В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Формула Тейлора Устанавливаемая в этом параграфе формула является одной нз Основных ф01)мул ыВтематическОГО анализа и имеет многочисленные ириложешля как в анализе, так и в смежных дисциплинах. Теорема 8.18 (теорема Тейлора' )). Путпь («)гдггкг(ггл «(х) имеет в некоторой окреспгности о(очки а производную порядка и+ 1 (гг — любой («)ггк(сглуоваггны(7. гигмеР) ) . ИУстеч далее, (с любое зна"гение аргумт(ьпа гю укхмткоигй окрести(нхиги, р ггроизвольное положи(ослиное чис.го. Тогда меоюгду гпоггками и и х наглдтпся, тонко, С такая„что сгграведлива слег)угои(а,я.
уг(грмгула: «(гг «(х) = «(а) + —,(х — а) +, (х — а) +... «('О(а) ... +, (х — о)п + Вп, 1(х), (8.33) где ) Ка,~ = ( ' 1 (х ) «(а"л)(~) (8.34) ч/ "1' ') Ьрук Тонлор — английский математик (1688 — 1731). г) Отсюда вытекает, что сама функция «(х) и ее прегггведнме де порядка и непрерывны в указанной окрестности точки а. :с — а Твк как Е лежит меягду х и а, то > О, твк что выражение ~:) , 1( р онроле к но лля любого р > О. 276 основнык ткоркмы о нкп1 кгывных эмнкциях гл.
я 1! 2! Т(о), (и) 2 + Т"(")(х — .) (8 3;) и.' 1ялее обозначим символом В„>1(х) разность ~'ы(х) = У(х) — Чр( а). (8. 36) 1еойема оУД11т Доказана. ее 1н мы 1становим, что ЛоЕ1(х) онйеделяется формулой (8.34). Фиксируем .;побое значение х из окрестности, указанной в формулировке теоремы.
Рядн определенности будем считать, что х ) а. Обозначим через 4 переменную величину, имеюшую областью своего изменения сегмент [а, х), и ра1х:мотрим вспомогательную функцию 1р(1) следующего видя: >)>(1) = ~(х) — 1р(х,1) — (х — 1!)"С~(х), (8,37) 1ДЕ С1(х) = Л""'(х). (: — )"' полробнее 4>(1) можно записать так; (8.38) ф(1) = )(х) — 7(1) — —,(х — 1) —... Х'~~) , г"'"'(1) — ' "'(х — )л — (: — )яах) наша пель выразить 1„1(х), исходя из свойств введенной нами функции у1(1).
Покажем, что функция 1р(г) удовлетворяет на сегменте [и, х) всем условиям теоремы 8.11 (Ролля). Из формулы (8.39) и из у12ювий, наложенных на функцшо 7'(х). очевидно, что функция 41(1) н1прерывня на сегменте [а, х] ) Эту форму остаточно>о члена называют так>хе формой Шлемилька 1тоша. Форхлула (8.33) называется формйлмт 'Те11>1ор11, (с центром в точ- КЕ а), а ВЫРажЕНИЕ ЛОЛ1(Х) НаЗЫВастСЯ ОотатО П1аин гкЛГЯ1ОМ. Как мы увидим ниже. остаточный член может быть ."Записан 1п> только в виде (8.34), но и в других видах. 11ринято называть остаточный член.
записанный в виде (8.34), остато 1ным членом о общей форме'). >д о к а з я т е л ь с т в о. Обозначим символом;р(х.а) мпогочлен относительно х порядка 11, фигурирующий в правой части (8.33), т. е. положим эо»пк««»г»л ткйлорл 277 Е»»») = '"- ' "' ~'и")(О Сопоставляя (8.43) и (8.38), окон «ательно будем нме«ь 1»от~(х) = (х — а)"Я(х) = ( ) (, ~) 1("+ )(~). (8.43) Теорема;«оказана. Найдем разложение по фо?«к«уг«е Тейлора простейшей функции»«лгебр»««», «етого м»«ого"»л»«»«»«. »»-го»«орндкн. Пусть ~(»с) — Сохо + С»»«;и ' +... + Св «х + Сп. Тогда, поскольку»(п+«)(х) = О.
