Минорский - Высшая математика (1108568), страница 19
Текст из файла (страница 19)
аыа Сг Например, функция у = 1'(и) = (рис. 2б) имеет при х = а разрыв П рода, Все дробные функции, знаменатель которых при в = а раве Функ г:= 1ип у, 1шг у и построить кривую по точкам а-гг+О 'а-Г+ т.= — 2, 0,1,;3,4пб. 101 Гл. о. Введение в ана.тиз 815. Найти гочки разрыва и построить графики функций: 6,, 4 1) у = — —; 2) у =тйх; 3) у =— х' ' ' 4 — хд 816. Построить график функпии хэ!2 при х ~ 2, у: 0 прил=2 и указать точку ее разрыва.
Какие из четырех условий непрерыв- ности в этой точке выполнены и какие не выполнены? х+ 1 817. Построить графики функций; 1) у = и 2) у = ~х+ 1 х+ 1 = х+ . 11акие из условий непрерывности в точках разрыва (х + 1( ',этих функций выполнены и какие не выполнены.' 818. Построить график функдии Вп! х прихф0, 2 прих=О и указать точку ее разрыва. Какие из условий непрерывности в цей выполнены и какие нет.' 819.
Указать точку разрыва функции у = 2'у", найти !пп у, -э-о 11!в у, Пш у и построить график функции. Какие условии нем — !+о т-эх я прерывности в точке разрыва пе выполнены? 820. Построить график функпи и 0,5х~ при )х( < 2, у=Д(х)= 2,5 при )х =2, 3 при)х >2 и укачать точки ее разрыва. 821. Найти точки разрыва и построит! графики функций 1 .3 .х Ц у=; 2) у=-агс18: 3) у=-. 1+ 2э/ ' х — а' 2~х — 1~ 822.
Сколько однозначных функций задано уравнением,т 2 — у = О? Определить из нпх: !) четную функцию; 2) нечетнуэо функцию так! чтобы они имели конечные разрывы (! рода) при :г = х1, х2, н 3! ..., и построить их графики. 105 59. Асимптоты 823. Указать точку разрыва функции у=, найти 1нп у, х+2' л — г — х — о 1пп у, Пщ у и построить график по точкам х = — Ос — 4, — 3, л-с — 2ЧО л-лхси — 1, О, 2. 824. Построить график функции 2 прих=Оих=щ2с у=?(х)сс 4 — тт приО< х](2, 4 при ]х] > 2 и указать точки разрыва. Некие условия непрерывности выпол- нены в точках разрыва и какие нет? 825.
Найти гочки разрыва и построить графики функций: — 2) — 2~/1 -~) 8) — 2~/ = "+ 4) у='',,; 5) у= 2х,' ' ' ',1 3]' 826. Сколько однозначных функций задано уравнением хз + + у = 4'? Определить из нпх: 1) две непрерывные на отрезке ]х] ( 2: 2) ту из цих, которая отрицательна на отрезке ]х] < 1 и положительна лля всех остальных допустимых значений х.
Построить график и указать разрывы последней функции. 8 9. Асимптоты Асимптот ой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при се удалении по кривой в бссконсчность. 1. Если 1шт Д1х) = хсо, то прямая х = а есть асимптота кривой -с а у = Д1х). Например, кривая у = имеет асимптоту х = а (рггс. 25). х — а 11. Если в правой части уравнения кривой у = 1'1х) москно выделить линейку~о часть у = ?'?х) = Йх + 6+ сл1х) так, что оставшаяся часть о1х) — ~ О, когда т — г жос, то прямая у = ух + 6 есть асимптота кривой. 3 1,2 Примеры: Ц кривая у = = х + 1 + — инесс асимптоту т2 ~,2 и а у = х+ 1 1си асимптоту:с = 0): 2) кривая у = = 0+ имеет х — и х — а асимптоту у = 0 1рис.
2о). ХФ НЕ Если существуют конечные пределы 1ии 6 и -с+си или — сс Х 1шс 1Дх) — 1сх] = ?с, то прямая у = ух+ 6 есть асимптота. -с-~-сс или — сс 82Т. Определить асимптоты кривой у = 1 — — и погтроить . 2 кривую по точкам т = щ1, ж2, х4. Гл. о. Ввсденгге в анализ 106 2 834. Найти асимпгаты кривых: Ц у = 1 — — ): 2) у = — х + 1 + — и построить кривые .г2 835.
Найти аг:имптоты 1 по точкам х = ~ —,, х1, ~2. 2' кривых и построить кривые; хи,2 х 2 ' )у 2' 2 — 2х' ' хз — 4 ' 1 — хт х — 4 Цу=; 2)у= 2х+ 4' 3 10. Число Числом е называется препез йю (1+ — ) = !гю ~с1+ — ) = !пп (1+ )~7 = е. в — гсе Г я в — г — со л а — ге Пго число иррациональное и приблименно равно е = 2,71828...
