Минорский - Высшая математика (1108568), страница 24
Текст из файла (страница 24)
1!од каким чтобы она была углом паиме» гиба кривой. 1'. Выпуклость. 11ривая называется выпуклой «вверх» («вн««»«») в топ«е а = ае, если в некоторой окрестности атой точки !слева и справа) кривая расположена «ниже» («вь»шс») касательной в втой точке. Если в топ«е а = .тв Ц уо ) О, то кривая выпукла «давние»; 2) ул < О, те кривая выпукла «вверх». 2'. '1'о ч вой перегиба называется точка, в которой кривая переходит с о,шей стороны касательной па другую )и, следовательно, мспяст направление выпуклости).
?у«обводи.вмл условием точки перегиба является то, что в ней ул = 0 или не существует, а дос«ио«ив«вы,и, то, что ул при етом меняет знак. '3 б. !!вправление выпуклоств и точка перегиба кривой 139 !2 1255. 1) у = 2 + :2: — 4 с 1п д 1256. 1) у = 1257. Ц у=х+ х+2 1258. 1) у = х — 1п х; 2) у =ехе 1 2 хл хх' и ( х/а + -хуа) 2 4 ! — + х т,л — х)в =. 4. 2) у= 2) у= .л 1259. 1) у = х 1260. 1) ув = 2хх — х": 1261 у 1х + 2) 213 1х 1262. уд = т.е 2) у= 2):с (у 2)213 3'.
Для пол троеная кривой рекомендуется определить: !) слл лметрию; 2) область расположения: 3) точки пересечении с осями Ох и Оу; 4) точки разрыва функпин у = !о(х) или л =. /'!у) и асллмнтоты; 5) возрастание ллли убывание у нли х и зкстремальные точки; б) направление выпуклоспл и точки персгиба. 1246. Исследовать направление выпуклости и построить кривые: 1) лу=хх: 2) у=хз: 3) у= — е'! ,!), 1 . 5) ,ьуз 1247. Определить экстремальные гочки и гочклл перегиба кривьлх н построить кривые; !) у= — — х~; 2) д=е '; 3) у=,; 4) у=2!у'. 6 ' ' 1+хе' Применил некоторые из правил п.
3', построить кривые, заданные в задачах 1248 1262 уравнениями: 1248. у = 23 + О. 1249. у = -х~ — 4х. У к а з а н и с. В задаче 1248 опреде.лить симмстрикь область расположения и точки пересечения с осями, а в задаче 1249 точку зкстрсмума и точки пересечения с Ох. 1250. у = вьн т,, у = соч х. 1251. у = 313 х, у = с)л х. Указание.
В залачах 1250, 125! определить точклл экстремума и перегиба. 1252. у = 1и (х + 2). 1253. у = е У к а з а н и е. В задачах 1252, 1253 определить область расположения лллчки пересечения с осямлл, асимптоту и напрааление выпуклости. 1254. 1) ут = т, 2) ут = (х+ 3)'. Глава 8 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ~ 1. Неопределенный интеграл. Интегрирование разложением 1'. Нсопрсд елен ным интегралом ) !~х) дх называстсяфунпция г'(х) + С, содсржапгая пронзвольнос постоянное С, дифференциал воторой равен ладынл~сероз ножу выражснине Дх) дх, т, е.
Дх) дг = дг(х) + Г ', если дг1Р(х) + С) = Дх) дх. 2'. '!'аблигга основных интегралов: 6. / е1п.е дх = — сов х+ С. 4. / е' дх = ех + С. 5. / соа х дх = е1п т+ С. !О 3'. Свойс гва неопределенного интеграла: 1. д/ идх= иди. В. /ди= и+С. П!. / Аидх=.4/ иг!х. !У. /(и+о)дх= / идг+ / сг!х. х +г / хода= +С я+1 (я ф — 1). 1 дх 2, ) — =!п)х + С. З. / "д: = ' +С. !па дх = гп,с + С. соез х дх = — с1д х+ С. е1п х ) -Г.";::.'.:.. агсегп х + С или ! — агсгое г + С З 1.
Неопределенный интеграл. Икктекрккропание рав.гокневиеи 141 14нтегрировапис раалоедгнием есть приведение данного пггтсграла (по свойству 1Ъ') к сучис более простых интегралов. 1263. В следующих равснгтвах заполнить пропущенные честа: 2хдх: 2) гУ( ) =х 0х; с1х сов х г1тл 4) г11 Ых, с1х совах ' ' 1-'; хт 1) 1( ) = 3)гк( )= 8)4)= Найти затеч интегралы 2х сух, х~г1х и т. д. Пайки интегралы: 1264. 1) 1265. Ц 1266. 1) 1267.
