Минорский - Высшая математика (1108568), страница 48
Текст из файла (страница 48)
1753.1) = при я < 1,расходится ,/ в" 1 — и 1 о /' с!т !б — а) ~ при и > 1; 2) / = прв я ( 1, расходится прн и > 1. / !а — в)" 1 — и 1754.п. 1755. 2. 1756. 3аох. 1757. 2ахаз. 1758. х[чУ2 2+ !п1! + Я)~. 4п !, ! 1759. —. 1761. 1) —; 2) —; 3) 1; 4) расходится. 1762. Ц !п(1+ чУ2); 3 2' 3' 7Г 1 2 3!в2 2) 2; 3) 1 — —.
1763. —,. 1764. !Ох. 1765. 2п. 1766. 1) —; 2) 4 2 л' т 1 оа -!- об -!- ба 1 3); 4),; 5) —. 1768. !) аф) = 0; 2) е!Ь)~ < — < 0,3. с — 1 3 ' 4 ' !б ч 2 10 1770. —,и 28,8дмч. 1772. !п2 = 0,6932; !е(Ь)! « „ 0,001. б ' ' ' 15 1 ! 1773. 8,1бх. 1777. Приближенно 1,22т. 1778. Л = —. 1779. Л = —. 2 2 ! 1780. В вершине !2; О) Л~ = —,. в вершине )О; 1) Пл = !. 1781.
Л, = 2 1 =. 1а. 1782. р„, „=. — при в = 1; 11 = с. 1783. (4; 4). 1784. (3; — 2). зоо Ответы 1785. (О; !). 1786. 27Х2+ ЗУз = О, 1787. !2Х)эуз+ !"ув = Зэуз 1788. Л тга — У2Уа = (2а)~Уз. 1789. Л' = и сов!, У = и аш ! или Хе+У 2 !п2 = аэ. 1790. 5 = е" (! + сэ~) згэ; 5 . = в точке г =— Зъ'3 2 2 аэ 1 — 0,347. 1792. !) В = — чг2аг; 2) †; 3) †. 1793. — 1794. 2. 3 ' Зг' аэ' ' 2 4Л / 1! 1Ог 1797. ( — 2: 3).
1798. О; — — ) . 1799. ! — —; — ) . з)' '), ': )' г 3 1800. Л = — — —, — 0,7: У = — ьг2 — 1,4. 1801. ЗХз — 27У2 = О. 1 2 уэЛ г' !2 г 1802. Х = — ! 1+ — ~, У = 4! ! 1+ — ); для посчроения кривой и 3) ' эволкггжг составить таблицу значений в, у, Х, У для ! = 0; ю1: юЗу'2. 1803. (Х+ У)э!а — (Х вЂ” !')2гз = 4. 1804. уХ+У)эуз+(Х вЂ” У)туз = 2аэга; эг'Э 2/а при повороте осей ка 4б' это уравнение примет вид т,, уг + у ' = (2а)ага, т. е.
ююлюта астроиды есть тоже астроида с увеличенными вдвое размграми и повернутая ка 45'. 1806. 2!. 1807. во 1808. 7, 5. 1809. 22. 3+ !п2, гУг 1810. 2е!г! - 2,35. 1811.. 1812. Зв 4- 4у = О. = 42 — 31. 2 г2! зг ~2г 1813. у = —.г — —: — = Зг + 2(2 — !)!у 1814. тч = —, = — 21, 3' 9 ' с!! '' ' г!!2 4)! — 2 6 ю, = ...., и„, = .; при ! = 0 ю, = 1,6: уг4Р— 16!+ 22 Яуэ — 16!+ 25 г2 у2 ю„= 1,2. 1815. —. + —. = !: е = — агЗпй + бсоа51, тч = — г. 2 !2 1816. =.
' =, . 1817. и — ! у — !2 — !з Х вЂ” 2 !' — вэ К вЂ” ьгл 1 2! Зйв 1 22 ! Д2туи) и — 1 у — 3 - — 4 1818. = = . 1819. г = †+ !с, В = г + !с, !ч! = — 21; 12 — 4 3 — г + !с г + !с г = — -: !З = — — —, и = — !. 1820. В = г х г = 62 — 61+ 2!с, ч2 ' чУ2' !ч! = (г х г) х г = — 222 — !6! + 18!с, уравнения главной нормали: и — ! у — 1 "— ! 2 — 1 у — 1 — 1 !1 8 — 9 ; бинормалп: = ', = и сопрнкаса- 3 — 3 1 ющейся плоскости: 32* — Зу+ 2 = !. 1821.