Логарифмы с основанием е назывюотся яглгауральиы.ва и обозначаются !ойв х = 1п х. Десятичный логарифм: !8 х = ЛХ !и х, гае М = 0,43420... В задачах 828 — 830 найти асимптоты кривых, выделив из дроби линейную целую часть; построить асимпготы и кривыо: 828 Ц у=и +'; 2) у= ',; З)у= т*2 — г — 1 829.Ц у= ~ — 1; 2) у=; 3)у= 830. Ц у= —,*; 2) у=,':, 3) у= — ',„ 1+2т' ' х~41' ' х+4 Найти асглмптоты кривых и построить криные: 831. Ц хт — у~ = а,"; 2) хз+ уз = За:гу; 3) у = х — 2 агс!р,'х; 4) у = агс!р,' 832. Ц у = тухз + 1 — т/хд — 1; 1 2) у=,lхз-Р1 ! ьУтг 1; 3) у=:г — —.
,4+1 хз+ а 833. Построить кривые: Ц у =; 2) у = и Зх ' ' х+1 параболы, к которым зги кривые асимптотлгчески приблиьчаютс. 2 10. Чисто с !07 Найти пределы 836. 1пп 1 — — ) (положить — — = и). л-тсс т и) п, ) 837. 1) 1пп 1 — ); 2) )пп ~ 1+ — ~ — Ви —: и 838. 1) !!тп (1+ 2х)!с"", 2) 1пп (! — 4х)!! х-то х-то и 2х я — ссс и+ 1 ' х — ссо 2х+ 1 840. 1) !!п! тайп (и+ 3) — !п и): 2) !пп (1+ 3!62х)жи х-+ос х-со 841. !пп (сов х)оса (почожвть ыпд т = и). х-+о !п (1 + и) , с " — 1 , а2 — 1 842. 1) !пп : 2) !пп ; 3) !пп о->о а ' х->о х ' .х-~о х У казан ив. В примере 2) положить е х — ! = о. 843.
Найти последовательные целые числа, мескду которыми содержитсп выражение 6(1 — 1,01 ~оо). Найти пределы 844. 1) 1пп 1 + —; 2) 1пп (Зх — 2т~ х, с ' — 1 845. Ц 1пп; 2) !пп хтсо 1 3х+ 1/ ' х-то:с 846. !йп (ып2х)" (цоложить соь22х = и). сас 2х. х — тх/С 847. 1) 1пп; 2) 1пп и[!в и — 1п (и+ 2)~. с-то 1п (1+ хт) ' х-сж ГЛВВН 6 ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ( (ж г (ди) — Х(а) (ху 1пп ' = 1пп (те-ло (хи пх-(о схж Еспи этот про,(с(! ((оке'(аьил, '(о функция Г1х) новь(ваигся с(овл(11грсн" парус.,((о(! в точке лд прц этом она ока;лываегн(г! обязате(шно и яш(рерыеяой в этой точке.
й'.ели же праде.! (1) равен +ос (из(л — со), то будем говорить, что фуш(цип /'(а) имеет в точке (с бескоке о(ую прооаводаужэ однако прп дополните!о,ном условии, что функция в этой точке непрерывна. (1у гфт) Производная обозначается у' иди (о1т), ллди ', иди . Находи' дг ждение производной называется дну(4(срсноороаои((е.,а функции.
2'. Основные форму.(ы дифференцирования: Ц ~с)' = О; 2) (и")' = пг" л: 3) (сп)' = си'( 4) 1о+ ц)' = и'+ ю', 5) 1ил!)' = и'о+ ио', ) (-") ="',,""; у) Ьи)'=,'.: 8) 1вш а)' = сов а; 9) 1сов а)' = — вш и: 1 1О) 1!й г)' =; 11) 1с(8 л!)' =— сов,с вш и сх у 1пп ' найти и — го (д:с =ил; 3) 848. Вычислением 1) у=ил(: 2) у производные функций: у = ь~7", 4) у = в)(л и; 1 7) =,ЮГ+2„"., 11) 1 у = тв' 1 У= 8 5)у= —: б)у 1 ! 9) у= —; 10) у 12) д = ~/1+,т~.
8) у=ббж; 8 1. Производные алгебраических и тригонометрических функций 1а. Определения. Нроизсодной функции у .= 1(и) в точке и называется прсцсз Найти цо фориулач производные функций: хз, з, ух+с у = — — 2х + 4,т — о; 2) у = 3 ' и 849. 1) 2)у= 1 — —" ха 2,дз 850.Ц у= — ' — " +х; 3 2) у = (у'и — зсх) 851. 1) у = х+ 2с,Сх: 1 1 2) д= — + х хи хз' 10 ,.з ' 1 1 т+ —— хз "тз' 852. 1) 2) у = Зх — От/х. 853. 1) у— 2) у= 854.
