Минорский - Высшая математика (1108568), страница 52
Текст из файла (страница 52)
65 з ноидв, умногиснной нв половину высоты 1рис. 65). 2353. ав. 2354. 18л. 105 3 5ла 2355. Злао. 2356. 8л1п 2 (гм. Рис. 45, с. ЗОЗ). 2357., гга . 2358. !6 16 2359.. 2360. УЗ. 2361. <лх. 2362. 2гаа. 2363. (2лг<2 — 1). 4яабс 8 <г<2 йпал 2364. 2тг!тат<<2. 2365. Зад. 2366. Лат!к — 2). 2367. — лат. 3 '<т'< ',г тлл<. = О ' <* << = ' а'. ° !ЗО СО Хл 2 тга << а е аз о =, 2369. 1 радиус сечении г = ) . 2370.
(2 — у<2). б !2 ~, хг<ЗЗ) 3 » » — а а †< в а <а а <лх <<х 2372. / отт / ду / " дх = †. 2373. ~-; †: -). 2374. )О; О; -). 24 Л' Л' ! 3 о о о 2375. . 2376. . 2377. 1) ; 2) . 2378. , (8лг<2 — 7). 4,,<2 3 60 б 32 по ай» а» За~ 2379. ---я. 2380. --; †. 2381. ---. 2382.
--,-. 2383. ) О;. О; --) . 3 б Л !2 ~,' ' 8) 32тг<2аа а» 2384.. 2385.. 2386. бйпал, где б козффицигалт пропор- !35 ЗОО циональпости. 4 ао прямой Оху, 10 — по дуге 0.4, 3 2 по ломаной ОХ! 1. 2387. / (х + 9) <бз = 2388. У) 8; 2) 4. 2389. / уз<!у+ йг!з) = 8 в обоих слу гаях. Это потому, <УО дХ' что здесь = .
2390. 1) 1,5ал; 2) ал. 2391. 8ал. 2392. зал. дг, ду 2393.. 2394. О. 2396. 1),; 2) — —: 3) 2 — . 2397. 4 б 2' тг<З 3 8 3 ., 29п<М 2398.;гоб. 2399. . 2400. -ол. 2401. Х = О, !' = , . 2402. У = ~5 2 ' зал !иг<ЗХ 1 гп 3<! о2 За 2403. У =, . 2404. !) — 16; 2) — —: 3) — 12. 2405. 1) —; алхг<2 2глл ','! 2 ал !!ал 2 Л а' яа 2),; 3) . 2408. — т<л'. 2409. —. 2410.. 2411..
2412. Каж- 2' б 8 3 2 ЛЗ дая пз частей формулы равна Лиат. 2413. Баа<дая из частей формулы а» <<4 .т т< 12 равна — ) — + — ) . 2419. Каждая из частей формулы равна — г<ль. уб) 2421. О, !Заа. 2422. Нет. 2423. Да. 2424. Да. 2425. Расходится. :«б,л 3 2426. Расхо.л«тся. 2427. Сходится. игла = —. 2428. Сходит<я, ! ул+ !)т 8 л Ответ'ы / дх т / х ибо ), = —. 2429. Расхолидся, ибо / йх = ~.
2430. Схо)1+хх=4 '" ' /!.. д д дится, ибо /, = ~ — !и ~ = — !и 2. 2431. Сходдпся. у' !2х+ !) — ! '14 . + 1~ 4 д 2432. Сходится. 2433. Сходится. 2434. Схолктся, ибо Пш = †, < а се ио 2 < !. 2435.!асхолигся. 2436. !асходится. 2437. Схолння. 2438. Еасхо! ли! ся. 2439.
