Минорский - Высшая математика (1108568), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Обратно, имея семейство кривых, задаваемых уравнением Ф(х, д, Сг, ..., С„) = О, и исключая параметры Сг, ..., С„из системы уравнений оФ доФ Ф=О, — =О,, =О, грс ' ' г!хо получим, вообше говоря,,гифференпиальное уравнение вида (!), длк которого Фрлч д, .Сл,..., С„) = 0 является обшвм интегралом. 2'. Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид (2) Е л:,д, ' =О. гуд !'сгнив у1лавнсвлгл: (2) ~~~~~~~~~~~~ г!х ' г!д — = )1х, д). ох 208 1 л.
12. Дифференциалтьные уравнения г1у Уравнение )3) определяет наклон й = гбо = ' = У)х, у) интег)х гральпой кривой в точке (хб у), т е. определяет поле налранлешгй интегральных кривых. Если в некоторой области функция У)х, у) непрерывна и гглгеет ограниченную чагтную произво шуга ) ')х, у), то оказываетгя, что через каждую внутрешною точку гхгг, уо) отой об.гааги пройдет единетвеннан интегралыгая кривая. В такой области уравнение (3) имеет общее решение у = гига, С), или общий интгжрал Ф(х, у, С) = 0, из которого можно найти единсгвешгое гастное решение, или единственный частный интеграл, удовлетворяющие начальным условиям: у = уо при х = хо. 2051.
Проверить подстановкой, что функция у — С;гз нвлнетсн решением дифференциального уравнения Зу —:гуг = О. Построить интегральные кривые, проходцщие через точки: 1) (1; 1гг3); 2) 11: 1); 3) г1; — 1!3). 2052. Проверить подстановкой, что дифференциальные уравнения 1) уи+ 4у = О и 2) угн — 9у' = 0 имеют соответственно общие решения; 1) у = Сг соь 2х+Сз гйв 2х и 2) у = Сг+Свезх+Сзе з". 2053. Построить параболы у = Схз при С = О, -)-1, ш2 и составить дифференциальное уравнение семейства такнх парабол. 2054. Построить изображения семейства: 1) окружностей ха + + у~ = 2Сх, 2) парабол у = хд + 2Сх и составить их дифференциальные уравнения.
2055. Построить изображении полей направлений, определяемых каждым из уравнггний: г)у у, 4у . Уу 2 1) — = —; 2) — = у — х; 3) — = у+ гг~. агх * ' г)х ' г)х 2056. Построить изображение поля направлений, определпеЙу мого уравнением = ~удгд+ дз, с помощью окружностей, вдоль грх г)у 1 которых — = —; 1: 2; 3; ...
Нарисовать приближенно иптегральдх 2' ную кривую, проходнщунгчерез начало координат. 3 2. Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Ортогональные траектории 1и. Дифференциальное уравнение верного порядка Р г1:г + Я с)гг = О, где Р и ег функции х и у, называетсн уравнением с раздеггяюигггмггея ггиремггнггыми, если коэффицненгы Р и гг при дифференциалах раз,гага- ются на мкгикителн, завигяпгие только от х нли только от у, т. е.
если 'з 2. 2(ифферснцггальнос уравнение первого порядка 200 оно имеет вид ~(х) лР(д) Ых + Ул(х) Рл(д) ад = 0. (2) Рвэделгив оба члена уравнения (2) на ьи(лд)Ул(х), получим /(.г) г1х рл(д) г2лд + =О. ул(г) 1и(лд) (3) Общим интегралом уравнения (3), в следовательно, и (2) будет У(.с) лЬл Р лил(л!) л19 1 !' ,Ул(х),/ Р(лт) (4) Найти общие интегралы уравнений: 2061. хту'+ у = О. 2062. х + ху+ у'(у+ ту) = О. 2063. лрз луг + (г — а! л)(р = О. 2064. 2в1х гЬ =- (1 +1х) й. В сгледукнпих уравнениях найти общий и честный интегралы по начал ьны м усллв ням; 2065. 2у ь/х = д, д = 1 при д: = 4.