г"! = ЗД+ !). В = — !+!+ 2!с. л — 1 у †! Уравнения главной нормали: л = у, - = 0; бинормали: — 1 ! — 1822. Иск:почин 1, получим гэ + уэ = 22 уравнение копичс- 2 ской поверхности. г = (сое! — 2сзп!)г+ (а!и! + !сов!)1+ !с = г+ 1с; г = ( — 2 а!пу — усач!)! + (2 сов! — ! аш!)! = 21; В = г х г = 22 + 2!с, ух! = 41. Касательная: т, = 2 и у = 0; главная нормаль: ось Оу; би- Ответы и г а — 6л/2 нормаль: х+ г = 0 и у = 0, 1823. При ! = 2 — а 6 т/а т/6 ) йа6 у = а. 1824.
сов о = ~, созД = ~ ) соз1 = ~ ° а + т/Ь т/а + т/6 ' ~/а + у д выбор знака зависит от выбора направления на погадай ветви кривой. 1825. Уравнения винтовой линии: х = с4пйй у = ! — сов 26 л = 2!з, где ! угол поворота (рис. 4!). Единичный бинормальный вектор )1 )Г! + 1 + 1с в точке С (при ! = я/2): !3 = .
1828. При ! = —, ч т/2+ -)з 2 Рис. 44 и — 2 у — 2 г — 8 т — ! = а!1+1), и) = а!. 1827. =- = . 1828. 1 8 2 у — 2 х — 2 у "— ! и г = 3. 1829. = — = . 1830. 120', 60' 45'. — ! 2 ! 2 г — 1 у — 1 л — 1 1831. !а! = — 26! — 3!1+ 22!с, В = 16! — 121+ 21с; 26 31 — 22 х †! у — 1 л †! 8 — 6 1832. !Ч! = — 4! — 4П) В = 2! — 2]с. Уравнения главной нормали: х = л, г = у+ 2; бвнормали: л = я) у+ г = 6.
! ~)) хи) 2 1834. г = г = ! + (! — 2!)1, и' = г = — 21) !1,оз „з ' !! — 2 юа 2 ° — Л ) +)); .-)— )))е ' ' я — ))-))), ))+6) 1835. ч = г = — 4з!и!1+ Зсоз!1 =, ъч = г ъ)2 т/2 ! 12 .з 7ебо2! г) о — а = 1бсбп Г+Осозз1, о = — — — при ! = — к = ) ) 302 Ответы иы = Ь = = 0,7»««2, юв = = = = 2,4»««2. 1836. ч = 7 ' 12 12 2 5»т»2 ' ' ' Л и 5 (и х ът! = г = » + 211 + 2!т1с, »т = 21 + 4!1«; и .= 2!» + !. Л»Л а 2!2!в + 1)х = —,ю,=о=41=4,и»„= — =, =2(влюбой Ь2!в+ !)т 9' ' Л, !21»+ !)т точке). 1837. Сначала составим матрицу координат векторов Ьз !3 '!!в 0 2 6! 0 0 6 61» — 61 2 ег .
Вв»: О» — «»ДЖ»»»; »)»*Р$ — 2% «ре»6; »«»с»9Р»», 1»» 3)»т"г' = !'2; 4) — =— = 2, :5) — = - = 3. «Гс»«й»» ) ' « .»(9 —,-»е»») 1;»2 '/2 1 тс2 ! ъ»2 1 1 1838, 1839. =, — = —. 1840. 1!а Л !х+у)т 4'р 4 Л 3 р 3 1 Ь 1 Ь «правой» винтовой линии: — =... па «левой»: р ав ! Ьв: ' р ах+ Ьв' ! 2! 2 ! 21 2 уз.
1841. =, = —, — = —... = — —. 1842. г = »+у3+ !2!х + !)х О ' р Ь21з + «в у« ! Оу«1,!»уь'+ ! 14 1 + — '1с;, — 1843. — = —, — =-- 4 Лв ИР+1+ув)в 27 р 7 Л 3 3 1844. 3) Вся плоскость, кроме точки (О; 0); 4) хз+ уа ( ав, 5):гу ) 0 (г»ср»»ый и третий»свадрангы); 6) ха + у~ ( 1; 7) вся плоскость, кроме прямой у = х,.
