Минорский - Высшая математика (1108568), страница 26
Текст из файла (страница 26)
сояг 2:е еуя ! !.'' 6гх 1619. ! + ег' О, 1614. (х~ — ах) 64х. о му 1616. о 1618. ! ! хг етх Г~ хг' /|.-',"е оу — хгГ . о ! ь ~ и з„г1 -2-:сг !!о. о с!х х+хг 'а '2. 13!счвслевве лло!палев Л 1620. / . 1621. / ~'2 — Р с)г. Г ис1и /;:ы+;, ! с32 а!'4 1622. т сов и с)и. 1623. $П х !3а:. О О 1624. Из формулы задачи 1407 получить, что гув к12 а л а и 1 ( ~~ в соко х Ии = / соко х Ндд 'и и вычислить: з,с1и 2) 4,л 3) в,!1 2 2. Вычисление площадей 1'. Площадь криволинейной траоепии А!А1313!, прилежа!пей к оси Ои (рис.
61): со ~' = ! ,'>', у~и = / у У " в о с1 Дифференциал переменной плошади А!АМЛ1! равен Ио = уды. Рис. Зй Если кр = ! !1) Х'(! Гл. Р. Определенньш интеграл 184 Ра Я = 1пп ~ хЛд = ~ хе?д. ао-~о ю ?2) ,[ифферепциал переменной площади до' = х Нд. 3'. Площадь сектора Ох?В 1рис. 32) кривой, заданной в полярных воординататл ) г2,~,,2 4„, аи — ~о 2,/ 2 2 Дифференциал переменной площади с?о' = — гз дх. 2 Вычислить плошадь. ограниченную линиями: хв уе 1626, +', =1.
а"' ди 1625. у = 4 — хт, у = 0 1627. ух = 2рх, т = ?и 1628. у = 3 — 2т, — х~, у = О. 1629. ху = 4, .г = 1, 1630. у = 1и .г., х = е, у = О. х=4, у=0. 1631.ух=2.г-1-4 х=О. 1632.да=хо, у=8,х=О. 1633. ух = ?1 — х), х = О. 1634. Петлей кривой 4?дх — хв) +.га = О. 1635. у = хз, д = 2 — хз. 1636. у = хт ф 4х, д = д + 4.
1637. а'д' =, з?2и — х), 1638. ?у — х)д = х', . = 1. 1639. Пешей строфоиды дд(2и — х) = хфх — а) . и 1640. Цепной линией у = — (сх1" + е х1"), х = жи и у = О. 2 1641. Одной аркой циклоиды х = а(1 — вш1), у = а(1 — соя1) и осью Ох. 1642. Астроидой х = и гол'1, у = аяпзй 1643.!?емнискатой гз = ао сое 2со. 1644. Кврдиоидой г = л?1 — саксо). 1645. г = 3+ юц 2со между смежными наибольшим и наименьшим радиус-векторами. 1646. г = 2 — сов Зто между смежными наи5ольшим и наименьшим радиус-векторами. 2'.
Площадь криволинейной трапеции, прилежащей к оси Од: 11 3. Ооъем тела врвшеенл 1647. г = асов2ул 1648. г = а, гбп Зла. 1649. л = п(гйп ус+ сов ли). 1650. г = —, — < р < 2л. ~с' 4 1651. г — ан1п' —, лежащей ниже полярной оси. . эр 1652. Петлей декартова листа хе + уэ — Зи:су = О (см. рис. 79 на с. 334) (перейти к полярным координвтвм).
сбп:р сон р Ыр 2 2. У К а В а и И Е. В ИитСГРЕЛЕ 1 с ПОЛОжнтЬ ГЦ Р = и, У (елпс:р ф сове р)2 разделив снечела числитель и знаменетель не сое Вычислить площадь, ограниченную линиями: 1653. у = бх — х2, у = О. 1654. у =:с л, у = 3, х = О. 1655. ул = 1 — х; и х = — 3. 1656. уа +.сл хи 1657. у = х2+ 1х+ б, .с = О, у = О и минимальной ординвтой. 1658. Одной полуволпой синусоллды у = вш х и у = О. 1659. 4у = хс и У2 = 4х 1660. ху = 6 лл х + у — 7 = О.
1661. Петлей кривой:ге + т2 — у2 = О. 1662. г =- 3 — сов 2р между смежными наибольшим и неименьшим радиус-векторами. 1663. г' =. 2+ в(п Зр между смежными наибольшим и наименьшим радиус-некто[лами. 1664. л = и ьш 2рь 1665. « = а сов Зчр. 1666. г = аем от р = -л до = г. х у .г у 1667. Обшей части эллипсов + = 1 н +, = 1 (перейти а2 Ь2 Ь2 а2 к полнрпым координатам). 1668. г = и(1 + вшс 2р) и г = а.