2066. у' = (2у + Ц с1лг хл у = 1л2 при х = л г4. 2067. хту'+ уз = О, у = 1 при х = — 1. 2068. 11остроить интегральные кривые каждого иэ уранпений: Ц у'(х~ — 4) = 2ту: 2) у'+ угба = О, проходялпие лсрсз точки: Ц (О; Ц; 2) (О; 1лл2); 3) (О; †!,Л2): 4) (О; — Ц . 2069. Найти кривую, проходящую через точку (1; 1л3), если угловой коэффициент касательной к ней в любой точке кривой втрое болыпе углового коэффициента радиус-вектора точки касания. 2'. Ортогонв.льными травил ариями гемейства линий Р(х, д, а) = 0 называются .шнии, пересекакппис линии данного семейства под прямым углом. Продпфферснцировав уравнение Р(х, д, а) = 0 по х и исключив а из полученного и данного уравнений, получим дифференциальное уривксние линий .ленного ссмейслвв д' = 2(х, д).
!огда лЭллдллрсрснииильньлм уриьнснисм ирлпигональныг юриеклиорий будет 1 Х(х: д) В следующих дифференциальных урввнениях: 1) найти общий интеграл; 2) построить несколько интегральных кривых; 3) лгайти частный иптелрвл по начальным условиям у = 4 при .г = — 2: 2057. ху' — д = О. 2059. уд' + х = О. 2!О 1л. 12. Дифференциальные уравнения 2070. Кривая проходит через точку д!(О; а), Л|Л произвольная ордината криволл. Определить кривуьо из условии, что плошадь ОЛЛХТ = аа, где а длина дуги ЛЛХ. 2071.
Найти кривую, проходяштло через точку (а: а), ес.ли подкасательная в лплбой точке ес равна удвоенной абсписсе точки касанин. 2072. Найти кривую, проходящую через точку ( — 1; — 2), если поднормаль ее в каждой точке равна 2. 2073. За какое время тело, нагретое до 100'С, охладится до 26'С в комнате с температурой 20'С, если до 60'С оно охлаждается .ла 10 мину (По закону Ньютона скорость охлаждения пропорциональна разности температур.) 2074. Нагрузка ца канат висячего моста (см. рис. 6) от каждой единипы длины горизонтальной балки равна р.
Пренебрегая весом каната, найти его форму, если натяжение канала в низшей точке принять за ЕХ. Указание. Возьмем на дуге ОС (рис. 6) произвольную точку Лс!. На часп каната 06Х бу,лут действовать три силы: горллзонтальцая ?Х (влево от точки ЯХ), вертикальная вес рл и тангенциальная сила натяженлля Т (вправо от точки Хгу). Для равновесия сумма проекций сил на Ои и Оу до:оюла равняться О. 2075.
Определить и построить кривую, проходящую через точку Р(-а: а), если отрезок ЛЕЕ любой касательной к ней, закллочеллцый между осями координат, делится точкой касания л1Х пополам. 2076. Найти ортогональные траектории семейства парабол ау = = тг. Построить их. 2077. Найли ортлп опальные траектории семейства гипербол жу= сь 2078. Найти ортол опальные траектории семейспла полулО бических парабол ау = ж . 2079. Найти ортоплнальные траектории семейства эллипсов „г+,1,г г Решить уравнения: 2080 у'из = 2у 2081 (х~ + ж)у' = 2д + 1 2082 у'л?аг + вг = у 2083 (1 + жг)у> + 1 + уг = О 2084. г?г + г та р л?!а = О; г = 2 при:р = ж.