Уравнения Ц и 2) определ»с»от парвболоиды врв»ценив,: 4 3) поверхность вращения вокруг оси О» кривой» = —, и у = 0 ха !р»гс. 4о): 4) полусферу; б) конус, для изображения которого возьмем сечения: х = а»х = ау и у = Ь, хх = Ьх параболы !рис. 46); 6) по! верхность вращения кривой» =, у = 0 вокруг Ох; 7) коку». Д в' Ьх с обрвзукпцими у = Ьх, = и направлякппими равносторон- 6 — 1 ними гиперболамц у =. 6, !х — 6)!» + 6) = — 6т, имеющими вершины нв оси Оу и одну из асимптот на плоскости у = х (х = 6, у = 6): твкис же гиперболы получаются в сечениях х = 6 или = = 6 !рис. 47).
Ответы 1845. а = Область сугцествования функции: О < х < р, О < й < р и х+ й ) р, т. с. множество алчен внутри треугольника, ограниченного липиялггг х = р, р = р и х + р = р. О Рис. 46 Рис. 45 1848. Л = (2х — р+ Ьх)Лх О 21 Аул (28 х+ Ьй)Ьр" О 19, Лх = А» +»лат — Лх»лр = О, ОЗ. 1849. Непрерывные ег однозначныс Рвс. 47 в области ~у < х~ функции = +ьгхт — уа и = = — ~7»ха — ча изображакется верхней и нижне*й поверхностями крутового конуса (с о»ью Оа»). Примером разрывной функции, определяемой уравнением х Ответы 304 ж Ь/хэ — уг ложат служглть функция +~/Р< уз щ О«1, ,~хэ — уг при 1(х(2, +;/Р— уг при 2<х<3 и т. ц. Прямые г: = 1, х = 2 и т. ц.:шипи разрыва.
Изображением буцут чередуклциеся полосы верхней и нижней поверхностей конуса. Область опредюгеэнля этой функции у! ( х(, т. е. множество точек внутри острого угла мезкду прпмыми у = жх и на этих прямых. 1854. 2) Всгл плоскость, кроме прямой у = — х; 3) точки внутри эллип,х э са — + — ' = 1 и на эллипсе; 4) вся плоскость; 5) точки внутри угла аэ ~у ( х! и на его сторонах; 6) квадрант плоскости х > О и у > О.
Поверхность 2) цилиндрическая с образующими " = Ь, х + у = 4/Ьз и напралцгяквллей — = 4/х, у = О 1зрис. 48). Поверхности 5) 6) конические; Рис. 48 парабологлд. 1858. Зх1х+2у), 31х — у ). 1860. — —, —. у 1 2' :е э хг Чзз 1862. — У,, 1863. г+ „г [х )э' ~ У)э' ' 3хгчзтх Я' дс а — Ьсоаа дс Ь вЂ” асака дс аЬыпа 1864.
да с 'дЬ с 'до с поверхность 4) х + у з. зггзу зг )' ди 1866. — = е дх ди ди 51 ди и(1 .-:еу), — — = — х е .". 1867. —,— ' ду ' сдх (х+21)э' дг Отпетьс 5х да с да х дв — 1868. —, — ,. 1874. — = [х т 2с)а дх 2,/х — хасс дс ~/ ! — хсв дх д. д- у)х — аяп [ах — ву), — = ув!п(ах — уу) 1875. —, ду ' дх хв ха рв' гдх )х д Зу ддх Зх 1876. ду . / а ув дх )3у 2х)в' ду !Зс/ 2х)а' ди , ди , ди 1877. — = оса(х — 2С), —, = — 2сСВ(х — 21). 1878.
—, = 2вшух дх ' М '' дс ди х сов (2х+ у), — = 2япхсов (х+ 2у). 1885. Ц 0,075; 2) — О, !е вв д;у св — 0,730. 1887. — 0,1. 1888. 1,2х дъсв. 1889. 0,13см. 1890. Ц И хд! = — [ — + — ) дх+ [ — + — ) Ну; 2) с!в = !и!ах+ . 1891. Ье = ) [х )' де = О, 0431, дх = О, 04. 1892. О, 15. 1893. — ЗОхсмв. 1895.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