1) 1268. 1) 1269. 1) 1270. 1) 1271. 1) 1272. Ц х~+ 2х+ — гух; |',' .,; ~тки + ~е хе) с1х; (чкх х— 1) с ! — Их; соь '2:с сова т, яп х вгп х соа х | .;г, а1 и — гухд 2 1+ х чг1 — ха ( 10хз+ 3 2) —, дх. 2), ск'х. 2) о, *1 + с1х. 2) ссдвт, с1х Г 3 — 2с18хх совз х 2) сов — дх. 2) с1х. Гл. 8. Неопределевпьш' интеграл Найти интегралы: 3 2. Интегрирование подстановкой и непосредственное Положив х = р(и), Зх = гг'(и) г!и, получим Д(х) йх = ~ ((р(и)) уг (и) Зи. Такое преобразование интеграла называется иягоссрироьюкис,к пооь станооьой.
В простых случаях введение новой переменной и рекомендуется выполнять в уме, применяя слсдуюшпс преобразования дифференциала с!х: 1 гЬ: = — о(ох+ 6); 2хг!х = г!(х ); о ох сов:с Зх = г!(яп х); — = З(1п х) и т. п., и обозначая мысленно выражение в скобках через и. Такой прием инте- грирования пазывакж нг посрейсп~есвяык.
Найти иптег'ралы; 1279, соз Зх с(х. 1280. я п — г!х. 2 У к а з а и и с. Задачу 1279 можно решить двумя способами: 1) положив Зх .= и.:с = и/3, ох = г!и/3; 2) приведя интеграл к виду 1 —,, | соа За: й(Зх). 1273. 1) г!х: .з 1274. 1) гг'х; 12781) + г+ з 1276. Ц с 1+ г(х; ( ! — япзт, 1277' / г с(х. 1278 яп:с ) з ! (2ь/х+ 1)г хг х тьг 2) 2 2) 2) Г 1 + г!х. | 18гх лг, Интегрирование подстаношсой и непосредственное !43 У к з з он и е.
Задачи 1289 1298 решаются по формуле / = ~ =!П~и +С, т. е, если числите,ж иопынтегральной дроби есть ороизеоднал ош зяа,.кснатслл., то акт гзрал раасн лоза!изфльр зна.аеяатслл. 1292. 1291. ! — 10х 1293. с!8 х дх. 1294. !8 х дт. сов 2х / вш х с!х. 1295., с!х. 1296.
яп х сов х ! !+Зсовх сов х /' дх: 1297., д,х. 1298. 1+ 2в|пх / х(1+!их) 1299. яп х сов х дх. 1300. сов,т яп х дх. У к а з а н и е. Задачу 1299 можно решить подстановкой яп х = н иди непосредственно, заменив сов х дх через д(в|п х). япхдх 1302. соьз х сова дх 1301.
в!п х у' ! — 2совх 1303 2 д*. 1304. ч!пх,с чхд" в!п х, 1281. е з дх. о83. 1285. (3 — 2х) дх. 1287. 2х — 5 1289.. ~Ьч г 1282. х сов2 5х 1284. чт4т — ! дх. 1286. Я вЂ” бх дх. 1288. яп (а — Ьх) с!х. 1290. Гл. 8. Еуеонредеденньш' интег рал 3 1305. е"' в)н х Их. 1306. е хг с!х. У к а з а н и е. Задачу ! 306 можно решить подстановкой хв = и или .2 . .3 непосредственно, заменив х сгх через — с1(х ). 3 Г с'Гх с!х 1307. е х с!х. 1308. / Указание.
Задачу 1309 можно решить подстановкой хг+ 1 = и 2 или некосредствесшо, записав интеграл в виде — ус)хи+ !)~1~ ьдх~+ 1). 2 Г в)и х с1х 1313. 1315. !+ '! в)пхсовхс)х Найти иьггегралы: 1317. (с' + с )ге!х. 1318. в)и х сов х с)х. 1319. 1321. 4~Г+ Зх г)х. 1320 1324 з' с!х И~К (н и:)3 х Йх 1323. ,Г|+ хг' Г 1+ в1н 2х ! г ьш т, 1312. ьГ! + ) в л; г!х 1314.
1316. | ф б . У*. | сов (о — ох) с1х. | ,',/~ 2тз с,!х '1 — 2в1пх нх. сонг х ~| и ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ м с"" сов х с!х. Гл. 8. Еуеоггредегтенньгьь интеь рал 1338. 1339. У к а з а н и е. В задачах ! 338, 1330 нужно из подынтегральной не орое и, ь он ой,троби игььгьючить пело е выражение. 1340... 1341.
