В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Теорема 9.7. Пусть функция у = Г(х) имеет вторую про)ыводную в некоторой окрестности тонка с и ))г)(с) = О. Тогда, если в пределах укаэанной ))к))естности вгао)я)я про)ыв))дно)я (~ )(х) имеет ро„пгые знаки слева и справа от, с, то график, этлй функции имеет, ))ерегиб в точке М(с, ) (с)). 314 ГеОК1етви'!ескОе исс;(еДОБлиие ГГАФикл Функции Гл. э Д о к я з а 1. (г л ь ( т в о.
3ам((тим, во-п(рных, что гра(11ик функции у = Х (:Г) име(т кВсятельнук1 В '1 О!ке М(с., ф(с)), ибо из у( (овий т((оремы вьг(екает с;шествование ко(н; шой производ1н)й Х'(с). Далее, из того, (то Х( )(т) с;1РВВ и справа От с иъш((т разные знаки, и из теоремы 9.4 заключаем, что направление вьшукшнти слева и справа от с является различным. Теорема доказ(1ИВ. П р н и е р. Найти точки п(региба графика функции у = х(— — Зх — 4, Эту функция! мы неоднократно рассматривали выше г (график ее изображен па рис.
9.1). Поско.п ку Х(г((.г) = бх — 6 = = 6(х — 1), то единственное значение аргумента, для которого возможен перегиб, ес(ь т. = 1. Этому значению аргумента соответствует точка графика ЛХ(1, — 6). Так как Х(а) (г) имеет разные знаки при т ) 1 и при т, ( 1. то точка Л~Х(1, — 6) является точкой пер(тиба графика расс мятриваемой функции. 3. Второе достаточное условие перегиба. На (лучяй, когда н((желательно ис(ледован(п; знака второй производной в окрестности точки с, мы сформу:шруем второе достаточное условие перегиба, предполагающее существование у функции у = Х(х) в то(КР с ко(н; (ной третьРЙ про(с!водно(1.
Теорема 9.8. Если функция у = Х(х) ил(еен1 в точке. с конечную п(Х(ен(ью нро(иво(Хнун( и удовлетворяен( в этой точке, условиям Х(г((с) = О., Х(г)(с) ф О, то г4афик этой' функции имеет, (ьерегиб в точке М(с. Х(с)). Д о к а з а т е л ь с т в о. И:з условия Х(з)(с) ф О и из теоремы 8.9 вытекает, что функция Х(г) (х) либо возрастает, либо убывает в точке с. Так как Х(а((с) = О, то и в том, и в другом ( 1т 1В(.
ИВЙд('.тся тВкая ОкрРстнО('ть т0.1ки с, в предРлях котороЙ Х(~)(:г) имеет разные знаки сяеоа и справа от с. Но тогда но предыдущей теореме график функций у = Х(х) имеет перегиб в точке ЛХ (с, Х (с) ) . 3 а и е ч а н и с. Конечно, теорема 9.8 имеет бо.(ее узкую сферу действия, чем теорема 9.7. Так, теорема 9.8 и( решает вопроса о наличии перегиба для (лу шя, когда у функции у = = Х(х) не (1ш(.(тв1РТ конРНИОЙ третьРЙ нро((!водной, В также для случая, когда Х ' (с) = О.
В последнем (лучае для решения !з) вопроса о наличии перегиба нужно изучить поведение в точке с производных высших порядков, что будет еде.,(ано нами в я 4 этой главы. Во:звратимся к примеру, рассьютрснному в предыдущем пункте, и покажет(, что воп1(ос о «1(личин и('.р('.Гибя у графика функции у = т: — Йт, — 4 может быть репки и при помощи В ° 2 теоремы 9.8. В самом деле, Х"((!)(х) = 6 ф О. стало быть., точка ЛХ(1, — 6) является точкой перегиба, согласно теореме 9.8. у 1 тгктьк достйточнок усу)овик экстгкмумй и нкгкгиьй 010 4.
