В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 65
Текст из файла (страница 65)
рис. 9.1). Так как ("(х) = Зхз — бх = Зх(:г — 2), то функпия 1(х) имеет две точки возможного экстремума; хз = 0 н хз = 2. Поскольку знак 1'(х) с;н)ва и справа от этих точек легко выясняется, у!ожно 1Ге!пить вопрос ОО экст1нгмуме при поу10щи теоремы 9.1 (первого достаточного условия). Но мы предпочи- таем привлечь теореыу 9.2 (второе достаточное условие).
11меем 1'(~)(х) = бг. — 6, Г"(~)(0) = — 6 ( О, !"(~)(2) = 6 ) О. 306 ГеОметеи'!ескОе исс:1едОвяиие ГРАФикя Функции Гл. 9 Таким образом, функция 1'[сх) имеет максимум в то)ке О и минимум в точке 2. Экстремальные значения этой функции равны Лш~х = У[О) = — 4, ~ол)с '— ,)'[2) =' — 8. 5. Экстремум функции, недифференцируемой в данной точке. Общая схема отыскания экстремумов. До сих пор мы решали вопрос о наличии у функции 1[:г) экстремума в такой. точке с, в которой функция 1[со) дифференцируемсг. В этом ггункте мы изу шы вопрос о наличии в точке с экстремух1а у такОй ф) пкнии, которая п();1ис))ференц1ц)уемз в тОчке с:, но дпфференцируема всюду в некоторой окрестности справа и ( )иова 01.
с. Оказывается, теорема 9.1 может быть обобщена на случай такой функции. И)1(пило, им(1(лт ы()сто слс(дуюннк) утверждение. Теорема У.Я. Уусгпь функция 1[си) дифференцируемо, вен)- ду в некоторой окрсетнсн)ти то"Еки с, за, исключенислл. быт) мос))с:епг, игмсгй )почки с. и пепрерывпп, в точке сз Тогда„есмг в пределс) с указанной окресгиности производная 1'[з)) полооюительна [отрицательна) слева от, пн)'еки с и от.- рицогтельна [полоелгительпа) сп1гава от, точки, с. то функция )'[х) ил(ест в точке с локальный ллаксимум [минимум). Если зюе прог(ввод)юя 1~[а)) имеепг один и тот зюе зиогк слева и справа от о)очки с, то зксгпремумсе в точке с нет,.
Д 0 к а 3 а т Р. л ь с т в 0 в тОчности совпадаРт с доказательством теоремы 9.1. '1олько на этот раз применимость к функции г'[сх) по сРГх1Рнт')' [с,:се) тРОРРыы ПНГранжа у('танавливаРтся сле— дующим образом: по условию функция 1[х) дглффслренцируема [)1 стало быть, и непрерывна) всюду на полусегъ(енте [с,(хе)) и, кроме того, непрерывна в точке сх Тем самым 1[сх) непрс".рывна всюдУ на сеГЫ('.нтР.
[с, хо) и диффРРенциРУ(лыг) ВО всех внртР()нних точках этого сегмента. Примеры. 1.Найтиточки экстремума функции 1(х) = [;х[. Эте) (1)ункция (иффе1жещ)ц)тема Всн)ду на Ое)скон(лчной прях)ОЙ. кро'ме' точки з: = О, и нРНИ('рывня в точке х = О. причем производная ))[х) = 1 при:г ) О и равна †1 п :г ( О. о Теорема 9.1 к этой функции не)приы(п(ихп), а соГласно те)0!хек)е) 9.3 Она име(.г минимум при х =-- О Р)ЛС. 9.4 [р.гсь 9.4).