1) у = О~сх — 4фт; 6 6 = зт- зхх 855. 1) 856. 1) 2хз 3хз 2) у =х — 16т,. у=х — япх; 2) у = хз з1ц 858. 1) у = 2 859. 1) у = 2) у= 860. 1) !'(з:) = .'; 2) д(х) = 1 — ыпх' сх+1 12 861. 1) з = —,. 2 2) х = а(! — яп 6). з 862. У(х) =, — хи+ х: вычислить ~'(0), ~'(1), ~'( — 1). 3 1 863. ! !х) = хи —,; вычислить 1"'(2) — )ч( — 2). 2хв (Л вЂ” 1)' 864. )'(х) =; ньсчссслить О, О! 1'(О, 01).
857. 1) у = х~ созх; Найти производные. функций: 865 Ц д 1сс дхз)з, 2) у [1+ зст)и 1 ! 3 2 866.1) д= —; 2) д= 10;ч 4х4 ' зсх 5 1. 11роизпоциые алгебраических и тритоиометри чеекик функций 109 !1т. 6. Нроизиоднаи и дифференциал 110 867. 1) у = х+япх; 868. 1) у = ха ып х; 2) у = х+ стих. 2) у =:гтСйх. 869. 1) у = ь)х сов х: 2) и = — — —. 2 2 1' 2 1 х~ — 1 870.Ц д=х — — —; 2) у= х, Зхз' ха+ 1' 871.
1) д = 1+,; 2) у =, '"". 872. /'(х)) = 6'хт; найти у'( — 6), 873. 1(х) =; найти ~'(О), ~'(2) и )"'( — 2). 2х — 1' 32. Производная сложной функции о у 41)4у и')г — — — или у = 1'!и) и . 4)х 4!и йх Формулы прсцыдупгего параграфа примут теперь об)пий вид: 1) (44")'= ии" 'и') 2) (в!пи)' = соь34 и'1 и' 3) (гое и)' = — в)п и и'1 4) (,/иг)' = 2,,~и' 4 и4 5) ~!К и)' = з , '6) (с!й и)' =— совз и вп) и Найти производные функций: 874. 1) у = ып 6тц 2) у = гов(о — бх). 875. Ц у = яп — + гов —: 2) у = 6 глю —.
2 2' ' 3 838. 4) 8 = (1 — 8 ); 3) 8 = ет4 43 .) ! 877. 1) у =; 2) у = т4'1 — хт; 3) у = ~сов 4х, !1 — ха)а 838.8= 'гп — г 3.. 838.8= ~ ..=(4 ) 880.1) у=ып х; 2) у=совах; 3) у=веслх. 881. у = ып' х+ сов' х. 882. у = тйг)х — 3!йх 4-3х. 883. 8 — 4)4 ' .. 884. 8 = Если у = Д~и), а и = р(х)8 то у наЗывается функцией ого функции или с.)ожной функцией от х.
Тогда 'З 3. Кас)атель)зая и норм ал4, к плоской кривой 111 886 2=з449а2'— 1 887. у = с18~ —. 3 880. у = (1 + сов йх) ь з1п х соз х „«2х — 1 889. у = х ~)Гхз — 1.. 888. у = 891. з = асокз —. и 890. у = 892. 1) г = и~сов 2)р; 2) г = 893. д2) — '2 4 4 — 2 4 ' 'г4~ /'()тг)2), ~'()г), )' 894..!) ) 44 4 2З ", 8 Г)4) Найти произвоциые функций: 899. ° = 4аев 4 ..
396. 8= з4— З24. 6 . 897. у = в)п х+ сок~ х. 898. у = 2 899. 1) у = 18:с+ — 118зх+ — 1цьх 3 2) у = в)из за 901. з = — — вш —. 2 2 1+ ьйп 2з 900. у = 1 — з1п 2х ' 902. г = созз — — —, . 903. у = ,2 ' )с 984. 4)2) —. Т4 . Е „,8си )'( ) 83.
Касательнан и нормаль к плоской кривой Число А иа,з)виагот иногда коьлоном кривой и точке 4)хо, ус). Уравнение иосоте,.бм)оа' в точке РХ)хо) ус) па кривой )риса 20): )! — Уо = к1х — з'о). )2) Угловой козффипиеит касательной к кривой у = з)х) в точке кривой 1хг): Уо) роь).н зиочсн))ю ирооз) одно)2 функции З'1х) в точке хо. )4=18)р=Х()со) =у 48в6- (1) Ел. б. Про»лол»од»лая и дифференниал уравнение корьчо,ла: 1 'у —;уо = — — (х — хо), у !8) где Й определяется формулой (1).
Отрезки 2 и! = пес»8»р, ЛХ = уе байр (р»лс. 28) называются соответственно подкосотслькоп и шлуноржаиью, а длины отрезков ЫТ и МГУ длинами касательной и нор- 905. Найти нак:п»ны параболы = хт в гочках х = х2. 906. Написать уравнение касательной и нормали к параболе у = дл, — — 4 — хд в точке пеРесечениЯ ее с дед ~ЖОаоХф (при х > О) и построить параболу, касательную и нормаль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