остаточный ч.«» и »т' ««(х) = О и фора«уо«»«Тейлора (8.33) прш«имает в««,« »"(х) = 7(а) + †, (х — а) + , (х — и) + ... + , (х — и)о. у'(а) 7»щ(а) 2 7»"»(а) (8.44) ) свункц««я 1(1) и ое произво «пыо .«о порядка п непрерывны на сегменте (а,х)., а 7»"ы»00 существует и конечна на атом сегменте (см. сноску ) на с. 27ое). и д««ффе?«»«нцгй«)»-ма на э"гом с«»«х«е",нтт ). Убед««к|»:я в том, «то «»)(а) = «»»(х) = О. Полагая в (8.37) 1 = и н принимая во внимание равенство (8.38), будем иметь ф(»») = Дх) — ~р(х, и) — В,, ».«(х).
Отсюда на основании (8.36) получим «»(а) = — О. Равенство с»»(х) = = О сразу вытекает из формулы (8.39). Итак, для функции «»»(1) на сс»менте (а.х) выполнены все условия теоремы 8.11 (Ролла). Нг«о«новании этой теоремы внут?)и сегмента (о, х) нж«дется то «ка ~ такая, что ф'(б) = О.
(8.40) Подсчитаем производную ф'(1). Дифференцируя равенство (8.39), будем иметь «»»» (1) = — ~'(1) +,' —, ' (х — 1) +, 2(х — 1) —... ГОО ущ»(1), 7"»(1) У(е Е«» (1) ... + —,»«(х — 1)" — (х — 1)" + р(х — 1)»' ®(х). (8.4?) Легко видеть, что все члены в правой части (8.41), за исключени«м последних двух, взаимно уничтожаются.
Таким образом, 7'" «»(1) ф'(1) = —, ' (х — 1)о + р(х — 1)Р б?(х). (8.42) Полагая в формуле (8.42) 1 — б и используя равенство (8.40), получим 278 ОснОВные теОРемы О неп1'е1'ыВных ФУВ1(Циях Гл. 8 (Здесь В к>1 )естВР а можно Взять >1к>оук) тО'1ку 01'скон(.'чной щ)ямой.) Таким обр>хзоы, формула Тейлора, позволяет представить любой мпогочлен «(х) в виде многочлена г)о сгпепениаь (х — а), где а . любое веществ>)нное чи(шо. Пусть теперь «(х) произвоеиьпаи фрикции„удовлетворяющая у(шовпям теоремы 8.18. Постараемся выяснить, какими свойствами обладает многочлен (8.35). фигуриру>о)ций в формуле Тейлора для этой функции.
Как и вьпш', будем обозначать этот многочлен символом )р(хл а). Симвоъ>м;р('н(х, а) обозначим и-ю производи) к) )р(х.а) НО х. Дифференп>)рбя формулу (8.35) по х п затем полагая х = а, мы получим следующие равенства: :р(а., а) =- «(а). )р (а,а) = «(а), )р Я)(а,а) = «(2)(а), бй( ) «(и)( ) Таким абра)зом, фигурирующий в формуле Тейлора для произвольпой фупкцпи «(х) многочлен )р(х, а) обладает (шодующим ОВойстВом: Он с>1м и Рго гц)оизВОдны(з ло ПОрялка и Вклкип!т>'ль)ю равны В то 1кР х = а соо'!'ВРтствишо «(х) и 1)Р щ)оизВОдным до порядка и. 8 14. Различные формы остаточного члена. Формула Маклорена 1.
Остаточный член в форме Лагранжа, Коши и Пеано. Выше мы у< тановпли формулу Тейлора с остаточным членом в общей форме. Здесь мы установим друпя возможные представления:>ля остаточного )лена. Два из этих представлений мы получим в качестве частных с)учаев из обш(й формы остаточного члена. Прежде в(кто несколько преобразуем формулу для остаточного члена (8.34). Поскольку точка Р лежит между точками а и х, иойдеп)еи так>)е >и)ело О') и„> инхпервала О ( О ( 1. что 8 — а = О(х — а).
При этом с = а+0(т, — а). х — с = (х — а)(1 — 0), Таким образом. формула (8.34) может бьиь переписана в виде Аи ~ 1(х) = (" ) (, ) «(и'' ~ ) (а + О(х — а)]. (8,45) Рассън>трим теперь два важных частных 1)лу пгя формулы (8.45): ') Слслхет ио.)чсйкихт)ь гго Е. а стало быть, и >) зависЯт ио то))ько от х и и, ио так>ко и от Р. РАЗ:1И'!НЫЕ ФОРМЫ ОСТАТОЧНО!'О '1:1ЕНА 279 1) р = и, + 1: 2) р = 1 (напомним, что в формулах (8.34) и (8.45) в качестве р может быть взято любое положительное число).