2085. у' = 2 лу !и и; у = ! при ж = е. 2086. (1+ лг)у'+ уъ ! + жг = жу: у = 1 при и = О. 2087. Определить вривую, проходящую через точку,1( — 1; 1), если угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен квадрату ординаты точки касания. 211 з 3. 71иффе17енциальные уравнения первого порядка 2088. Кривая проходит через точку Л(0; а) 7 ЛХ '7' произвольная ордината кривой.
Определить криву7о из условии, что плошадь ОЛЛХ.7У = а(Л|Х вЂ” а). 2089. Определить н построить кривую, проходящую через точку ( — 1; — 1), для которой отрезок ОТ, отсекаемый на оси Ох касательной к кривой в любой се точке, ранен квадрату абсциссы точки 7МСаниГ7. 2090. 11айти ортогонадьные Траектории семейства гипербо77 хз— — 2ух = оз. 2091. Определить кр7лвую, радиус-вектор любой точки которой равен оц7езку нормали меьчду кривой н осью Ох.
2092. Определить линин7, если плошадго ограниченная осями координат, отой линией и проиЗвольной ее ординатой, ранна 1173 площади прямоугольника, построенного на координатах конечной точки кривой. 83. Дифференциальные уравнения первого порядка: 1) однородное, 2) линейное, 3) Бернулли 1'. Однородное уравнение. Уравнение 177!а+ 071у = 0 называется Однородныхя если Р и О однородные функции от х н у одиду 1 ут пакового изм7*рения.
Оно цривоюггся к виду — = ех ( — 7 и решается 71х т. у подстановкой — = и или у = ох. 2'.;1 и н с й н о е у р а в н е н и е. Дифференциальное уравнение называ77тся 7777н77пн77н, сс7И Оио 77е17вой сг7777сни Относительно и7 комой функции у и всех ее произво,шых..!инейное уравнение первого порядка имеет вил у' + Ру = ГГ. Оно сводится к,7вум уравнениям с разделяющимися переменными цо,гстановкой у = иы Другой способ решение (667Р7777Ц776 771>0777766,7677ОО 77осз7ОЯннОГ7) состоит в том, что сиатала Решаем уравнение у'+ Ру = 0; полу шем у = — Л7 7 ~ ~Я. !!одставляем вто решение в,7анное уравнение, считая й функцией х, и затем нахоштм г'идй 3'. Уравнение Бернулли у' + Ру = Оу' решается так 7ке, вак и линейное.
подстановкой у = ие или вариацией произвольной постоянной. Уравнение Бернулли приводится к линейному подстановкой 7 — О Решить дифференпиальньп. уравнения: 2093. уу' = 2у — х. 2094. хт + ут — 2хуу' = О. 716 а 1 Зу 2095.— 2096. у' — — ' = х. с71 1 х 2у с 2097. у'+ — ' 2098. у' соз х — у в! и .г = з177 2 т.
2!2 1л. 12. Дифференциальные уравнения 3 аа 2099 у'а + у = — хуг 2100 д' — ху = узс а у д 2101. ху' с еж — ' = д сов — —:е. 2102. хгу' = уг + ху. 2103. ху'+ д = !»:с + 1. 2104. хгугу'+ дхз = 1. В задачах 2105 — 2107 найти састные интегралы»о данным нана.сивым !'сссовис!м: 2105. у + туса:г +уг — хд' = 0; у = 0 прн х = 1. с!а 2106 !г — = 2!ч — 3: и = ! при ! = — 1. сЕ! ух 2107.
ху' = у ~ ! + !» — ); у = — при х = ! . —,,): —,Ее 2108. Найти семейство кривых, подкасателысзн в любой точке которых естс среднее арифметн н.ское координат тоски касании. 2109. Найти ортогональныо траектории семейства окружностей х +у =йае. 2110. Сила тока с в цепи с сопротивлением ЕЕ, самонндукпией Е и электродвижушей силой Е удовлетворяет дифференциальному уравнению Š— + ЕЕ! = Е.'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
