Минорский - Высшая математика (1108568), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Найти наименьшие круговьп. сечения гиперболоида ит уз 3е~ —,+ — — . =1. 25 9 35 585. Написать уравнения прямолинейных образуюших гиперт а болического парабалоида — — = йл, проходящих через точку 16 9 (4:, 3; О). Глава 4 ВЫСШАЯ АЛГЕБРА 2 1. Определители !'. Определители. Олрсдслитележ второго порядка называ- аг ется число, обозначаемое символом и опредсмясмое равенством оэ 62 аг бг еэ 2 = аубэ — сэбы Олредслатслск третьеео порядка называется число, обозначаемое ау бт сг символом аэ бэ сэ и опредсляемое: равенством аз бз сз а 6 с оэ 6 с =а э 'э — 6 э 'э +г э э 12) у г э 6 с о с а 6 аз бз сз бз сз ез гз пз бз Опрсдслглтели второго порядка, входящие в правую часть равенства (2), получаются из данного определителя третьего порядка вычеркиванием одной строки и одного столбца и называются его жияорамп.
Формула (2) называется формулой разложения определителя третьего порядка по элементам первой строки. 2'.Свойства определителей: 1. Величина определителя не изменится от замены строк столбцами. И. Величина определителя от перестановки двух любых параллельныхх его рядов меняет знак на обратный. Из свойств 1 и П следует, что определитель можно разложить по зле*ментаьг лнюого ряда, .так как этот ряд можно сделать первой строкой. Ш. Определитель с двумя одинаковыми параллельными рядами равен нулю.
1 ту Общий множитель элементов одного ряда ъюжно вынести за знак определителя. ь'. Величина определителя не изменится, если к влементам одного ряда прибавить элементы паралле;нного ря.щ, умножешгые на произвольное одинаковое чис,то. Например: а1 бт сэ аг + гвсг бг + пег сг пэ 62 гэ: пэ + гпсэ 62 + псэ сэ оз бз сз аз+глез ба+поз сз 79 б !. Опредглггтсли С помощью зтого свойства можно в любом ряду определителя третьего порядка гдглать два нуля, чом упростится раз.соженио определиталя по а;юментам зтого ряда. 3'.
11 лощадь треугольника с вершинами ЛСзс, УГ), В(лг, Уг), с ( гз: 'Уз): 1 л:ж л2 у2 зз Уз Вычислить опрвдолитолн: 3 — 2 2 3 586. 4 6 . 587 6 -10 3 — 2 588. 4 г . УГа — 1 а .„са Б!и о' соа Π— гази з)п сг 589. всп е оозг сг з)п~,й воз~,б 591. Вычислить определители, разлогьив их по злементам первого столбца: 2 3 4 и 1 а 592. 5 -2 1, 595, -1 а 1, 1 2 3 и — 1 а Вычислить определите:ш, разложив их по клементам того ряда, который подержит наибольшее число ссудой: 1 Ь 1 — т ! и 594.
О Ь О. 595. Π— л — ! Ь О вЂ” Ь .г 1 — и Ъсгростгсть и вычислить оссредолители: 1 2 597. 3 — ! — 12 а — а а 590 000. юпи ! 001. з!пд 1 О 1 12 6 — 4 6 4 ! 3 2 8 1 + соки 1 — ыпи 1 2 ооь 2 и 2 23 2 коя 2 1 !+сйпи 1 1+ сок сг 1 1 ,г 2 22 з 1 5 7 — 15 Гл.4. Высшая алгебра 80 602. Найти площадь треугольника с всршинамн ,4(2; 3), 11(4; — 1) и С16: 5). 603.
Ледах кккл на одной прямой кочки А!1; 3), кк(2; 4) и С(3: 5)? 604. Написать с помоны ю определителя третьего порядка уравнение прямой, проходящей через точки: 1) (хк, ук) и (хг, уг): 2) (2; 3) и ( — 1; 5). Упростить и вычислить определители: 1 ш+а та — а 2 . 606 и,+а 2и — а 2 а — а гк и а а.т, а +хг 1 607.