а н) 2. Найти точки экстремума функции у =- ха'1. Эта функция непрерывна на всей бесконе гной пряъюй и дифференцируема всюду на этой прямой, за исключением то гки х = О. Производ- 307 отысклник тоник экстрнмумл ная при х ф О равна ) 2 1 З,з,)л В предыдущем примере прои:)водная имела в точке х = О разрыв 1-го рода ): на этот раз производная имеет в точке х = О )1 разрыв 2-го рода («бесконечный скачок)). Нз выражения для производной следует, что эта еероеезводная отрицательна слева от то екн х = О и положительна справа от этой точки. Стало быть, георема 9.3 позволяет утверждать, по рассматриваемая функция имеет минимум в точке х = = О (график рассматривас)хюй фуеекции изображен на рис.
9.5). 3. Н)1Йтп точки зкстрекеузс)1 фуеекции прн хфО, у = 1(х) = ,О при и=О. Легко видеть, что эта функция непрерывна па всей бесконечной пря- рнс. 9д мой. В самом деде, единственной ссомнительной) точкой является точка х = О, но и в этой точке функция непрерывна, ибо 1пп у= !пп у=О. ,-за+о' , — о — о Далее, очевидно, что рассматриваемая функция дифференцируема на всей оесконечной прямой, кроме точки х = О. Всюду, кроме этой точки, производная определяется формулой 1не да-е~' 1 у (' "") )'(л) — 1(0) 1 Легко видеть, что предел 1пп ' ' = 1егп, не суще- х--)О )):с — )О 1 -).
сп" ствует, так что функция у = 1(х) недифферепцируема в точке х = О. Поскольку производная у' псыожительна и слева, и справа от точки х = О, расс:матриваемая функция, согласно теореме 9.3, не имеет эесс)трс)к)ух)а в то еке х = О, а стало быть, и вообще не имеет экстремумов. (График рассматриваемой функции изображен иа рис.
9.6.) 1\ ) В том смысле. что зта производная хоть и не сущсствовала в точке х =- = О, но имела в этой точке конечные правое и левое предельные значения, не совпадающие между собой. 308 ГЕОМЕТРИ'!ЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАФИКй ФУНКЦИИ ГЛ. 9 По!и»холим к»гошссй схс'.мс» отыскания точек лона„»ьного эксгцгсисуа»гг.
П1»сдположим, что функция !(х)»се»сречрьсони ни интервале ) (а, Ь) и ее»»1»сггсс»водная Гс(х) существует п непрерьсвнп, »ис этом интервале. вснгду, кроме конечного ч»с»э»и ого"сек. Кроме того, предположим., что ссропзсюдссая ~'(х) обре»щи»стоя в нуль но, интервале (сс, Ь) лиань в конечном числе точек. У Иными словами, мы предУ=1 1/л полагаем *его на г»нте1)вггле !сс,гг) имеется лишь копечное число точек. в ко- Ъ х 'го1»ых п1»Оис»ВОд»»ггя э (х) пс: ь- существует нли обращается 9 в пу.,»ь. Обозначим эти точки с имволамн хг, ха,..., х„ (а < х» < сга «... хп < Ь). Рис. Р.й В силу сделанных предположений производная ) (зс) сохрсс»сяет, постоя»спьгй знак, на каждом иэ интервалов (а,сс»).
(эсг,хй)...., (хп, Ь). Стало быть. во»»рос' о наличии экстремума, в ксюссдосс из томск х»,сссг,...,х,„ мослсет быть рпиен (в упгвердптельпом плп отрицательном смысле) при помои!и, теоремьс 9.3. Здесь мы не оудем приводить примера. иллюстрирующего общую ссхему отыскания точек локального экстремума. '1акой пример будет приведен нами в 8 6. 8 2. Направление выпуклости графика функции Предположим, что функция 1'(х) днфференцируема в любой точке интервала (а,)г). '1огда, как установлено в п.
