В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 57
Текст из файла (страница 57)
3 а м е ч а н н е. Теорема 8.13 уже бы.за использована нами в гл. 6 при доказательстве) теоремы 6.1. Здесь мы еще раз подчеркнем, что весь материал настоящей главы (В том числе и теорема 8.13) совершенно пе использует результатов глав 6 и 7. При повторном чтении этой кнш.и гл. 8 можно читать непосредственно Вс п)л;за гл. б, а уже затс;и Возвратиться к чтсянию глав 6 и 7. 2.
Условия монотонности функции на интервале. В качестве второго следствия формулы Лагранжа расс;мотрим вопрос об условиях, обеспечива)ощих неубывашп. (невозрастание) функции на данном интервале. Прежде всего, напоъшим определения неубываш)я, певозрасгания, возрас)ания и убывания функции на данном интервале.
1'. Говорят. что функция «()г) не убывает (не возрасп)ает) на анпгервале (а, Ь), если для любых двух точек х) и х) инте)рвала (а, Ь)., !ЛОВ и ТВОрянмцих ус 10Вию:! 1 < )гя~ сщ)аВедлиВО неравенство «(з: ) < «(: !) («(: 1) > «(х )) 2'. Говорят, что функция «(х) возрастает, (убывал)п) Ва интервале (сс, Ь), если Лля любых точек:)1 и х! интервала (а., Ь), сВязянных условие;м х) <:с), с)праве)дливо нсравснс!ВО «(хг) < «(хэ) («(х ) >.«О)я!)). Теорема 8.за.
Длл псояв чгш)бьс дифференцируемая но, интервале (а., Ь) функция «(х) не убывала (не возрастала) на эпиьм интервале, необходимо и достаточ!ш, чтобы произвпднал этой ф!!нкции была неотрипапнальной (непс)лоэссительнс)с!) с)ск)ду на эп)ом, интервале.. Д с) !с я ,) а ! е ! ь с ) к о . 1 ) Д о с) ! а 1 о ч н о с: 1 ь . Пусть «'(х) > О (< О) всюду на интервале (ссч Ь). Требуется доказать, что «(х) не убывае! (не возрастаес) на ин)ерв сле (а, Ь). Пус)ть )1;1 и х) —. Любви.
Лве то ски ин)ерв)ла (с)„Ь), Ьдов.птворяющие услови)о т) < х). Фушсция «(х) дифференцируема (а сча,)о быт!и и непрерывна) всюду на сегменте [з!)лгз]. 11оэтому к «(х) можно применить на сегменте [хс, с!ея] теорему лагранжа, в результате. чсто полу !им «(хэ) ) — «(х)) = (х ) — х)) «(~), (8.11) где'. х) < ч < х!. 266 ОснОВные теОРемы О нецненыВных Фгенг(ниЯх Гл. 8 По у(ловию «~® > 0 (( 0), хг — хг > О. Поэтому правая часть (8.14) неотрнпательна (неположительна), что и доказывает неубывание (невозрастание) «(г) на интервале (а, Ь).
2) 11 е о б х о д и м о с т ь. Пусть функция «(з:) диффереи(гггруег(ег па инт(",рвал() (а, Ь) и н() убывает (п(. в(я)растает) па этом интервале. Требуется доказать, что «'(т) > О (< 0) всюду на этом интервале. Так как «(х) це убывает (не возрастгет) на ннг( риале (ич Ь), го эта фб нкцггя )ее моэ«генг (дбг)((г(гг(гь (возраспнппь) ни в одной точке интервала (а, Ъ). Стало быть. в (илу теоремы 8.9, производная «'(х) (ги в одной пи)чке.
(иппервали (и., Ь) не,мо«сени б(лть о)ирица(неллиной (полоэюипгельнтг). что и требовалось доказать. Теорема 8.1б.,е(ля, того чтобьг («)уггкция «(х) возрасп)ала (рбывала) на интервале, (а, Ь) достап)очно, чтобы производная «)(:г) белла полол«сите«апой (от1)ицвпгель)го(1) вс)оду на этом итпервале.. Д о к а з а т е л ь с т в о пров(гцнтся по той же схеме, что и доказательство достаточности в теорезле 8.14. Пусть тг и х) любые две точки интервала (а) Ь). удовлетворякяцие у(гчовик) :г( (:гя.
Записывая для сегмента (г(лгз) формулу Лагранжа, получим равенство (8.14). но па этот раз в этом равенстве «'(б) > > 0 (<0). В(следствие этого левая гасть (8.14) положительна (отрицательна), что и доказывает возрастание (убывание) «(з:) на интервале (оч Ь). 3 а м е ч а н и е. Подчеркнем, что положительность (отрицательность) производной «'(х) ца иьегедрвале (а, Ь) не являспгся необходимым, условием возрастания (убывания) функции «(х) на интервале (а, Ь).