Сходится. 2440. Расхолится. 2442. !. 2443. —. 2444. Схо- '3' ддлтся не абсолютно. 2445. Сходится абсолютно. 2446. Сходится нс абсолютно. 2447. Сходится абсолютно. 2448. Посчс первой перестановки членов напишем ряд в виде 1 — — ) — — + !с — — — ) — — + 2) 4 !,3 б) 8 /'! 1дд 1 + ~ — — — ) — — +... Выполнив действия в скобках, получим ряд, члены Ь Н/) которого вдвое меньше членов панно!о ряда. После второй переста- ! 1 ! нонки членов преобразуем п-ю тройку членов: + 4п — 3 4п — 1 2п 1 1 ! 1 1 1 — + — +, —:прин=1,2,3,...
4п — 3 4п — 2 4п — ! 4п 4п — 2 4п' первые четыре ч,дена образуют леиньш рял с суммой тй а пос,ю дяие Я лва ряд с суммой —. 2449. Схо,дится. 2450. Расходится, ибо 2 с/х / ходх к 2451. Сходится, ибо ) „ = †. 2452. Расхо100х — 0сУ ' ' ' ' / 1 + х" 8' ! д /2х — ! дится, ибо ) с/х = оо. 2453. Сходится. 2454. Сходится, ибо х2 и„ьд 1 и, ьд 20п+ 21 1пп = —, < 1. 2455.
Сходится, ибо !пп — = 1нп одо иа 2 а — !со и„а-дсс1 3!20п+ Ц = — < 1. 2456. Сходится. 2457. Сходится нс абсо.дютно. 2458. Сходится 3 абсолютно. 2459. При а, ) ! схоюпся абсолютно, при а, = ! сходится 1 1 нс абсолютно, при а < 1 расходитсн. 2460. —. 2461. —. 2462.
Сумма 2 4 1 ряда Ях) = при х < 1, остаток Н„= Я вЂ” Яа = . На от- 1 резке !О; 1дс2„'/Л,„! «, О, 001, как только п — 1 ) 8; и ) 11. 2а ' ' ' !х2 Ответы 324 2463. Ряд имеет х ~ 1 при 0<х<1 сумму Л = 1 — !! —:с) ] О при х=О ]! †.г)" при 0 < х. < 1, и остаток Л„= ы 0 при х=О. !+х!! прп т>О, сумму Л = у ~ ~ ~р 0 при т=0 1 и остаток Ла = 11+ х ) 0 при х >О, при х =О.
При л!обои и остаток Н„будет бог!ьше, например, 0,1, как только х' < ,з ( " ~4'!Π— 1, т. е. ари а,* > 0 рад схо,!нтск неравно„верно. По при х > 1 он гхо;аггея утке равномерно, ибо тогда при любом .г,* ) 1 ]Л„] < 1 !за « — — — е, как только и — 1 > — — — -; в частности, Ла < 0,001 при и > 2" ! !а2 а ) 11.
2466. При любом неотрицательном х члены данного ряда меньше 1 1 1 ]или равны) чг!снов числового сходапюгосв рги!в 1 + — -!- — + — +... 3 3з 3з Следователю|о, ряд сходится равномерно для всех х > О, Ла]х) меньше ]1/3)- остатка числового ряда, т. е.
Ла]х) « = 0,01, квк 1 — 11!3 2 3" 1 только 3а > 50, или и > 5. при любом х > О. 2467. ]Ла]х)] «, и! 1 < 0,0001, как только и > 100, при лн!бом х. 2468. и„= х+и — 1 1, 1 1 1 . Позтому Я„= — —; Л = 1ш! ла = — при любом х ф О. х+и х х+и -~ х При любом и оста! ок Ла будет больше, например, 0,9, как только х < 1— — Ог09, т. е. пв отрезке !О; !] Ряд сходится нераанокерна Но па отрезке 1 ]1/2; 1] он сходится равномерно, ибо тогда при любом х]Л„] « е, 2н !к квк только и ),: в частности, ]Ла] < О, 01 при и ) 7. 2464.