Некоторые обобщении первого достаточного условия перегиба. Прежде всего, замети л. что в ус:юанях теоремы 9.7 можно отказаться от требования двукратной дифференцируемости функции у = 1'(х) а самой та гкс с. сохраняя это требование лишь для точек, лежащих в некоторой окрестности слева и справа от с. При этом следует дополнительно предположить существование конечной производной 7 (с). .11оказательство теоремы 9.7 с сказанными изменениями дословно совпадаез с доказательством, приведенным вьппе. Палее, можно договориться при определении точки перегиба не исключать случая, когда касательная к графику в рассматриваемой точке 11араллсльна оси Оу ').
Прп такой договоренности в теореме 9.7 можно отказаться даже от требования однократной дифференцируемости функции 1'(х) в саьюй точке с и сформулировать эту теорему зшедующим образом. Пусть функция у = 1"(х) илгсст хаглсчн1уга старую производную всюду а некагпораб акрссгггнасгпи тачки с, за исключениелб бътп лгашсет, сажай тати с. Пусть, далее, функция у = 1(х) непрерывна а гпачкс г и график шпаб функъии имеет хаса1псльнцю г) а пгачкс )гт(с. ф(с)). Тогда, сели а пределах указанной окрестности вторая производная 1"00(х) имсезп разные знаки слева и справа ат та ти с, та график фу1тции д = 7(х) ил1сст перегиб а тачке И(с. 7(с)). Доказательство сформулированного утвержде- у ния полпастьЮ аналогично докаэатсльству теоремы 9.7 1/3 П р и и е р.
Пайти точки перегиба графика функции д = т: д . Эта функция имеет вто- 1/3 рую производную вс1олу на бесконечной прямой, 0 за исключением точки т = О. В точке з = 0 расгматриваемая функция непрерывна, но уже первая производная обращается в бесконечность. Однако график функции у = х ~з имеет в точке (О. 0) касательную. параллельную оси Оу л) ()эис. 9.1Ц. Так как вторая производная г 2 1 Рис. 9.11 д 11) 9 хщг имеет слева и справа от точки х = 0 разные знаки. то график функции у = хоз имеет перегиб в точке (0,0). 9 4. Третье достаточное условие экстремума и перегиба Теорема й.й. Пусть и ) ) целое число и пусть функция, у = ) (и) имеегп производнхпо порядка п в нехопюзрой окресго; носпси точки с и производную порядка и + ) в самой точке с. Пусть, далее, сг1раведл1лвы следующие соглпногценигяс У(2)(11) = У(в)(с) = = Х(")(с) = 0 Х(пчз)(11) ~ 0 (0З) ') Этот случай соответствует бесконечному значению Т(с).
а) Хотя бы параллельную оси Од. ) Это вытекаег, например, из того, что график обратной функции х = дз имеет в этой точке касательную т, =. О. 316 ГеОх1етРи'!ескОе иссэ!еДОБАиие ГРАФикл Функции Гл. 9 Тогс)с!. есми и являяпгся ч е т. н ьс м числом.. граф!!к фугскции у = 7'(х) имеет, 7!грег!!б в точке се)'(с, )'(с)). гс.)сс эюе и являегпся н е ч е т, и, ы, м 'и!слом гл, кроме того, )~(с) = О, с)гугскс!сся, у = ! (х) имеет локальньсй экстремум в точке с, точнее, имеет, в и!очке с локальньис минимум при 1)7>з !)(с) > О и локальный максилсум 7)ри (О)е )(с) < О. Д О к В 3 В т е >1 ь с т в О.
1) Пусть с!нича:!а 7>, ягз!ясггся ч е т н ы и числом. При 7>, = 2 доказываемая теорема с'овпадает с уже доказанной теоремой 9.8, так что нужно провести доказательство только для ч е т н о г о п, > 4. Пусть четное и удовлетворяет условию п, > 4.
