Минорский - Высшая математика (1108568), страница 49
Текст из файла (страница 49)
— = — (е' + дс дв 4д дс 2х / + е ') = — 2сЬС. 1897. — = г" +,ег" — '. 1899. —, йх Нх. ди у у ' де х/ х1 де дх ди де дс д- д- — — — )4+ — ). 1900. Ц = + = пс -вр ди у [с у) дх дидх дидх ди ' дс' дс д- дх де д" у д= де д- 1 д- ди ду ди дс ' дх ди;сх дс ду ди х ди дг ди ди ди / ди ди дх = — совср+ — вшсс, —, = [х — — япр+ —,совср) г. 1903. Ц вЂ”, дх ду ' др [, дх ' ду ) дс г!х = 2[(Лх+ Ву) сов! — (Вх+Су) вш С~ = (А — С) яп 21+2В сов 2!; 2) — = г!! 2ех' дс дс де сух дх дх дх 1906.
Ц вЂ”, = —,+ —,, — = 2 —,— —; 2) гм+ ! д:е ди дю' ду ди дс' д:.е сдс /у с!х сЭ- де ~ггх д" с!у 2 — х )у — + —,,—,= —,, ' + —,. 1907.— = . 1908.Ц-~в)-; ди 2;гх ди ду дс! '2,/у ди дх у+ 3 х' 2уев' — сви 2) , . . . 1910. ~-. 1911. — 1. 1912. Ц ! — 1; 3) и [ — Ц вЂ” Ц; 2) (1: Ц и [ — 3; Ц. 1913. —, =, —, = — —. 1914. —, дх х ' ду е дс 2х' д" х д- а де 5 гсу х у 1915. = †, = †. 1918. ' = .
1919. — — . ду 2= дх с' ду с с!х 4у х ,в ! ! в 1 4 1 дв д- у 1920.. 1921. —. 1922. —., —.. 1923. = 1, 2 о' 5 дх ' ду 1926. 6: 2: 0: 6 1929. 4 в, 0: 0 1931. а а а ',, 2 2 4 в [ а + уа)а [ а + ув)в — 2ху 2 в в в в у)г!х — хг!у) 1938. Ц вЂ” [Зув с!хв — 4с удхг/у+хвДс/в); 2) — ' (ха+ ув)в' ' хв " ' ' ' хуа Ответы 1942. дх / д д~~д дхду У, ди ди/ У,ди дг, д д г ддг 1, сзи ди / д" д дз =9 —,+б,, + —, дог ди ди дхг ' дг дг дг„ + — ) .
= 3 —." + 4т ' + —, де) " диг досусс дог' дг, дг дг,, +2 д„г ди ди диг: сдг- дгз, сзгг — 4 +3 сухг дх ду дгз = -4 ди до д'г и в палаче 1042, получим 4, 1943. Записывал так же. как 1945. дг„дг г дг, = уг — 2 дхг диг хг ди ди уг дг- 2уд' + — ' + —, аз диг г.з ди' дг дг, дг 1 дг. =хг +2 + дрг диг ди ди хг диг — у г гдх где г д" 2ус" = — 4у + дхг 'с)рг ди ди х до сугх сдгг 2 сдг 42 сугх 1946., + .
1947. д г 1948. 0; 0;,; —, . 1953. сс~и = — —, сГхг + (1 — 2д)л' ' ' ' оГг,з/Г 271з зсГ' ' хг + — сГх од сГаи = ' с/ха — дхгдд 1954. 4аг 1955. — с;г х г.а ' .г ' ' ' дида ' ' дида .г д хг х 1 + — —,. 1959. и = —, + х~пр — соеу+ С. 1962. и = — + — +1пу— иди 2 ' ' " х 2 — атс18х + С.
1963. и = хуг — х+ —; З- С. 1964. и = хс4п2р + 2 ысз у + у!псоа х+ уг + С. 1965. и = хд+ — ' + р+ С. 1966. и = з/хх х11 + з/Ух+ 1) + С. 1967. и = х1п у — х сои 2 + у- + С. 1968. и = х — Зу + С. 1969. у = хх~/1+ х; область расположения: 1 + х > 0; х: > — 1.
Точки пересечения с Ох: у = О, х = 0 или х: = — 1. Особая точка 2 2 2 0(О; О) узел. Экстремум у при:с = — —, у, = Т. а Т вЂ”. (рис. 40). 1979. у — — ~(г + 2)з/х+ 2: х > — 2 область расположения. Особая точка: ( — 2; О) точка воаврата. Точки пересечения с осями: при х = О у = ж2з/2: при у = О х = — 2 (рис.