Первый пз этих час:тных схлучас.в (р = и, + 1) приводит пас к остато !))оа)1 !лен) с) ~)армс) Лссарс)н~«сс Пп!)(х) = (' ), усь'Ц(а+0(х — а)]. (8.46) Эта форма остато !ного )лена наиболс'е употрс битс льна, в приложс')п!ях. Ос:тато шый 1:и'.и В форм!-' Лагранжа )сз!П)минзет' с)В)ду)ощий, о пй)сдави )лен формулы Тс Йлс)ра, лшпь ~олька (а+1)-я про)г)водная ф! нкции ! (1) вы пссшяс тс я не в точи~ а, и в некоторой промежуточной меж.су а н х точке б = а+ й(х — а). Второй из указанных вьппе частных случаев (р = 1) приводит нас к остаточному члену в )1)орме Коши ("- Г"'(1-с))'*' По 1(х) = ", 1'(ь ')[а, + й(х — а)).
(8.47) Так как формы Лагранжа и Коши отвечают разным значениям р, а й зависит от р, то значения й в формулах (8.46) и (8А7) являк)тся, вообще говоря, разли'та!ма. Для оцс яки некоторых функций форма Коши является более предпочтителысой, чем форма Лагранжа. Обе формы остаточного члена (Лагранжа и Коши) обычно используются в тех случаях, когда требуется при тех илн иных фиксированных значениях х, отличных от и. приблиаюенно во!числить с()ункс!))ю 7" (х).
Ес:тепгвенно г!риближонно замп нить 7'(х) многоч))оном с))(х, а) и шсленно оцешсть следапную при агом ошибку. Наряду с этим встречаются задачи. и которых нас интересует не пн:ленная ве.шчина указанной ошибки, а,лишь порядок ее от~оса)тель)со малой неси«кисни (х — а). Для этой шли удобна другая форма завис:и ос:)атон))ого ч;)сна (так называет)ая форма Псано')), к устин!)гтсс;испо которой мп) и перс. ходим. Пусть функ!!пя !'(х) с)меен) производные до порядка, (и — 1) о нексппорой окрес)га)сос)н)с) тонки а и п7)ос)яеод)11рю поря!)ка и, е самой то'ске а.
Обозначим, как и выше, символом П, ес(х) разность функции 7'(х) и многочлена (8.35) и докажем, )то для По 1(х) справед.1иво сх)едующе'е. раве)н:тво П,еь)(х) = окх - сс)"). (8.48) Эсо посте,снсе равенство и называю) остаточным членом, предспспленным в у)орало Пешсо. '1ак как прн слет)анных нами предпо))он!си)сях многочлен (8.35) и его п1)оис)водные до порядкс) т) включите:)ьно с нападают ') Джузоппе Пеано — нтазьянекнй матоматик (1888 — 1932). 280 ОснОВные теОРет1ы О ЦГЦ1'евывных Фтенкци11х Гл.
Я в то пге х = а соответственно с функцией 1 (х) и ее г1роизводнымп, взятыми в той же то"1ке х = ах то справедливы равенства Ва Г1(а) = О, 1!а . (а) = О...., .Йа ! (О) = О, 11„,(а) = О, (8.49) и нам о!тается доказать, что из равенств (8.49) вытекает представ.нише (8.48). Для этого достаточно с помощью равенств (8.49) доказать, что 1пп '"' ( ) = О. (8.50) х-1а (х, — а)" Так как каждая нз функций 11а.гг(х) и (х — а)а дпфференцируема (и — 1) раз всюду в некоторой окрестности точки см справедливы равенства (8.49) и любая щ1оизводная функппи (х — о)а до порядка (и — 1) вклк1чительно обращается в нуль т о л ь к о в т о ч к 1 а, то для раскрытия неопределенности, стоящей в левой части (8.50). можно (н — 1) раз посшедоватгльно применять теорему !1опитяля 8.17, в результате чего мы полу шм — о 1пп '" " = 1шг "е ' =...= 11ш '+ ". (8.51) Х вЂ” 1а (Х вЂ” а)а .Х-~а Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
