Минорский - Высшая математика (1108568), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Доказать, гго !1п1 с«, = и. н-«оо 733. На продала»енин отрезка ЛВ = а справа взята точка 114 «4М на раССтОянии ттЛХ = Х. Найти !ПП 3 3. Свойства проделав 97 3 3. Свойства пределов. О оо Раскрытие неопределенностей вида — и— О оо Найти пределы: л2 — 4л+1, 1+аш2л 734. !) 1пп,; 2) !пп — 2л+ ! ' е-чх74 ! — соа4л т — 4 2 735. 11щ (ггоясггить таблнней). в — «2 Х вЂ” 2 т — 2 т2 — 9 736. 1пп, . 737. 1пп .-«2 л2 — Зл+ 2 з 22 Указание.
Реп«и«п задачу 736 двумя способами: !) полагая 2 + о; 2) разлагая знаменатель на множители. ьзп ж — сов т 73В. 1пп — «74 сов 2т, ф~л — ж 741. 1!пг в — «а т — а 738. 1пп !Пл е-«х ып 2л 740. 1пп .-«о г! +Вж — ! п«г х.гл — 1 У копание. В задаче + п«х = 1~. ~ф! + шт — 1 743.
11ш е — «О ж 742 положить в = !г', а в за,гочс 7'1:«! + Т+: — 'Г::: 744. 1'пп ю — «о :г , ' ! — ьд л — ьг ! + 1д т 745. !!гп х-«х '' гж 1'. Предел постоянной равен самой постоянной. 20, 1гш !и+ г,): 1г!по+ 1!ш ьз если !ппо и 1ппо существугот. ; ', Пгп!ае) =1ппи 'шпо, о 11пг а 4', 1пп — =, если !пни и !пи о гугггггствук~т и !пи о ф О. г 1ппо б'. Есгш для ясах значений в в некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, л = а, функ««««и 71л) и за(л) равны я одна из них иъгеет предел кри т — «а,, то и вторая имеет тот же предел.
Это свойство применяется при раскрытиги неопределеоносзей нида О оо лх — ах — и —. Например, = в+а при л«ооых т, кроме л = о. По свой- О оо в — а — а ,,2 2 ству 5' 1пп =. 1пп (л + а) =- 2а. е †«а л — а в-«а Гл. 5. Ввелснис в анализ — 1 . 2 Зх — 1 хз+ 1 гссх — 6х Зх+ ! тсс2из+ 1 Т48. 1ип 750. !пи 747. 11ш Т49. 1ип х-гж Зи 1 — 2п 1+ 2+ 3+... + и 752. 1ип 751. 1пп 2и — 1 Найти пределы: Зх+6 9 — хг з . 754.
1!нг х — г — 2 ха+8 ' х-~з,/3т, — 3' у2 х 2 с,с! + сое т, з х — г — 1 та+1 -г ао а!п х 2 За+ 1 757. 11ш . 758. !ип х — г 2х2+Зх+ ! ~ IЗпг+1 с' 5тз 750. !пп ~, + 2~1 х — г~ 1 — х 1+ 3+ 5+... + !2и — 1) 760. 1шг а-гсо ! + 2+ 3+... + гг 2 — гсх — 3 2 х — гт хг — 41) а!п 2х — соа 2х, — 1 762. 1ип — г /а созх — ыпх Н1Н 3 4.
Предел отношения ири -+ О Гели Тто:г о. вьг1гаагегс и 1гадианал, "со ашо йш =1; -со сг О !!ш = 1. — соашо 2х — 1 5Х' — с х 746. 1) !пи,; 2) 1пп х-г~ Зол — 4Х, ' х — г:о 1 — 2.с Указание. ГЗснвио решить авуча способами: 1) разделив чгссгситель и ннаиенатсль на .с в высшей стеншш; 2) положив х = 1ссо. 5 5. Нсопрсдслснностн вида ~ — со н 0 со !ах, япа (х/2), 1 — сов2т.
765. 1пп . 766. 1пп, . 767. 1пп е — го х л — го х' е — го хякх яп Зх, в!к (х + 6) — вш (х — 6) 768. 11ш . 769. 1гпг х — >о, 'х + 2 —;/2 ь — го 6 агс18 х, агсяп (! — 2т) 770. 1) 1шг; 2) !пп х-го х е-ь ~ !т 4:гх — 1 Указание. Пололгнть в прнмсрс 1) агссйх = сп а в примере 2) агсвш (! — 2х) = о. 1нх — яп х 772. 11ш х-го хз 1 — сов х 771. 1пп х — го хз Пайтн пределы: :г яп 4х 773. 1пп 774. 1пп а — го яп Зх а ~ о г ~ х + 1 1 .т †.