ь г хг+4х+5 1342.. 1343 ььх '11 -;-3' 1344. 1346.. 1347 оьтр -ул' г1х Г:2. — т ,.г+ 3 ,Йьг — Ь, Т Паьлти интегралы: 1348. 2, + 2, дх Л:' ггпу+' / 2+5 1352.. 1353. 1358. 2 . 1359. ггх г1х гг+ 4ть+ 29 Их Их Указание. В задачах 1340 — 1347 нужно из квадратного трехчлена выделить полный квадрат. З 1. Иллтег(ли!лоллалте по частям 147 34. Интегрирование по частим иЙ': ии — ) айс Эта формула чаще всего применяется тогда, когда под интегралом имеется произведение алгебраической и трансцендентной функций, например ) хэеа с(х болллл ) хэ!и л с(х. 11ри этом за и принимается функция, которая дифференцированием упрощается, а за Й, та часть подыитсгрального выражения, содержащая йл, интлтрал от которойл известен или моллег быть найден.
Из трансцсндсллтллых функций за и обычно принималотся !и х, агс1х х и агсвш х. Например, в интеграле ) хэ 1п т л(х за и нужно принять !и х [а не хэ), а в интеграле ) х са л(х за и нужно принять х [а нс с'). Найти интегралы 1360. 1п х о[х. 1362. т, е Йг. 1364. х~ сов х г(х. 1361.,г!п ух — 1) дх. 1363. х агс13х Йх. 1365.
е як хе(х. 1366. Показать, что Б'+9Л.=,[м (.'Лйб ЕЬ[с.+ АРЛИ[[[1 С. 2 Найти интегралы: 1367. (!лл х) с(х. 1368. ,( яп х 1369.. 1370. 1371. агсяп,г г(х. 1372. хэс ' г(х. 1373. !п (х~ + 1) г(х. 1374. соа ([и х) г(х. Из формулы дифферснпиала произведения л([ио) = и с(и+ и л[и получается формула интегрирования по частям Гл.
8. Иеопределенньш' инте! рад Найти интегралы 3 5. Интегрирование тригонометрических функций Р. Интегралы от квадратов и других четных степеней сии у с а н к о с н н у г а находят, применяя слсдукппис формулы ноннжгния степени: 1 — сов 2х т 1+ сов 2х яп 2х агп х:; соь х:; ьгп х соь х: 2 ' 2 ' 2 2'. Интегралы от кубов и других нечетных степеней си>гуса и косинуса находит, отделяя от нечетной г>ттлгг*ни один множитель и полагая к»1/>унь>пан> равной попой переменной и.
Интеграл / соьж х ь1п" х дх находится по правилу 1', если т и и, оба ч>тныс, н по правилу 2', если >я или я ю"ктно. Найти интегралы: 1384. (1 + 2 соь х)т дх. 1383. яп Зх сух. 1375. тут 1п х г1х. 1377. агс18 т. дх. 1379. е~ соь х е1х. т. соь х Ит. 1381. ь>п х 1385. (1 — вн! 2х)~ >ух. 1387. ьйн~ х сова х Йх. 1389. ып~ х соь4 х >ух. 1391. яп х сов хат. 1393.
соь" х г)х. > сов х >)х 1395. яп х 1376. х~е Г~ гух. 1378. Г агсяп (х Г2) 1380. / ' с1х. ч>2 — х 1382. агс1н Лх — 1 г)х. 1386. сов4 х гуль 1388. яп4:г сов4 х г5г,. 1390. жив х о>дн 1392. ьш х сов х о>х. 1394. (1 + 2 соь х) й:. ь>н х с>х" 1396. совд т 'З,'о. Иктегрггрогоание тригонометрических функций 149 ? дх /' я)п х+ соя~ х 1397. = 5 г(х =7 ып2х 5 2ыпхсовх -' ) |„'„*,, ) |,.';с соьх+ я(их 1399. )(х, 1400.
вш 2х / в)п х — сов х 1401. ), з:с Пх. 1402. с) Пзх Йх. У к а з он ив. В задаче 1401 положить Г8 х = Г, х = агс18 П 1403. я)п Зх соя х г(х. 1404. соя тх соя их Пт,. У к а з а н и с. В задачах !403-) 406 применить формулы 1 вш о сов )У = —, [вш (о+,'5) + вш(о — Г5)), 2 ' 1 сов а сон 55 = —, (сов (о + )5) + сов (о — 3)) . 2 1 вш о вш В = — (сов (о — ?5) — сов (о + )У)1. 2 1403. 1) ып Вх вю Вх г(х; 2) в(п пот яш их г(х.
ООВ. |.' (у,— '-) . (г+-') р:т 4 4 1407. Интегрируя по частям, вывести формулы впонпжекия сгепениа: 1 „г )г — 1 Г 1) я)п" х г(х = — — соя:г я)п" х + / в)п" х с(х„ и я 1, „ и — 1 2) совах г)х = — яшхсоя" х+ 1 сова х)5х и И и по )'згкм фора)улам найти: 1) яшв х )ух; 2) сове х )гл). Г Их, Г г(х 1408. Найти интегралы: 1) /, 2) / / с.в х Ых Указание. Применить формулы задачи )407 к интегралам | ли:.с 5 сов х Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