Оста- !62 ток знакочсрсдуюшегося ряда меньше по модулю первого отброшенного ,а-)-! ! члена. Повтому на отрезке 1~0, :1] Лв]х)] ( < ( О, 1, как и+1 и+1 только и а- 1 ) 10 или и ) 9. 2465. Ряд имеет Ответы /2 ха ха 2492.1) соа)2: — о)=ыпп) — — —,+ — „—... + 1! 3! б! 2,2 а +сова 1 — —,+ — +...
2! 4! 22 . хч 2) а!и х = — + 2! 4! а + — + !!Лоб<и)1 = ', 2а х" + сов 1рх — о+ п — ~; 2/ а 3) хс =и+ — +— 1! 2! яг,Г3 Г 4) вш (тих+ — ) = т~х~ т т, 2! 4! ) 1,г тх + — — — + ! х 922 2 Рчха 2493. !в!1+ еьх) =1п2+ —, +, —, + .. 2 2!22 4!22 2497.1) 1и =2 ~х+, + с +... 1+2, ! хч ха 1 — х ! 1 В частности, при х > 0 И„(х) = < — ( О, 1, как только п > 10. х+п п 2469.
!!ри снобом псотридательном:с члены данного ряда меньше !или ! ! равны) членов числового сходящегося ряда 1+ —,+ — + — +... Поатому ряд 2 4 8 11,22)о 1 сходггтся равномерно для всех х ) О, Л„(х) «, =,, 0,01, 1 — 1/2 2"'-1 как только 2" > 100, или и ) 3. 2470. — 3 < х, < 3. 2471. — ггб ( 3 3 < 2*, < .Л. 2472. — — < 2 < —. 2473. Абсолютно сходггтся на всей 2 2 ьг2 тг 2 чис.юной оси. 2474. — 1 <:г ( 1.
2475. — < х < . 2476.11 Я = О! 2) К = е. 2477. — 5 ( х < 3. 2478. 1 < х ( 2. 2479. при !х~ < 1. (1 — х)2 1 + 2 2480. агс!8х и!)и !х) ( 1. 2481. при х~ < 1. 2482. (1 + х) (! — х) 2 2483. — — < х < †. 2484. — ~/3 < х ( о'3.
2485. — О, 1 < х < О, 1. Л Л 2486. -! ( х ( 1. 2487. — 1 ( 2, < 3. 2488. — 1 ( х < О. 2489. (! ! 22)2 1 — 2х при !х ( 1. 2490. — !и ( ! — х) при — 1 ( г < 1. 2491. при х~ < '1. 'г! ! 2)2 Ответы 2) !и (2 3х-, хх) — 1п (! — х)(2 —;с) = 1п2 — ~2 (1+ 2 и) 12 ' п=1 1+ хе 3) !и !! — х + х ) = 1п 1+х 2,,з ,4 — х — —— 2 3 4 2ГП Х = — 2 соз — —. 3 и п=! ;ез 2хе 6 2498. 1П (Х + ЪУ ! + Хз) = Х + ) ( — Цп и 1 3 ...
(222 — Ц ххп+' 1!а 2!а2 3!аз и Г ~х) = ~х — "', + !.~ — ! и!ап 2500 „3;! . — 2+ 31х Цз+ ~ . Цз 2502 4 — 1 4( +Ц, 6( +Цз 4!.+ЦЗ+( +Ц4 ! 2502. — = —, х 2(! — (х+ 2)22) 1 ~ х+2 13+2)3 111+2)21 — — 1-(- + + +... при — 4<3<0. 2 ~ 2 4 8 ,72 ~, (х — -,22) 2503. 1) сов 1!2 (х — 3222)3 2!23 )х — х)2)п ' (2п — Цх соь п=1 принимая 0! условно равпыь1 1 1см.
