Минорский - Высшая математика (1108568), страница 30
Текст из файла (страница 30)
1880. Доказать, что если - = с Е" 1п у, то +у, дх ду 1пу )1 дТ дТ 1881. Доказать, что если Т = я з! †, то !†, + у †, = 0 )( д' д1 ' ду ы. Рх Уд 1882. Доказать. что если = с»у" а)п ) — — — '), то Ь с д» д»з! 1 , з у + ) = — с а)п дх ду) 2 2 1883. Проверить теорему Эйлера об однородных функциях (сть задачу 1873) для функций: .з 1)»= х — у '8 3. Полный дифференциал первого порядка Если функция» = Ег(х, у) имеет в гочка 1х; у) нсцрсрывныс частныс производные, то сс полное приращенис может быть представлено в виде д» д» Л» = — Лх + —,лгу+ «р, д»., ду д- д» и г«г — '«*'««Н' п.»ь 㫠— «« — «р дх ду ссзь гласная часом полного прарапижал Ь»; она называстся полным даффсрснцоалодн функции и обозначается Н»: д» д» Ьх+ Лу.
дх ду Полагая в формула (2)» равным: 1) х; 2) у, найдсм: «Ех = Лх, Ну = Лу. Поэтому д» д» гЕ = — «Ех + —, дчЕ. да 1!у 190 Гл. 11. Частные производные, полные дифференциалы Из (1) следует, что Л дэ, т. е. при достаточно малых Лх и Лр полное щирощсние функции приближенно равно ес волкову дифференциалу (гл. 5, г 7). функция Г1х, р) называется доффер*нцорре кол в точке 1х; р), если она имеет в этой точке но:шый дифференциал.
1884. Найти полные дифференциалы функций: 2) х= ' 3) о=сзl' 4) хй х — д г . 1885. Найти значение полного дифференциала функции: У 1) а = — ' при т, = 2, й = 1, г)х = 0,1, г19 = 0,2; т, 2) и = с~в при х = 1, 1 = 2, Ых = — О, 1, Йу = О, 1.
1886. Вычислить йх и гуи для функции х = хй при х = 5, д=4, глх=0,1, Лд= — 0,2. У 1887. Подсчитать приближенно изменение функции р = агс1ц — ', когда х изменяется от 2 до 2,1, а р от 3 до 2,5. 1888. При деформации цилиндра его радиус К увеличился с 20см до 20,5см, а высота П уменьшилась со 100см до 98см. Найти приближенно изменение объема г' по формуле гл1х д1'. 1889. Катеты прямоугольного треугольника, изх1ерецные с точностью до 0,1 см, оказались равными 7,5 ем и 18 ем. Определить абсоэпотную цогрешность при вычислении гипотенузы.
1899. Найти полные дифференциалы функций: 1891. Найти значение г)х и Л для функции = 1и 1хг+ уг), когда х изменяется от 2 до '2,1, а у от 1 до 0.9. 1892. Подсчитать приблнженно изменение функции = агсв1п — ', У когда х изменяется от 5 до 4,5, а р от 3 до 3,3. 1893. При деформации конуса его радиус 77 увеличился с 30 ем до 30,1см, а высота Н уменыпилась с 60 ем до 59.5с л. Найти приближенно изменение объема по формуле:'х'г' Л'. П 4. 11розззволныс сложных функции !91 94.
Производные сложных функций 1'. если - = е(х, у), х = 1!1), у = з>(г), то г называется сложной у!дикцией. от Е При атом йх дх дх 81х й>1 ог дх гй др 1и' осли функции 1', 1 и З> диф!Перс>>вирус,иьи 2'. Если - = Е(х, у), где х = 1!и, и), р = зо!и, и), и если функции Р, 1 и у дифферснцируемы, то д= дх дх бдх ду дг дл дх ох др !2) ди дх' ди ду г)и ' ди дх ди др ди дх 1894. Найти по формуле (1) из уравнений: дг 1) Х=х~+ху+у, Х=1, у=1; 2) =,Й~ + р2, х = а|н Г, у = сонг. Проверить предварительной подстго|овкой значений х и у в выражение для функпиц ии 1895. Найти, если .: = — ',:с = е, у = 1 — ет .