33. Объем тела вращения 1'. Объем тела, обревованпого вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции ЛлЛВВл (рис. 33), где ЛВ луга кривой у = Д(х), определяется формулой 1пп ~ хд стх = л~ тУ с1х. Ьч-ле Х1 Дифференциал переменного объема л1У = лу2 дх. Г .гд Опредеаеннг. г " р 1бб образованного врлгцекривопипейной трапеося Оу, определяется Рл ~Лд = ~ ах~ г1д (2) и ре лепного объема Л' = шением фигуры, огра- оси Ох. 1672.
у~ = (х+ 1)з и х = О вокруг осн Од. 1673. х~ + у~ = а, вокруг пря лой х = б > и,. Указание. Лт —. т(б+ х)т Ну — т(б — х)тур = 4пбхс1уг. Х' 1674. д = а с1л —, х = ~ае у = О вокруг оси Ох. а 1678. ут = 4 — х, х = О вокруг оси Оу. 1676. (у — и) = их, х = О, у = 2и вокруг оси Ох. 1677. у = гоях ну = — 1 вокруг прямой у = — 1 при — я < т < и. 1678. у = хт/ — х, х = — 4 и у = О вокруг оси Оу.
т', 1679. у = сов (х — — ), х = О, у = О (при х > О) вокруг оси Ох. Х 1680. у = и — — и х + у = а вокруг оси Од. а Определить объем тела, образованного вращением фигуры, огранияенной линиями: 1681. д = впыс (одной подуводной), у = О вокруг оси Ох. 1682. х~ — д~ = 4, у = ъ2 вокруг оси Оу. 1 1683. у =, х = ~1, у = О вокруг оси О.г.
1+ хз' й4. „Длина дуги плоской ириной 167 34. Длина дуги плоской кривой АЛ кривой П = Дх): .=~ „т+ — „,~, = от+ оч. =,лРл, . АВ кривой а=Я), у=~о(О: га л=о~ „'Р+~'~. ЛВ кривой с=Д4: ер / ЬУга4 гы4о 1'. Длина дуги Дифференциал дуги дл 2'. Длина луги ~о Данна дуги (3) Определить длину дуги кривой: 1691. Ух = ха, отсеченной прямой х = 4/3. 1692. Всей крякай тх + уа = а1. 1693.
Всей кривой хоук+ дтуа = атуч. 1694. у~ = ~х + 1)а, отсеченной прямой:г = 4. 1695. Одной арки циклоицы х = и(Š— аго Е), й = а(1 — сая 1). уо у4 1696. х = —, у = 2 — — между точками пересечения осями 6 4 координат хи рх 1684. — + — = 1 вокруг оси Ор. ат от 1685.
х~у~ + у~у~ = а~у~ аокругг оси Ох. 1686. у — ха, х = О, д = 8 вокруг оси Оу. 1687. ха — ух = ах, х = ж2а вокруг оси Ох. 1688. у = х-, у = 4 вокруг прямой х = 2. Указание. 81' = к(2+ х)~ Ну — к(2 — х)~ гуу. 1689. Одной арки цнклоиды х =- аΠ— агн О), у = а(1 — сан|) вокруг аси Ох. 1690. (у — 3)х + 3х = О, х = — 3 вокруг оси Ох. Гл. 9. Оььределеьььььш интеграл .х 1697. у = —, — 1, отсеченной осью Ох. 2 Указание. / х/1+ хз льх можно ьлльь найти по частям, или написать по формуле задачи 13бб. а х 1698. у = — (еьььм+ е "'") = ас1ь — между прямыми х = ха. 2 а 1699.
д = 1и х оь х = 3ьь4 до х = 12,7о. 'Г+ " У к а,з а и и е. Иптсь рал / . - — — находится подстановкой 14 хз =1л 1700. у = 1п (2совх) между смежными точкаъьи пересечении с осями координат Оу и Ох. 1701. 1) 9уз = х(х — 3)' между точками пересечения с осью Ох. 2) е~л1Ь х = 1 от х = 1 .ьо х = 2. 1702. 1) Еардььоььды г = а (1 — сов,р). 2) Первого завитка спирали г = аза. ььч 1703. Всей кривой г = а япз —. 3' 1704.