Из условия !сп~')(с) ~ О н из теоремы 8.9, примененной к функции !сп)(х), вытекает, что зта функция !(п)(х) либо возрастает, либо убывает в точке с. Поскольку, кроме того, !с")(с) = О, го и в том. и в другом случае найдется достаточно малая окрестность точклс с, в пределах которой 7)7>)(х) справа и слева от, с ил!ест разньге знаки. Заметив что, разложим функгппо !)~)(х) в окрестности точки с по с))ормуле Тейло1>а с Остато зны ! гленом в форме Лагран>ка. Мы ПОлу 1им, что для Всех 2: из дОстато 1нО ма.10й Окрестности точки с между с и х найдется точка б такая, что 1~ )(т) = 1( )(с) + ~, )(х — с) +... >С г!(с)(,)д — 3 УС )(С) (., ) — 2 (и — 3)! (и — 2)! Соотношения (9.8) позвони)т придать пос;игднему равенству с гедуюший вид: )(2)(, ) !1 (С) ( .)п — 2 (9 9) (7) — 2)! Так как в пределах достаточно ма!)ойс окрестности точки с функция )(7)!(:г) имеет разные знаки прн х < с и при х > с и так как ( всегда лежит между с и х, то мы получим, что и ~!7')(б) (а, в силу четности п, и вся правая часть (9.9)) имеет ра:зпые знаки 19>и:г < с и при х > с.
НО 11>сда и левая па~~в (9.9), т. е. 7)2)(х) в пределах достаточно малой окрестности с имеет разные знаки при:г < с и при х > с. В силу теоремы 9.7 зто означает, что график функции у = !'(х) имеет перегиб в точке М(с,7'(с)), и для случая изтного 7! теорема доказана. 2) Пусть теперь п > 1 является нечетным числом и дополнительно предполагается, что 7'(сг) = О.
Так как прп и, = 1 доказываемая нами теорема совпадает с уже доказанной вылив тео- 1 1 тве'1"ье ДОстятО'!иОе УслОВие нкст1'емУмл н пе1'егивя 317 у<ч)(<,) !'(т) = !'(с) +, (т — с) +... (<)(СС вЂ” С)" 2+ с (ч) (т — С)п 1. (9.10) (и — 2)! (п — 1)! Соотношения (9.8) и дополнительное условие 7"'(с) = 0 позволяют переписать равенство (9.10) в виде с<*'(<) (, (и — Ц! (9.11) Так как б всегда лежит между с и:г...
го для всех х из достаточно малой окрестности точки с производная 7(")® отрипательна при <а ( с и положительна при:с: > с. При нечетном и, шсло и — 1 является четным, а поэтому вся правая (и. стало быть, и левая) час!в (9.11) для всех т из дос таточно ма„!ой окре< тиос!и с отрицательна слева от с и положительна справа от с. На о< новании теоремы 9.1 это означает, что функпия 1'(<с)) имеет лоюсльный ми<п<м) и в то ске с, Итак, для сл) сая 1(а~ )(<) > О вторая часть теоремы доказана.
Так как <ыу сай )(с) ( 0 рж;сматрссва<ст<Я сов<'.рпп)нно аналоги!Но, то теорема пол<юстью доказана. П р и и с р. Исследовать на экстремум и пер<сгиб функцисо 1(<с)) = — (:г — с)п+ . Ппгхо видеть, что !'(<с) =- г< (с) .=- ... .= 1 (и) (с) =- О, 1'(ит'') (с) .= (и, + 1)) > О.
Согласно теореме 9.9 при "свтном (и, + 1) функция имеет минимум в точке <с = с (рис. 9.12), а прп нсчгпсном (и+ 1) график функции имеет пер<сгиб в точке М(с, 0) (рис, 9.13). ремой 9.2., то достаточно провести доказательство для н е ч е тного п>3. Пусть нечетное и удовлетворяет условию и > 3. Ра;.<и определенности, проведем рассуждения для случая ~("~~)(с) > О, ибо для случая Г(" ~1)(с) ( 0 они проводят<в< аналогично. Из )иловия ('(и")(с) > 0 и ис теор<)а<в) 8.9, примененной к функции 1<а)(и), вытекает., что эта функция 1<п)(т) возрастает в точк< с.
Поскольку. кроме того, 1(")(с) = О, то это озна сает, что на<1двгсссл доспсаточио молол окрест)<ость точки с, в прсделат, котороп 1(")(л) опсрицательна слева оп), с. и полонен)пальни ссср<с<и) от с. Заметив это, разложим функцию 7'(<г) в окрестности точки с по формуле Тейлора с остаточным членом в форме,.1агранжа. Мьс получим, сго для всех л из достаточно малой окрестности точки с между с и <г найдется точка р такая, что 318 ГЕОМЕ1'1'Иа!ЕСКОЕ ИССЛЕдтОВАНИЕ ГРАФИКА ФуИКИИИ ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