50). 1971. у = жх~х — 1. Область Ответы 307 особая изолированная точка. При '1 4 Топ<а перегиба: х = —, у = и. 9 О<<О ос<<яств рдспо.<о<копия <с~ ( 1, или Рис. 51 Рис. 49 Рис. 50 — 1 < .«1. Точки пересечени<г с осями: прп у = 0 х< = — 1, Особая топ<а 0(0; 0) узел. '<)кстремуа<ы при 1 уа = ~ — ~рис.
о2). 1973. у = х ~ 2 >О топ вот< Рис. 53 4 4 Ту<сири имс<л' ф1'пкпии У: л х<<'и< пуи х: <У<сох:, 1Рис ° 03) ° О 27 1974 у = ~~а — 2) «<х: область ра< положения х > 0; при у = О х = 0 или Р% 52 расположения л > 1, и = О, у = О к=1 у=О,прих=2 у=~2. 1рис. 51).
1972. у = +х<<Т вЂ” <с<; =О. ив=1, та= 1 т= ~ — -~0,7 ,<2 303 Ответы х = 2; особая точка 12; О) узел. 1«ривая имеет такой же внд, как я Гх+ 2и на рпс. 52, но сдвинута вправо. 1975. у = х(х + 2а)у! —: кривая расположена в той области, где х и х. + 2и имеют разцьге знаки, т. е. при — 2а < х < 0 Особая точка ~ — 2а; О) точка возврата: х = 0 асимптота. Ерикая циссоила, такая же, ьак на рис. 85, но сне!ценная на 2а влево. 1976. р = +1„1, '; область расположения р < х.
Точки ггереевгения с осями: при .с = 0 р = 0 или р = — 3. Особая точка 10; О) тогка поварята. Найдем асимптоту нида р = 1х+ 6. Равделим члены Гй'«з Гй'«2 1 уравнения на г:1: 1 = !г — /! — 3 ) — /! — = О. Отсюда /г = 1пп — = 1, — 39 2 ш! 1// х) 11ш 2 ' 1 И!ак' асин«!тОта 1/ х х-«х«х-«х«Х2 + Ху+ р! Зкстремум функции х = ф!/) = т/уз + 392: при й = — 2 то = 154 1, 6; при х = 0 й = — 3 перегиб 1«рис. 54). 1977. х«1+ ц — Захй = 0 докартов лист 1см. задачу Збб). Особая тогка 0(0; О) узел с касательными д = 0 и х = 0. Найдем асимптоту р = йх+ 6.
Приагдеаг УРавнение к видУ 1+ !г — ) — За !г — ) — = 0; отнУда й = 1пп 1 — /! = — 1, 1. Х 21 х — ««с Х Рис. 54 Рис. Бб Зихр 1ш 1д+ х) 11п! 2 2 о Итак' д г о Всимп х — «гч "- — «х«Т. — Хгр+ ц ,2 тога 1рис. 79).
1978. р = ж — — —. Симметрична относительно Ох /.2 „2 Ответы 309 и Оу. Облаем расположения х! > а и )у > )х . 010; 0) изолированная тачка. При х = хат72 зкстремум у = ж2а. Лсимптоты х = ха и у = хх 1рис. 55). 1979. у = хх,~2 — х; область расположения х ( 2.
То пеи пересечения с осью Ох: при у = 0 хе — — О, ха — — 2. 4 4т72 Особая точка 10; 0] узел. Экстремумы у: при х = — у, = ж 3 ' 3'3 ж 1, 08. 1Кривая имеет такую же* форму, как на рис. 40.) 1980. у = - '":С":.)', а хе. ":, ° ..-. Ь-Л с .,; ° —. ( а <х — а(а,илиО(х<2а. Приу=О хе=О,ха=2а. Точка10;О) — — х1а — х) особая 1точка возврата).
При у' = О, т. е. ъ'2ах — ха+ хт За 3т73 5 = О, х =, уа = х а х — а 1рис. 55). 1981. у = ж(х + 2),/х. 2'' 4 4 Область расположения х ) 0 и еп1е изолированная точка ( — 2; О). Точка перегиба при х = 2/3. Кривая такая же, как на рис. 5'1, но смеепена в.юво. 1'ис. 57 1'ис. 56 1982. Две области расположения. 1) х > 0: 2) х < — а. Асимптотьк За За у = х +, у = — х — и х = О. Точна возврата ( — а; 0). Экстремумы 2 ' 2 а Зт73аа, х у при х = — у, = ж -~-2,6а.
