привлекая первую из формул (8.79) (взятую при и = 3), будем иметь , з :х х — —,+и(х ) — х Г 1ззп ' ', = 1пп, = !пп ~ — — + о(х) -ео хз; -эо х' з †~ 3! З 31 2о с " С вЂ” соах з .. х-еО хз асп х ! 10 НРих1еры прилОжений ФОРмУлы 81А1(лО!'енА 289 Исходя из вида знаменателя., можно заключить., что опреде- ляюп!у«о роль должны играть чл(ны 4-го порядка относитель- но х (ибо вш т = х+ о(т)). Пользуясь формулами (8.79), можем записать 2,,4 совх = 1 — — + — '+ о(х')« 2! 4! (8.80) вптх = х + о(:с) « (8.81) е = 1+а+ — +о(х ).
2 Отало быть, при х = — х21«2 получим ,2 е 2 =- 1 — — + — '+о(г'). (8.82) В силу формул (8.80), (8.81) и (8.82) искомое предельное значение может быть переписано в виде х' хт 2 — 4- о(х4) — 1 -«в 8 2 24 1 — — -« 1= 1ни 2:-40 :т4 4 о(х'4) 1 11 8 х-«О 1 1 = 1пп (совх+ — ) т — «0«2 Обозначим через д величину ) у = «!сов т, + — 'л ) . Тог!!а 2 ) 2 = 1пп 4Л 21огарифмируя выражение лля Рб будем ил«еть х — «О' 1 4 хтх 1пу = 1п (сов:г+ — ! . х(а«п х — х) 2 Вычислим х !и сон х -«- —,) 2, 1пп !пу = 1пп х — «О ' и — «О х(г4п х — х) ) При малых т, вь«ражение ! соьх+ — ) заведомо оо.ложительио.
2 «' 10 В.А. Ильин, и.1! Полнив, «асть 1 Здесь символом (т(х) мы обозначили гдуюся бесконечно малой при х -«О.) 3'. 1 — -1- а(х) 4- а(т) 8 24 12 о(х ) величину , , являю- 4 290 ОснОБные '1еОРемы О нец1«е1«ыпных ФУВ1(ЦиЯх Гл. 8 х х 0 °, х,,4 — + — + о1хб), вш,г, = х — — ' + о1х )« 2 24 ' б , з 1п (1 -Ь вЂ” -Ь о1ха)) 24 = 1пп х-«О х — — -ь о1х») 6 + х) = х + 01х).
Из этой Формулы Поскольку соях = 1— поз«учим 1«зп 1гз у т, -«О У пем теперь, гго 1п 11 1п (1 + —, + о1хб)) = — + о1х ). Таким образом, 1 о1х «) 24 хз =- 1пп — — -1- а1х) х — «О 1 „4 6 л — ч- о1х ) 1пп 1пу = 11п т — «О х — «О х — — -1- о1;га) б Отсюда Т = 1пп 11 = е т. х — «О ДОПОЛНЕНИЕ ВЫх1ИСЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ зРУНКЦИЙ агсссб х = — — асс(8 х. агсаш х = агссб 2 атосов т =. агсссб з/à — ха ' ') Сведения о непрерывных дробях читатель может найти в учебнике А.П.
Киселева «Алгебра» 1Учпе«тгиз, 1969, с. 188 — 201). В настоящем Дополнении мы изучим вопрос о вычигщении значений простейших элементарных функв:ий. Для вьзчисления значений всех указанных функций используются два вида алгоритмов, первый из которых основан на разложении вычисляемой функции по формуле Тейлора, а второй на рвало«кении ее в пенную или непрерывную дробь ').
Первый алгоритм «зозволяет составить единую программу вычислений значений логарифмической и обратных тригонометричгских фушсций. Второй алгоритм лежит в основе универсальной програымьг вычислений остальных простейших элементарных функпий. Помимо обоснования указанных алгоритмов, мы провелеч оценку чи(ща итераций, обеспе гивающих заданную точность вычиглений. 1. Вычисление логарифмической и обратных тригонометрических функций. Вычисление этих функций основано на применении формулы Тейлора.
Рбы подробно рассмотрим вопрос о вычислении логарифма и арктангепса. Вычисление значений асс(тб х, щсе(их и агссоа х легка сводится к вьгчислению арк гангенса с помощью следующих известных формул: 291 ДОПОХ11!81!ИВ 1. В ы ч и с л е и и е 1п о. Представим число о ) 0 в следующей форме: о = 2гЛХ, (8.83) где р целое чис >о, а ЛХ удовлетворяет условиям 1 2 — ( ЛХ < 1.
(8.84) Отметим, что представление а в форме (8.83) единственно. Используя фор- мулу (8.83), получим для 1п а следующее выражение: (8.85) !па = р!п2+ !пЛХ. Полагая 1 1-1- х >1Х = —— ь>2 1 — х и подставляя зто выражение для ЛХ в (8.85), преобразуем формулу (8.85) для 1п а к следующему виду: 1> 1 -!- х 1па = (р — -Х! !п2-1- !в 27 1 — х (8.87) 1 + х Разложим функцию 1п по формуле Маклорена. Легко убедиться, что 1 — х зто разложение с остаточным членом в форме Лагранжа имеет гледующий вид: 1 -1- х 2хз йха !п = 2х -!- — -!. — -!-...
-1- )7>„цьт(х), (8.88) 1 — х 3 э 2п!-1 гдо 1 1 ХС „~.>(х) — , , — , (8 89) 2п + 2 ~(! + рх)т +т (1 - Вх) .е ): а чисю д заключено строго между нулем и единицей. Для приближенного вычисления !по используется следующая формула: 15 / хз уа ,2 ч> 1по (р — — ~!п2-Ь2(х-Ь— 2,) ~, 3 5 2п-~-1! (8.90) ЛХ»>2 — 1 ЛХь>2 -1- 1 (8.91) 10* 1 -Ь х которая получается из (8.87) п>утем замены 1п — частью формулы Ма- 1 — х клорена, (8.88) для атой функции без остаточного члена ХС>„тт(х). Заметим.
что число х в прибли>кепной формуле (8.90) для !па определяется из формулы (8.86) с учетом ограничений (8.84)>, наложенных на ЛХ. Перейдем к сцен>се погрешности формулы (8.90). Так как приближенное значение 1п а, вычисляемое по формуле (8.90), отличается от точного значения, вычисляемого по формуле (8.8 > ), на величину остаточного члена Йи,т>(х), то для выяснения погрешности достаточно оценип зтог остаточный член.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