ау аг + уг 1 ах аз+ зг 1 У к а з ание. В задаче 607 вынести а за знак определителя, затем из первой и второй строк вычесть третью и вынести (х — -) и (ку — -) за знак определителя. 609. Доказать,что Ук 2 ~сг Уг 610. Найти х из уравнений: хг 3 2 =О; 2) х — ! 1 О ! 4 =0 и проверить подгтановкой корней в определитель. 3 2. Системы линейных уравнений 1'. Система двух линейных уравнений с дву мя нси з- всстными акх+ угу = ск, агх + Угу сг 2 — 3 605. 6 — 6 2 — 1 хг 4 9 х, 2 3 1 ! ! ~хк+хг 2 ~ хк — г:г 2 хк гйп Зск сов Згк ! 608.
вш 2о соя 2о 1 впк а сова 1 Уг + Уг 2 Ук — Уг 2 Ук 1 з 2. Снстеагы лииеияых уравнений имеет решение (2) при условии, что определитель системы Гз =- 6 у'- О. аг 6г ог г 2'. Система дву х однородных линейных уравнений с грелся неизвестными огз Е 6гу+ сг» = О, охи+ 6гу+ сг» = 0 имеет решения, опрсделясмгле формулами где й произвольное число. 3'.
Система трех однородных линейных уравнений с тремя нсизвестпыми агл+ 6гу+ сг» = О, азе+ 6гу+ сг — — О. озе+ 6зу+ сз- = 0 имеет отличные от 0 решения, если определитель системы аг 6г сг Ь= ог 6г сг =О, аз 6з сз и обратно. 4'. С, ис тем а трех линейных уравнений с двумя неи з- аветными огт+ 6гу = сг, агт + 6гу сг озт+ 6зу = сз (б) сг сг с-'з = 0 и система нс содержит попарно ы х у раз не ни й с тремя неи з- + сг- = суг, +сг» = А + сз» = пз (7] сг бг ~г 6г аг 6г ог 6г 6г соо.ассшяа, когда ст = ог 6г оз 6з противоречивых уравпюий.
.'~' Си~тема трех ти»ейп вестнычи ага+ 61у огз+ 6гу озз+ 6зу аг сг ог сг аг 61 аг 6г Гл.4. Высшая а.тгсбра при условии, что определитель системы ал Ьг сл Л= аг Ьг сг фО, аз Ьз сз имеет следующее единственное решение: 11 л1и х:, д: Ь' (8) где 111 Ьг сг а1 дл чл: д2 Ь2 с2, сии — а2 с!2 дз Ьз сз аз дз сл) ал Ьг дг сг Л, = слг Ьг с1г сз аз Ьз "з Репшть с помсцпькл определителей системы уравнений: 611. ) Зх+ 2у ! 4х — 5у= (5х+ 27/ = ' ) 7х+ 1у = ах — Зу = 1, ах — 2у = 2.
тх — пу = (т — п)г, 2х — у = п (при т ~ 2п). -'1О. В' 614. Решить системы уравнений: =.— 2=0., 4х+5 = О, Зх+4 = О. ( 22 — Зу+ 615. ~ х+5у— 1х+ у— ( 22 — 1у+ 3 616. х — 2у + 4д 3:с — у+ 5- (Зт+2у— 618. 2т. — у+ Зх 1г + Зу — 42 =1, =3, = 2. =О 617 (2х — ау+ 22 = О. х+ 4д — 32.= О.
=О, =О, б'. Не совмостггые и поопредслснныс системы. Обозпа- пгм левые части уравнений (7) через Хг, Хг и Хз. Пусть опредслитель системы (7) сх = О. При атом возможны два ирсщположения. 1. Олемецты двух строк определителя Л пропорииоиа;,сьиы, например с, т. 1огда Хг: тЛ1 и: аг Ьг сг Ц если дг ф тдг, то система иссовмсстио (первые два уравнения иротиоорсчиоы): 2) если дг = сссдг, то ситисми исоссрссдслсслииа (сссск первое и трс.тьс уравнения нс противоречивы).