Гибкая вить подвегпена в точках л1 и В, паходягппхся на одной высоте на расстоянии ЛЛ = 21ь, и имеет стрелу прогиба Считаьь форму нити параболой, показатеч гто длина пити а— 2У~, У 2)ь 1+ —,— прн достаточно малом —. Указание. Применить приближенную форалулу тььТ+ о 1+ — о 2 задачи !1бь7. Определить длину дуги кривой: 4 1706.
уз — -~2 —, )'.. «й р . й, = — 1. 9 1706. у = 1о 1кш х) от х = н7 3ь до и = 2х7 Ъ. 1707. у = 1и (1 — хл) от х = — 1ьь2 до х = 1/2. 1708. уз = 2рх, отсеченной прямой:г = р)2. 1709. х = 1~. у = — 1ьх — 3) мельду точками пересечения с 3 осью Ох. 'З 5. 11лощадь иоверлносги вращении 3 5. Площадь поверхности вращения 1'. П но щ а л ь и о в е ух н о с т и, образованной вракгением вокруг оси Ох дуги АВ кривой у = Дг): 2'.
П л о щ а и ь и о в с р х но с т и, образованной вращением вокруг оси Оу дуги АВ кривой х = фу): Определить площадь поверхности, образованной вращением кривой: 1710. хз + уз = 1Р вокруч оси Ох. 1711. у = х" ~2, отсеченной прямой у = 1, 5, вокруг оси Од.
1712. у = а с1з — между х = ~а вокруг оси Ол. а 1713. 4хт 4- уз = 4 вокруг оси Оу. Указание. Приняв у за незагщсиьчуюо керемсчнгучо. получим, что 2 искомая площадь Р = к / ф6 — Зуд ф. Далее применяем подстановку о у = — а1ог /3 3' 1714. Одной полуводны кривой у = в)н х ковру~ оси Ох. 1715. Одной арки циклоиды х = а(1 — ьш1), у = и(1 — соз1) вокруг оси Ох. 1716. Петли кривой х = 1~, у = †(1~ — 3) вокруг оси Ох. 3 1717.
х~ + уз = а вокруг прямой т, = 6 > а. У к а з а н и е. НР = 2т16 + х) Да + 2л16 — х) ал. Определить плошадь поверхности, образованной вращением вокруг Ох; ,3 1718. Дуги кривой у = от х = — 2 до х = 2. 3 170 Гл. й. Оглределенлльглл интеграл 1719. Дуги кривой уз = 4+ х. отсечешгой прямой д = 2. 1729. Всей кривой х = а соаз 1, у = а я1пз 1,. 1з 12 1721. Дуги кривой х = —,, у = 4 — —, мелкду точками пересе- 3' 2 чения с осями координат. 86. Задачи из физики 1722. Определить силу давления валы на верплкальный прямоттолшлый шлюв с основанием 8м и высотой бм. Определ1лть также силу давления на нижнюю половицу шлюза. 1723.
Определить силу давления воды на вертикальнукл треугольну~о плошадку, основание которой а расположено на поверхности воды, а высота ранна 1п 1724. Определить силу давления воды на вертика.н ный полукруг, диаметр которого 2Л расположен на поверхности воды. 1725. Плотина имеет форму трапеции с верхним основанием 20 м, нижшлм 10 и и высотой 6 м. Определить силу давления воды ца плотину.
1726. Найти моменты инерции относительно осей Ох и Оу площади прямоугольника, ограниченного линиями х = О, х = и,, у=Оку=б. У к а з а н и е. Разбшл прямоугольник на г оризонтл.тьные площадки, умножим каждукл плошадку па квадрат ее расстояния от осн Ох, т. е. на уз. Суммируя и перейдя к пределу, получим Ук= 1цп ~оХуу = ( иу 4у. ьл-ло о а Аналогично,1„= ох Их. 2 о 1727. Найти момен'г инерции относительно осей Ох н Оу площади треугольника. ограниченного .шниямп х = О, у = 0 и — + — ' = 1.
и о 1728. Найти момент инерции относительно оси Оу площади, ограни шиной липиямн х = 2, у = х и у = О. 1729. Найти статические моменты относительно Ох и Оу и коорд~гнаты центра масс треугольника, образованного ливиями х=О, у=0 их+у=а. Указание. Статические моменты: лМе = ~ хуку, л1лп — — ~ хуе1х. о о Мп М, Координаты центра класс: х„. =,", у„=,', гдг,у плошадь фигуры. Я'' "' Я' ?З 6. Задачи ил физики 171 1730. Найти центр масс площади, ограниченной линиями азу = =Ьжз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