Так, функция р = х возрастает на интервале ( — 1, +1), но производная этой функции «'(х) = Згеа не является всюду положительной на этом интервале (она обращается в нуль в точке х = 0). Вообще. легко доказать, что функция «'(г) во:)растает (убывает) на интервале (а, Ь), если производная этой функции «'(з:) положительна (отрацаге.гьна) вен)ду на этом нитерва.ле. за исключение,м конечноео:г(гела точек, в которых эта прои)водная равна нулю. (Для доказательства достаточно применить теорему 8.15 к каждому из конечного чи(:за пнт()реалов, .на которых «(х) о)рого положительна (отрицательна) и у (есть не(0)(грывнос)ь «(х) в тех точках, в которых производная Рис.
8Л2 равна нулю.) Установ, н)ннун) теоре- 1 10 некО!'О!'ые О;!едствия из ФОРмУлы ЛА«РАн>КА 267 мой 8.15 связь между знаком производной и направлением из- МЕНЕНИЯ ч)УНКЦ11И >И)ГКО ПОНЯТЬ ИЗ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СОООРажсний!. Поскольк( производная равна у!тонок(1 коэфф!щиее«гу касат()льнОЙ к График>' (])ункцип 'у = Г(х).:знак прОи;)е)ОдпОЙ 1'к)Е- зывает острый или Т1 пой у! Ол с пстожнте.!Ьным нт)правленнек! Оси От) состаВ>1яет:Еуч касате,зьной, л(эх(ан(ий В Верхней полуп~оскос~~.
Е("!и 1 (х) ) 0 Вс!Оду на ие!Т(".риале (ст„(>), то Вс!Оду на этом ин'ГерВнле:1у'! каса'пс!ьнОЙ, лежан(ий В Верхенэй п0.1уи.!Оско(т!л, составляет с Ох (к:трый угол, стило быть и кривая у = !" (,Х) идет вверх всюду на этом интервале (рнг. 8.12). 3. Отсутствие у производной точек разрыва 1-го рода и устранимого разрыва.
Применим теорему е(агранжа для Выяс1Н',ния ОднОГО зам(э'1атслын)ГО сВОЙстВВ прО)!ЗВОде!ОЙ. Прежде всего докажем (шедув)щее утверждение. Пусть !1>ункт!ил Г(х) имееп! Конхсчнук> производнун> всюду в ттравой (лево(1) полуокрегтности точки с и пзх>вук> (леву!о) произопд~ую в самой точь;е сь Тс>яда, если пртгзводнал 1>((в) имеетп в пючке с правое (левое) предельное з~ачение., тпо ото т)редельттое значение, равно правой (лево(1) производной в точке с. ,:(ля доказательства этого утверждения рассмотрим любую по(ледовательность (хв) значений ар!умента, сходящуюся к с справа (слева). Учитывая„что, начиная с достаточно большого номера пь все хп принадлежат той полуокрестности.
в которой функцпя 1(х) имеет констчнук> первую производную, примени>! теорему Лагранжа к функции ) (тх) по сегменту ) [сдхв] ([хв., с]). При этом получим (8.15) где чере:з ст, обозначена некоторая точка, лежащая между с и т;н. Пуп!ь теперь в равенстве (8.15) т( — ) ж. Тогда, очевидно„бв — э с справа ((л(эга). Носко>!ы(у по 1(шОВию 1 (;!)) им()ет В то 1ке с конечное правое (левое) предельное значение, правая часть (8.15), по определешпо предельного значения, об>!зана при п — ) оо стремитьгя к указьчшому предельному значению.
Стало быть, существует предел при и — + ОО и левой части (8.15). По определен!по ириней (ЛЕВОЙ) Проиэводной Этот щ>ВДЕЛ рав(Н тч(С) + О) (7((С— — О)). Итак, в пределе прп п — ) ОО равенство (8.15) дает ~'(с+ О) = 1пп )'(г) ()'(с — О) = 1пп (ч(х)). ) Все условия теоремы Лагранжа выполнены, ибо функция ! (х) дифференцируема (а стало быть, и непрерывна) в лтобой точке сегмента [тэ.г„) ((х„,с)), за исключением гочки г.