Н. В определителе Л нет строк с пропорциональными злсхгецтахги. Тогда существуют отли пгыс от О числа т и и такпс, при которых тХ1 + + пХ2 = .Х'з, и1 !) если 111дг + пдг ф дз, то сисспсма касоа.исстии, 2) осли тдг+ пдг = дз, то система иеопРедслсиии. Число сп и и можно подобрать или жс найти их из уравнений агт + + а2и: аз, Ь1ос + Ь2и: Ьз, с1пс + с2п: сз. 'д 3.
Комплексные числа Зл = 4 бс = 3 с=1 Зх= 4, = 3,' 2х = 10. 623. Пересекаются ли в одной точке прямые: 1) 2х — Зу =. 6, Зх+ у = 9. х+ 4у = 3; 2) 2х — Зу = 6, х + 2у = 4, х — 5у = 57 Выполнить в обоих случаях построение. Решить системы линейных (2х — у+ х= 2, 624. Зх + 2у+ 2х = — 2, х — 2у+ х= 1.
— Зх = о, — с=1, +4х= 6. +2 =О, — 5-=0., + -=О. (Зх+2у+2 =О, 5х + 2у+ Зд — О. ( 2х — у+ Зд = Ог 628. ~ т. + 2у — 5- = О, Зх+ у — 2- = О. +с= 4, — 3, +и=11. 3 3. Комплексные числа 1'. О яре деления. Комплсксяьг,к число.и нааывается выраагение вида т, + уг, в котором х и у — вещественные числа, а г некоторый символ, если при етом приняты условия: 1) х+ Ог = х, О+ уг' = уг и 1г' = г, ( — Цг = — г; 2) х, + угг = хг + угг тогда и тольао тогда, когда х = хг и у = уг, 3) ( +уг)+(хг+уг ) = (:+г г)+(у+уг)г; 4) (х+ гуг)(хг + угг) = (тгг — гугуг) + (суг + хгу)г.
Из усгговкй 1) н 4) гголучаются стггпснгг чисгга г: г = — 1, г = — г, г =1, г =гит д. (1) Комплексное число г: + грг,, в кОТ01гОлг У т- О, называггтсп мйи.иы„к числом. Число г называется мнимой сггггяггцсй. 2'. (ействигг над комплексными числами. Сложение, вычитание, умнолгепие и возведение в степеш комплексных чисел можно ипголнять по правилам зтих действий над многочлепами с заменой степеней числа г по формулам (1). !1еггепис комплексных чисе г и извлечение корня из комплщгсного числа опреде.ппотся как,гействия обратные.
( Зх + 2у — - = О, 619. 2т. — у+ Зх = О, х+ у — а=О. х+2у+ 3- = 4, 621. 2:с+ у — х = 3, Зх + Зу+ 2л = 7. ( .г+ 2у+ 629. 2х + 4у+ Зх+ у— (;с+ 2у+ 622. 2х + у— Зх+ Зу+ уравнений: ( т+2у 625. 2х — у х+Зу (Зх — у 627. ~ 2.с+ Зу х+ у ( т.— 2у 629. 2х + Зу 4х — у Гл.4. Высшая а.тгебра 3'. Тригонометрическая форма комплексного числа. Бомплексяос число и+ус опрсдсслястся парой веществе*нных чисел (л, у) и поэтому изображается точкой Я! (л: у) плоскости или ее радиус-вектором г = Ойсс [см.
рис. 12). Длина этого вектора с = ~/Р-с- уэ называется модулсэс комплексного числа. а угол его ср с осью ООж называется аргументом комплексного числа. Так как л = г сов уь у = геша, то (2) л+ ус = г(сов ср+ с вш тг). 4'. Действия иад комплексными числами и тригонометрической форме: г(сов р + с вш сэ) гс (сов,рс + с вш [ггс) [сов 1сс + сог) + 7 всп (са + сиг)], (3) и!соь сэ + с в!и са) и [сов ( р — рг) + с, в!и (ср — Всг)], [4) гг!совюэ + сюп уг) гг [с [сог р + ! гбп !э)] = г" )сов и р+ с юп ссвэ), Об) со+ 2Ьг со+ 21л'! сгл сс' '»гС вЂ” ~ [ + !в!гс ~, [6) сь и где 1 = О, 1, 2, ..., и — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