2г 775. 1пп . 776. Пп1 а — г — О х — го вес х — 1 1 — сов шх 1 — сов 2х+ 18 т 2 777. !пп, . 778. !1п1 т-го хх х-ю хяпх Ь!и (х — 2) г х 1 779. !пп ~ + 2 ~г!х ~! ~ (положить х = 2+ сг). сов (х + 6) — сов (х — 6), агсяп (х + 2) 780. 1) 1пп: 2) 11ш ь-ю 6 ' ч-з ха+ 2х яп х 781. 11ш '-,Лгнжт— 3 5.Неопределенности вида оо — оо и О .оо Найтн пределы: Г 1 2 782. !пп ~ьгхз+;3х — т). 783.
1пп ~ —, 1. е — гЧ-сс е-~1 ~,т — 1 хх — 1/ Найти пределы: в1п 4х яп (х/3) 763. !пп . 764. 1шг — го х — ю х У казанке. В задаче 763 умножглть числитель и знаменатель па 4 (нлн положить 4х = сг). Гл. о. Введение в анализ 100 78х н 1хз + /+1 Х 1. ( 1 12 785. 11ш х-12 1,Х вЂ” 2 ХЗ вЂ” 8 ( 1 1 786. !1ш х-+о 1 нц1 х 4 еш (х/2) и — 1ж 1+3+...+ (2п — 1) ! 787. 1пп — и! .
и+3 788. 11ш (1 — х)1и —:1 !положить х = 1 — а). х+1' 2 789. !ш1 ~ь/22 + ! — ь/х2 — 4х). ( ! 4 796. 11п1 + :х-1 — 2 1,х+ 2 22 — 4 Найти пределы: 791. !пп (х — т/х~ — х+ 1). 792 !1п1 1т, 122 н2) х — 1+дх / в1пх 793. 111п ~ , — 1~2х/). х+х/2 СОН Х /1+ 2+ 3+...+ и 11'1 794. 1ш1 — и+2 2) 795. !пп (! — —,)182 (полол1ить т, = —, +о). х-1х/2 ' 2/ 2 798.
!ип (~х~+ ах — >/хз — ах). 3 6. Смешанные примеры на вычисление пределов Найти пределы: х/х + 4 — 2, 1 + х е!и х — сов 2х 796. 1) 1пп,,: 2) !пп х-1О ЫП 5Х х-+О И1П Х ф'х — 1 х 797. 1) 11п1,; 2) !пп х:,1 З/Х .-+о ~/Т+ 2х — 1 т З7. Сравнение бесконечно малых !О! лг 1 — 2г г'Т 799.Ц Пш ~, +2 'у) ЯгТ + —,~ —,— 11 з+1 800. Ц 1пп — ь — 1 в!и (х+ Ц' 1 — сов х 801. Ц 1шт л — го х(тггТ+ .г — Ц в!и ! ! — х) 802. Т) 1пп к-11 чти — 1 Пх4 803. Ц 1пп 4 2 ~ - !1 — 2х4 гтт 2: 804. Ц !пп :-4 /э+о тЯ вЂ” чгйх Х вЂ” В1П Х г к — го~ 1 — бх :г~+ х — 2 2) !пп — — ха+ 2т, соь !хгг2) 2) !пп .г-Иг Х вЂ” лт ! — 10" 2) 1пп -г+оь 1 + 10"41 3 — 10п 2) 1пп п-г-оь 2+ !О"41 ,(. +Ц з, .
8 7. Сравнение бесконечно малых 1'. !! ироде,лся и я. Пусть при х — ь а функции о(х) и Т!Тгх) яв.ппотся бесконечно малыми. Тогда: д 1. Если 1пп — = О, то,д называется бесконечно лолой еьши1его порядка относительно и. 3 П. Если 1пп = к! !конечен и отличен от О), то д называется л-гл Ог' беско1лечлло ллолглл! п-го поряггки относительно а. д Т!1 Гслк !пп — = Т, то 3 и о называ1отся экеиеалептяылт бегкоя-ла а печно .пильы1и.