Непрерывность !(х) в точке с справа (слева) слелуе( из су>иествования 1'(с+ О) (1 (с — О)). 268 ОснОВные теОРемы О нГП1'е1'ыВных ФУВ1(Циях Гл. г В< лн дополнительно потребовать равенства «'(с+ 0) = «'(с — 0), то из существования щ>еделов 1ш) «'(»>) н 1пп «'(х) будет х-)сч-в х — )с — О следовать непрерывность «'(х) в точке с. Применяя тол),ко что докйзйнное утверждение в кйждой то >- ко с некоторого интервала (а,б), мы придем к следующему утверждению: если >«>>унк>1ил «(х) имеет, конвчнун> производ- и>но всюду на интервале (а.,(>), то «'(х) не моэюегп имспш на этом интервале.
ни п>очек устранимого разрьша, ни пючвк раз- рыва 1-го роди В самом дел(., если в н(>которой то псе с интервйлй (а, Ь) с>- >пеству>от конечные правое и левое предельные:значения «'(х), то « (х) непрерывна в точке с (в силу дока>явного вылив утвер- ждения). Е(ши же хотя бы одного и> указанных двух предельных значений не существует, то «'(х) имеет, в точке с разрыв 2-гв рода,. Приведем пример функпии.
производная которой су>це- ствует и конечна всюду па некотором интервале и имеет в неко- торой точке этого интервала разрыв 2-> о рода. Рассмотрим на интервале ( — 1, +1) функцию > у г 1 х сов — при х у'= О, «(х) = 0 щ>и к=О. Очевидно, что для любого х ф 0 производная этой функции 1 . 1 существует и определяется формулой «(х) = 2х сов — + вш Существование пр)п>вводной 1>(0) в точке х = 0 непосредственно вытекает из существования предельного:>на п>ния !>и> «( ) «( ) = !ш> Ьз>сов — = О. Пг..~й .1х иг -«О -тх Производнйя «(х) не им!ест В точке: >" = 0 ни щ)г)БОГО, ни .лево- 1 го предельного значения, иоо у (шагаем(п о 2х сов — существует в точке т, = 0 равное пуля> предельное зна'и;ние, а слагаемое 1 йш — не имеет в этой точке пи правого.
ни левого предельного значения (см, пример в конце и. 1 8 8 гл. 4). 4. Вывод некоторых неравенств. В зак;почение покажем, как с помощью теоремы Лагранжа могут быть получены неко- торые весьма полезные неравенства. В качестве примера установим шк>ду>оп1)п' два нерйвепс>вй: !в!пи — * 1 < ~х —:! (8. 16) ! агс16х> — асс!8;>э! ~ (!х>1 — хг!. (8.17) (Здесь под х> н х > можно понимать лк>бы<> значения аргумента.) Пля установления неравенства (8.16) применим теорему Лагран- ! и оноьшкнняя ео! муг!л конкчных ш иглщкний 269 жа к ф1нкции «(х) = в(пи по с! гмг нту [х>, ха].
Получим в!их! — в>п та = (х! — ээ>)«(ч). (8Л 8) Учитывая, что «'(~) = совб' и что !совб] < 1 для любого Ь', получим, переходя в (8.18) к модулям, неравенство (8.16). Д>>я ус>ановлг>ння неравг>яства (8,17) с.п;дует >О>имен!и ь теорему Лагранжа по сегменту [х!. гхэ] к функции ф(х) = агс18 х и у"шсть, гго «® = С 1. 1 1-~- К> 'й 11. Обобщенная формула конечных приращений (форлиула Коши) В этом параграфе мы докажем теорему, принадлгжащун> Коши и обобщ,пощую установленную вылив теорему Лагранжа. Теорема 8.ло (теорема Коши). Если каэн>дая из двух функций «(гх) и, 8(х) непрерьлвна на сегменте [а. Ь] и диффе.— ренцируема во всея: внутрен!лясс точках этого гегменпт и есллл, кроме того, производнал 8э(х) отлична от нулин вен>ду внутри сегме>лта [о,, Ь], тгг внутри этого сегмента найдется то.гка 8 такая, чпш справедлива формула «(Ь) — «(а) «(К) (8.19) д(Ь) — д(в) Х'(6) ' Формулу (8.19) называют обобгцетлой фг>рмулой конечных прглргллце>ллллл или формула>л 1> оллл>л.
Д о тс а з а т е л ь с т в о. Прежде всего докажем, что 8(а) ф эг 8 (Ь). В самом дшп, если бы это было не так, то для функции н(х) были бы выполнены на сегменте [а, Ь] все условия теоремы 8.11 (Ролл>!) и по этой теореме внутри сегмента [а, Ь] нашлаг ь бы точка Ь такая, что 8'ф = О. Последнее противоре >ит ус зонин> лео1>емы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