1983. у = ж — тй'+ 5; область 2''2''2 расположения х ) — 5. Особая точка 10; 0) точка самоприкосновсния. Экстремумы у: при х = — 4 (у ~~ = 8, при х = О )у,о,„= 0 ерис. 57). 3!О Ответы 1984. д = ж»«~~х~ — Т. Области рясно.гожения ~х~ > ! с изолированной то пюй 0(0; О!. График такой же, как и на рис. 51, с добавлением еще до симметрии кривой слева. 198о. !!ри у = 0 хг — 0 и хх = — 4; при х = 0 уг = О, ух = — !. Особая топ«а (О: 0) узел с наклоном касательных !' = ж2.
При х = — 8/3 д,. = !,8 и при» = 0 у„„.в = — 1. Лсимптота у = х+ 1. Кривая пересекает асимптоту при х = — О, 4 и затем опи«:ываст Г х пег:по, пройдя через (О; 0) гл (О; — Ц. 1986. ! ) у = ж1х — а), 1; кри\/2а — х,' вая располов«сна там, где х и 2а, †.г: »лме»от одипаконые з«гак»г, т. е. при 0 < х < 2а. !'очг«а (а; 0) особая узел с наклоном васатсльных 5 = ж!. Лсимптота х = 2а (ргг«е 84). 2) у = Л; область располоягения /хз з' ~х~ > а и ~у > а с изолированной точкой (О; 0). Асимптоты х = жа и у = жа. 5!ел«ду каждой парой стих асимптот точек кривой, кроме особой, нег, ибо х~ > а и ~у > а. 11ривая состоит из четырех симметричных ветвей, приблпжагощих«я к асимптотам х = жа п д = жа.
1987. Ц у = = х х», область расположения — а < х < а. !очки пересечения с Ух+а о«:ью Ох: у = О, х» = О, хз = а. Особая точна (О; О) узел. Лсимптота х = — а. Кривая строфоида и получается псрсгибанисм рис. 84 по оси Оу и смешением затем оси Оу влево на а. 2) Области расположения: х > а; х < — а и х = О. '!очка (О; О) изолированная. Асимптоты х = — а, г»( '5+ Ц у = а †.г и у = .г — а. При,г = — — Оба у., ж3,3а. 2 1988. Ц у = — хзг»4; 2) !у = ж2х.
1989. Ц «у = жН; 2) у = 0 и у = — х. 1990. Ц у = 1: 2) у = 1 геометрическое место точек»зоз»»!»ата, но нс огибающая; 3) у = 1 — и геометрическое место точен возврата и огибающая; 'Ц у = х — 4»«3 огибающая, у = х геометрическое место точек з х возврата. 1991.алга+уз»з = ~~!з. 1992.~!~ = — . 1993.!.ха+ух) х+2 дх' 4ахху.
1994. Семейство траекторий у = х!ба — ' . Их 25з сова н !2,,2 огиоающая (парабо.га «безопасности») у = — — ' —. 1995. Ц х + у 2 2 2д 25а рз. 2) дз 4х. 3) у ! 1996 у» 4)х+ Ц 1997»згз+ уз»з = !згз. 1998. у = — 4~зг»3. 1999. 2х -~- 4У вЂ” = 3. 2000. хуо+ ухо = ххо Ууо - о = 2 -о 2001. хуозо+ Ухо»о+ зхоуо = 3а'.
2002. + аз бз сз х — 3 у — 4 » †2003. х+ у — =. = ж0. 2004., = ' =: в то«ке !О; 0; 0). 3 4 — 5 Ответ»,г 1 2005. сова = — сов 8 = совч = . 2006. у = О, х+»+ 1 = 0; 3' поверхность изображена иа рис. 45, с. 303. 2009. Касательная плос- ка «Га косбть х — у+ 2» =, . Ее расстояние от начала равно . Гели- 2 2хгб коид поверхность «линейчатая». !!рямьгс бгинии получак»тся в ссчс- «га па пнях»=!1. Прил=О у=О,при = — у=,гбприх= 4 ' 2 2«Га х = О, при» = у = — х, прн - = па у = 0 (рпс. 58). 2010. х = 4 а, х — 4 у — 3 2 = О, х+ у — - = —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