Пъвивале1гтос и, записывается так: д о. 2'. Свойства эквивалентных бесконечно малых: Ц Т'азпогть двух эквиаалгчжных бесконечно малых есть бесконс шо малая Вьлсше1ю порядяа атно('игольно каждой из них. 2) Если из суммы нескольких бесконечно малых разных порядков отбросглть боскопсчно малые высших порядков, то оставшаяся часть, называеллая главной, эквивалентна всей сумме.
Из первого свойства следугт, что эквивалентные бесконечно малые могут сделатьгя приближенно равными со сколь угодно малой относительной погрешностью. Поэтому знак мы применяем как для обозначения эквивалентности бесконечно малых, так и для записи приближенного равенства их достаточно малых значений. 805.
Определить порядки бесконечно малых: !) ! — совх; 2) ТП;г — ч!и х относительно бесконечно малой х. Показать на чертеже, что прп уменьшении угла х вдвое величина Т вЂ” сов х уменьшаетгя приблизительно в четыре раза, а величина !Пх — влп х приблизительно в восемь раз. 102 Гл.о. Введение в анализ 806. Определить порндкг» оесконсчно малых: П2~ .—: ч»зё ~чч з,т»Р — 1 относительно бесконечно малой,с. 807. Определить порядок малости «стрелы» кругового сегмента относительно бесконечно малой дуги сегмента.
808. Доказать, что при х » О: 1 Ц зштх. п~х; 2) !цг»»х гпх: 3) т»УТ+ з: — 1 хх, 3 809. Еоэффициепт обьемного расширения тела принимается приближенно равным утроенному коэффициенту линейного расширения. На эквивалентности каких бесконечно ыалых это основано.' ,) г!» 810. По теореме!нп '— =!нп — ', если а аг. 8,3» и один из ст аг' пределон существует, найти пределы: з!и 5х, зш ох+ х, Зх+ ып 1) !пк,:, 2) !!и»; 3) йп» -»озш 2х ' . -»о !пах ' .
»о зш 2х — хз 811. Капля воды испаряется так, что ее радиус стремится к ну.по. Определить порядки бесконечно малых поверхности и обьема капли относительно ое радиуса. 812. Определить порядки бесконечно малых: 1) ь'1+ х' — 1: 2) вш 2х — 2зш:с: 3) 1 — 2 сов 1х+ — ! относительно бесконечно малой х. 813. Доказать, что при х †О: 1) асс!8 тх,и т:с: ! 2) тЛ+ х — 1 и — х; 3) 1 — сонэ х 1, 5 п3пэ х.
2 3 8. Непрерывность функции 1'. О про де лснис. Функц»»я У!х) называется нспрсрыоней при х = о, если она определена в некоторой окрестности а и !шт 1 !х) = 1!а). Ото определение содержит такие четыре условия непрерывности: !) у!х) до.окна быть определена в некоторой окрестности о: 2) дошкны сушествовать конечные пределы !пп УО») и !ш» У!х); ч-»а-е х-»а+о 3) эти пределы (слсза и справа) должны бьггь одинаковыми; 1) эти пределы до;овны быть равны У!а). Н13 З 8. Непрерывность функшпг Функция называется вспрсрыаиоб яа отрезке 1вг, вт], сели она непрерывна в каждой точке внутри отрезка.
а на его грашщах 1пп г" (л) = ,+о — .~гвг) и 1ип .~(1') г ~,г2)' Злато.*нгарные функции: степенная в", показательная а ', логарифмическая, тригонометрические и им обратныс, а также их сумма, произведение, частное непрерывны при всяком л, при котором опи имеют определенное значение.
2'. Разрывы функции. Функция имеет разрыо при .г =- а, если она определена слева и гправа от о, но в точке а нс соблюдено хотя бы одно из усгювий непрерывности. Различают лва основных вида разрыва. 1) Роорыо 1 роди когда существуют конечные пределы 1цп гб а) а->а-О и 1пп /1а), т. е. кот,га выло,1нено второе ус.говне непрерывности и не г-~а+О выполнены остальные (или хотя бы одно из них). :с — о Напри гер, функция у =,, равная — 1 при в ( а и +1 при ол — а~ л > О, имеет ври г = а разрыв 1 рода (рис. 24), так как существуют пределы 1цп у = — 1 и 1цп у = +1, цо оти прсдслы нс равны. в-га-О в-гаво 2) Разгвщ Н родо ко1,1а 1ип г"1л) слева или справа равен жх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