4 8 1 гл. 5, сущеслпвует, касотелысая к грифпку функции. у = ! '!х). »»роходяСиая Чсрсэ Ли»буиг тОЧКу М(ХЛ Г(Х)) Сгнгвгег гргфиКа гса < Х < Ь), при'сем эта касательная не параллельна ) осн Оу. Определение. Будем говор»лть, »то гул»Я»ск функци»с у Г(х) имеет ни интервссле (а, Ь) оьс»гукэссгсть, »ссс»грсгвэсе»сную вниз (вверх), если график» эпюй функции в»»1»»»делах уко; за>того интервала леслсит не ниэне (»се вылив) любой своей косит»»ланой, 3 а а» е ч а»» и с.
1. '1е!»»Ин кг1»афин:кгжнт не писчее (»».л»» пе. вы»ив) своей квеательнойа имеет смысл. ибо касательная но пг»1»ггз»г»с»з»ь»»сг осн Оу На рис. 9.7 и:гображен график функции, иа»екгший на интервале (а. Ь) выпуклость, вытравленную вниз, а на рис. 9.8 изо- ) Вместо интервала можно расссматривать полупрямукк бесско»сече»уссг прямусо и другое множество. ) Ибо угловой коэффициент ее.
равный производной 1'(г), ко»сече»с,. 1 2 илпрлВ:1нние ВгйиУклОО'Ги Г1'лФикА ФУнкции 309 буажен ГРафпк фчнкднн, ггмгзк)гний вгиптк.гост!в напРав)ц)ннУю вверх. 1'ис. 9.8 1'ис. 9.7 Теорема У.~. Рели функция у = ф(х) имеет )и), интервале (а„б) конечную вцгорую производную и если зтл производная ггеоту)гг,итс)ганг) (згегголоснпгтелюга) всюду па ото,м ггптггргзалге, то график функиии у = !(х) имеет но, интервале (а.Ь) выпуклость, напривленнуи) вниз (ввг)рх). Д о к а з и т е л ь с т в о.
Для определенно!'.Тп рассмотрим случай, когда вторая производная уг~~(х) ) 0 всюду на (и, Ь). Обозначим через с любую точку интервала (а„б) (рис. 9.9). Требуется доказать, что графглк функции у = 1" (х) лежит не ниже касательной,. проходящей через ТОчку ЛХ(с,у(с)). 311- пишем уравпоние указанной касательной. обозначая ее текущую ординату через 1 . Поскольку угловой коэффициент уюианной касатгазьной (' равен )т(с), ее уравнение имеетвид ) О а с х Ь х )' — 1(с) = 1 (с)(х — с), (9,5) Разложим функцию у(х) в 1'ис 99 ОК1хютностн то гкн с по форму.;и'. Чейлг)ра, беря в зтоЙ формул!1 и = 1.
Пол) чим уев(О у = ('(з;) = ~(с) + —,(х — с) +, (х — с)з, (9.6) Где Остато "1)гый члРВ Влит В ч)ОРме Пгггйг)ггжг), ч '.)акл)ОЧРВО мР'кду с 11 х. Поскольку по ус )овию ) (х) имеет вторую производную на нн гг реале (гг, Ь ), фора!ила (9.6) гя)рггв<ь111)вг) для «и)бозо х нз интервала (а, Ь) (гм. 8 13 гл.
8). ) Б выпуске 8 настояш)хо курса дгиог)ано, что уравнение прякп)й, проходящей через точку ЗХ(п, Ь) и имеющей угловой коэффипиеит Ьл имеет внп 1' — Ь = й(х — а). 310 ГеОК1етРи'тескОе исслеДОВЛ!1ие ГРАФикя Функции Гл. о Сопоставляя (9.6) н (9.5), будем иметь у — У=> ()(х — с) . (9.7) 2 Поскольку вторая производная по условию > О вслоду на (т>, 5), то правая часть (9.7) нготрицапгельнтц т. е. для всех .т: из (а,б) у — У>Оилпу>У Пес.нзднтт!т нерва!!яство докаэываег, что ! рафик функ!щи у = 1(тт>) Всюду В ттредез!т!х ицтерва>1а (т>ч 6) л! >Кит не пи;ке каса" тельной (9.5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