сноску нв с. !74 к задаче 1760): „, )3х + я)зп 2) 3!пзх = Е( — Цп (222 — 1)! пп1 2ь04. 24= '22 1 +Т2= 1-~ х+ 1 2!х+ Ц 3 1! 33 2! 2 о(х+ Цз х+ 1 + 3331 + =-'+ 3 + 2 5 8 ... Рп — Ц + ~: )22+ Ц" 41 при — 2 < х < О. 3"'1 '112+ Ц! Ответы 327 и; ъ'2 ! шх таха бб (и» -'; — ) = 4 2 ~ 1! 2! — (шх)" л — — — соь (2п — 1)-. (гбоббагабб О! = 1). 1и — 1)! 4 2506..гб — 4ха = (х+ 2)б — 8(х+ 2)а+ 20(х+ 2) — 16(х+ 2).
2507. соя~ г = 1 ьбЗ ~х — х(З 2а(х — у!3)а 2" (х — х,бЗ)а 4 3 ~ 1! Зб гбб ! 21х — лг'З)а 2а(х — хая 2б~х — яббЗ)а 2~ 2! 4! 8! ях ~ яо!х — 1)" Гх ха 2508. аш = ~ аш !à — + и — Г! (ббоббагаЯ О! = 1). 3 Зпп! 3 2 о=а 4)х ! Збх 4)з 2а 2' 2а 3! 1 3 5(х — 4)б 21 а 1б х — 4 2509. ьбх = 2 1+ 2а 1! Г 1 — „'1: б, ббб ~ — б, Пб~ — б,ббб~;, 1б —,'85 б 8 9 б !б б ) б,б |ббб бО,ббб бб б,ббб б,ббг: ббрб— )- х = ф25+ 5 = 5 ' 1+ — 5 1-!- —. = —.
2515. агс18х 25 ~, 7о) 15 ! а,а / 1 ! 1 1 — — + — —... 2517.я=2ьг3~1, +,, + Т ~ 3:1 5 Зп 7 За 9 Зббб !,814ьГЗ ш 3, !42. 2519. 1) б1х = С+ х — — + —. ,/ с 3!3 5!3 с" х х~ ха 2) / б!х = С + !пх + + + , + ... 2520. Ф(х) = / е б1х гх х !! 2!2 3!3 о ха ха хг Гб1Г = х — — + — + .. 4 Ф вЂ”, ш — —, 9,419 с погрешностью ! ОЗ 2б5 Зб7 ' ) 3 ) 3 Зб бга ! 3 ха ! 3 гб гг 2511. агсс4пх = х+ —, +, +, +... 2512. „Л.Н! = 2 3 2п 2! 5 2а 3! 7 Ответы ! хз 2 хз < 2430 2521. Ф(х) = ~ »«П+ хе«ух = х+ — — —, — + 3 3 Зз2! 3 о 2 о .ет г«1'! ! 1 +, — —...; Ф ! =) — + . О, 2008 с погрешностью 3з 3! 7 ' ! 5) г, 3 3 бз 1 «,,, О, 0001.
2522. Продиффсренцировав уравнение п раз лл подставив х = О, получим уо = и(я — 1)уо . Отшода уо — уо = О, 1п.«-2) !п — 2),, гг ггг у~о~ = 2 1, у~г, = 3 2, у~о~ = 0 и т. д. Подставив зги значения в формулу ! и 4 уо уо 2 Маклорена у = уо + — ':с+ — т, + ..., находим у = 1 + — + + !! 2! ' ' 1 3 4 ха ,3 хз ха х4 + т, +... 2523. у = 1 + — + —... 2524. Решс- 463478236 , 2 нием является «функпня 1»ссселя нулевого порядка»: уо(х) = 1 —, + 2з 4 а + - — — +... 2525.,«1.005 1,002о; ',Л,0012 ),0004; 22,!2 22 42 62 ;гП,ОПЗ - 0,9965,:,»гОЗЯ7 сз 0,999; чг)10 = чг)00 + 10 гз 10 1 +, ) 20)— = 10,«3! К~~ = 4 ~! + —,) =:!г)26;:,С! О = 2 ~ ! + — ) = 2, 1. 32) ' ' ~ 20) гг! 1 1 1 3 2527.«г=б — + — +, +... 1 2 2 3 23 22 2! 5 2з 3(! + О, 0417+ О, 0047) - 3, 14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