д!' х' дх 1896. Найти, если - = и, где и и и функ>гни ог х. дх 1897. Найти, если х = хс", где у функция от х. дх 1898. Фуззкгзия х = Г!2:, у) называется однородной., если 1л!Хг, уг) = 1П 1''(х. у). Дифференцируя обе части этого равенства по 1 и полагал в результате 1 = 1, доказать теорему Эйлера об дх д однородных функпиях; х, + у, = и». дх ду д- дх х2 1899, Найти — и —, е«ли х = —, где х = и — 2н, у = о+2п. ди до д дх д дх 1900.
Пусть 2 = Г(х, у). Выразить, и —, через, и— дх г)у ди до' если: 1) и = пиг + пЦ, и = рх + 21р: 2) и = хр, и = з1,1Х. 1901. Пусть и = Г)х, у), где х = г гов у, у = г а1п р. ди ди дп ди Выразить —, и —, через —, и —, и показать, что дг дсо ' дх др 192 Гл. 11. Частные производные, полные дифференциалы 1903. Найти — из уравнений: й 1) =- Лх~ + 2Лху+ Е"дт, х =- е)п1, у =- соа1; 2» 2) - = агс! —. х = гдн + 1, д = ет' — 1. х' 1904. Доказаттн что если» = ху+ т, Эг(и), где и = у/х, то дх д» х, +у =х+хд.
дх дд 1905. Доказать, что если .= ур!и), где и =- хз — уз. то ! д» 1д» *дх удд д» д д- д 1906. Пусть» = Е'(х, у). Выразить — и —, через —, и —, дс дд да до' если: 1) и = х+ 2у, о = х — д; 2) и = »ху, о = х+ д. 95. Производные неявных функций 1 '. У р а в н е и и е Е' (х, у) = О, имеющее решение (хо, уо), опрсделясг в окрестности хо переменную у как непрерывную функцию х при дЕ' условии, что производная — ф О и непрерывна в некоторой окрестноду сти точки (хс, уо). Если сверх того, в окрестности точки (хо. уо) существует и нспрс- дГ ы/у рывная производная —, то нслсяол функция имеет производную дх ' Их опредсляемую формулой Иу дд/дх Эх дд/ду' 2'. Уравнение Г(х, у, ») = О при аналогичных условиях определяет» как неявную функцию х и у, имеющую частные производные дд/дх;Э.
дд/Эу г)т дГ/д» ' ду дГ/11» (2) д11 Найти ' из уравнений: 1907. хе+ уз — 4х+ бу = О. 1902. Пусть — = д + Е'(и), где и = хт — дз. Доказать, что д» д у, + х — = х для любой дифферепцируемой фуцкпии Е»!и). ' дх гЭу 'з 5. Нроизводные неявных функций 1908. 1) хгуз+ уггз = аггз 2) хег" — усгх = О. 1909.
Лхг+ 2Лхд+ Сдг+ 2Ох+ 21!у+ Г = О. Найти угловой коэффициент касательной к кривой: 1910. хг + уг = Н)у в точке пересечении ее с прямой х = 3. 1911 из+уз 2атд. О в т„„кр х у а 1912. Найти точки, в которых касательная к кривой хг + уг + + 2х — 2у = 2 параллельна: 1) Ох; 2) Оу. дг да Найти и из уравнений: дх дд 1913. хг + уг + -г — Ох = О. 1914. аг = ху. 1915.
сов (ах + бу — си) = 9!ах + бу — с-) . 1916.,1!оказатги что если:гд = аз, то д= дх х — + д — = — 2х. дх ду 1917. Показать, что дифференциальному уравнению дх дв х — +у — =г дх дд уловлегворнет неявная функция я, определяемая уравнением (конических поверхностей) /х = Зе!у/х). ад Найти — из уравнений: ах 1918. хг — 4уг = 4. 1919.
ху+ 1и д+ 1п = О. 1920. т + у = е"г . 1921. 2 соь (х — йу) = 2у — х. 1922. Найти угловой коэффициент касательной к кривой уг— — ту = 4 в точках пересечения ее с прямой х = 3. г г 1923. Пусть г:г + дг + гг — 2вг; = аг. Найти, и дх ду 1924. 2 зги (х+ 2у — 3 ) = х+ 2у — 3х. Показать, что да ддд 1925. Показать, что дифферснпиальному уравнению дх дв гн — +и — =1 дт дд удовлетворяет неявная функция -, определяемая уравнением (гиллонлрических поверхностей): х — ггга = Зо(у — ов). 194 Гл. 11. Частные производные, полные диффсрсициа.ты 96. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков Пусть дана функция г = Г(х, у), имеющая частные производные дГ дЕ' — и —.
Частные производные от чтих производных называются частдг: ду ными производными второго поря!пга. Они обозначаются: д(сЭГ,Едх) даГ д(дГ~гЭх) дс дхг д(дЕ э еду) ду де ду дЕгуусудх) дгу дх д7у дх ду д,!э гЭгГ дгр дзГ сЭзГ дзГ дх дЭ дуда' дхгду дх дуди ду дтг Получим гледующую таблицу производных высших порядков: дгГ дгР дгр нгоро!'о поря,\ка дхг дхду' дуг дзГ дзГ дзГ дзГ 3' ' г' ' ' г' 3 дхз' дхгду' дхду' гЭгЭз Полные дифференциалы высших порядков определяются так: И с — г Их +Е,, дхду+ г ду дс дх ду ' ду' Символически нго равеистно хнвкно записать так: г Пг = сух+ гЕу) дх ду Апологичко з гЕ с= )ч, !Ех+ Иу с ~ч дх ду и т.
д. 1926. Найти частные произво,!ные третьего порялка функция = хз+ хгу+ у . д'г д'х для функций: дх ду дудх 2) = = хгЕ'уг; 3) = = 1и (х — 2у). 1927. 11роверпть, что 1) х = ьш (пх — Эху): Аналогично опрелечяются и обозначаются частные произнодные третьего порялка и других нысшях поряцкон. Смешанные производные, отличающиеся только порялком аиффереццировюшя, равны, если они непрерывны: З 6. Частные производные высгппк порядков 1928. Найти частные производные четвертого порядка функции ,г4+ 3хг, г 2 4 1929. Найти частные производные третьего порядка функции и = у/х. Е1 1г дгь дгь. 1 1930. Пусть в = 1п ) — — — ); проверитгм что, +, 1) дх ду дхг хг 1931.
Найти частные производные второго порядка функции р = агсьй — '. ух р'~ 1932. Доказатчп что если я = вш ~ — — — ), то 6): + 1933. Доказать, что если и = агс1812х — 1), то да, да 1934. Доказать, что если ь — ~~ их + Ы, то 1935. Показать, что функция и = хе "Е удовлетворяет дифференциальному уравнению д и Е ди ди~1 дги 1936.
Доказать, что ес.ги = Е'(х, у) однородная функция и;го измерения, то дг. дгя г дг х, +2ху, + у, = гг(н — 1)х, дх' ' дх ду ' дуг или символически с д дт' х —, + у — ) .= гг(п — 1)х. дх д,)- дх д= Уна запив. 1авенство г, + у = гы (сьг. задачу 1808) продифд. др фсренпироватчс 1) по х; 2) по у, и резулгнаты, умногкепнью соответственно на х и на р, ело~вить почленно.
196 Гл. 11. Чагтные производные, полные дифференциалы г 1937. Проверить равенство х —, + у — ) ' = п(п — Ц для ' ду) у о !породных функций; 1) х =:гз + ху+ уз; 2) а = — ':, 3) ьы 4) х =1п ~ — ' — 1). у, у 1938. !!айти ахи, если: 1) и = '; 2) и = х1п —. х х 1939.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
