Минорский - Высшая математика (1108568), страница 13
Текст из файла (страница 13)
3. Ана.тнтичссная геометрия в пространстве 2'. Параметрические уравнения прямой получим, приравняв ка1кдое из откояк ний (1) параметру й в=т!+а, у=И+6, с=р!+с. (2) 3'. Уравнения прямой, проходящей через дас точки: т — '! У вЂ” У! (3) в2 з1 У2 М 2 1 4'. Общие уравнения прямой: Аз+ Ву+ Са + с1 = О, А1а + В1У + С! ... + 01 = О. (4) Рнс.
21 5'. У равнения прямой в проекциях получим, иск1иочив из об1пих уравнений (!) один раз у, крутой рзз т: 11 = 1о + а, у = о= + 6. (о) Уравнения (о) монна записать в какани 1ссяов форме: з — а у — 6 т — 0 ш а ! 488. Найти следы прямых: з — 3 у — 2 г — 3 1) в = '+ 5, у = 4 — 2 и 2) 1 2 1 на плоскостях зОу и лОа и построить прямые.
У к а з а н и е. Положить в уравнениях прямой: 1) " = 0; 2) у = О. 489. Уравнения прямой:с+ 2у+ 3- — 13 = О, 3з+ у+4 — 14 = = О написать: 1) в проекциях; 2) в канонической форме. Найти следы прямой на координатных плоскостях, построить прямую и ее проекции. 490. Написать уравнения прямой, проходящей через точку А(4; 3; О) и параллельной вектору Р( — 1; 1; 1). Найти след прямой на яш1скоссти УОз и построить прямую. 491. Построить прямую т = 4, у = 3 и найти ее направляющий вектор. 492. Построить прямые: 1) д = 3, = 2; 2) д = 2, =. = з+!; 3) з = 4, в = у и определить их направляющие векторы.
493. Написать уравненпя прямой, проходящей через точки А( — 1; 2; 3) и В(2; 6; — 2), и найти ее направляющие косинусы. 494. Построить прямую, цроходяшу1о через точки А(2: — 1; 3) я Л(2: 3: 3), и нависать ее уравнения. 67 з 3. Уравнения прямой 495. Написать уравнения траектории точки >1Х(х; у; х), кото- рая. выйдя из точки Л(4; — 3; !), движется со скоростью г(2; 3; 11>.
496. Написать параметрические уравнения прямой: 1) 7>Походя>т>ей через точку ( — 2; 1; — 1) и параллельной вектору Р(1; — 2; 3); 2) проходящей через точки Л13; — 1; 4) и Н(1: 1; 2). 497. Написать уравнения прямой, прохадншей через точку (п) 5) с): 1) параллельно оси О; 2) перпендикуднрно к оси О 498. Найти угол прямой х = 2= — 1, у = — 2 + ! с прямой, проходящей через начало координат н через точку (1; — 1; — 1). 499. Найти угол между прямыми::г, — у+ — 4 = О, 2х+ у— — 2х+ 5 = 0 и х + у+ х — 4 = О, 2т+ Зу — - — 6 = О.
У к в з а н и е. Направляющий вектор каждой из прямых можно опре- делить как векторное произведение нормальных векторов плоскостей !Р = М х Х7). х у 500. Показать, что прямая — = — = — перпендикулярна к 2 3 1 прямой,с = ' + 1, у = 1 —., 501. НалиеатЬ ураВнсния Прял>ай) ПраХадищсй чсрЕЗ тОчКу ( — 4; 3: 0) и параллельной прямой х — 2у+ х = 4, 2х+ у — х = О.
502. НаяиеатЬ ураВнЕния ПЕрпЕндиКуЛяра, Ону>цсннаГО иЗ та >ни (2; — 3; 4) на ось Оз. У к аз анис. !'!скамвя прямая проходит еще через точку (О: О: 4). х+1 503. Найти расстояние от точки 71Х12; — 1 3) до прямой ) у+2 х — ! 4 Указание. '1ачкв Л( — 1; — 2; 1) лежит нв прямой; Р(3; 4; 5) нвпрвеля>ощпй вектор прямей. '1огдв Л54~Р х М~ ~Р х Л31! 77 = А>1Хвш о Р Л.И Р 504. Найти расстояние между параллельными прямыми х — 2 у+1 «+3 х — 1 у — 1 я+1 1 2 2 и ! 2 2 х — 4 >у — 2 505. Найти следы прямой = = на координат- 1 2 — 2 пых плоскостях и построить пранук>. 506. Уравнения прямой 2т.
+ у + 8х — 16 = О, х — 2у — я+ 2 = = 0 написать: 1) в проев>>иях; 2) в канонической форме. Найти следы прямой на координатных плоскостях, постро>лть прямую >л ее проекпии. 68 Гл. 3. Анв.тнтичсская геометрия в пространстве 507. Написать уравнении примой, прохолншей через точку А(0; — 4; 0) и параллельной вектору Р(1; 2; 31, найти след прямой па плоскости тО- и построить прямуло. 508. Построллть прямую х = 3, х = 5 и найти ее наврав.ппоший вектор. 509. Найти направляющий вектор прямой х+у — = = О, у = х и углы прямой с осями координат (см.
указание к зада и 409). 510. Написать уравнения перпендикуляра, опушенного из точки (2; — 3; 4) па ось Оу. 511. Найти угол между прямыъщ 2х — у — 7 = О, 2х — х+ 5 = 0 и Зх — йу+ 8 = О, х = Зх. 512. Написать уравнения прямой, проходяплей через точку ( — 1; 2: — 2) и параллельной прямой х — у = 2, у = 2 + 1. 518. Найти расстояние от точки ЛХ(3; О; 4) ло прямой у = 2х + + 1, =.
= 2х (см..задачу 503). 84. Прямая и плоскость х — а у — 6 л — с 1'. У ол между прямой н плоспл о р костью Ах+Ву+Се+72= 0: М Р! )Агсс+ Вв+ Ср! жпе = ХР вУР Условие их оаралле,а ности (1Ч1 ~ Р): Ат+ Во+с р= О. Условие их псрпендслйу.слрносвт (М 2. Р): (2) Л В С лв и р (3) а — а, 6 — 6л с — сл т и р =0 (4) псл а, рл 514. Найти угол прямой у = Зх — 1, 2х = — Зх+2 с плоскостью 2х+у+х — 4=0. 2'.
Точка пересечения прямой и плоскости. Написав параметрические уравпешля прямей х = тС + а, у = о + 6, = рС + сч подставим в уравнение плоскости Ах + Вд+ Сг+ Л = 0 вместо х, у, их выРажеппа чеРез а Найдем Се, а затем хе, Уе, ее кооРПинаты точки пересечения.
,'1'. Условие расположения лв у х прямых в одной плослсестп: 5 4. Прямая и плоскость 69 х+1 у+1 = — 3 515. Показать, что прямая = ' =, параллельна 2 — 1 3 х+! у+1 я+3 плоскости 2х + у — я = О, а прямая = ' = лежит 2 — 1 3 в Этой плоскости. 516. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку ( — 1; 2: — 3) и перпендикулярной к прямой,т = 2, у — - = 1. 517. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую х — 2 у — 3 х+! 1 2 3 и точку (3: 4; О). 518.
Написать уравяенне плоскости, проходящей через прямую ,г — 1;у+1 я+ 2 2 2 2 н перпендикулярной к плоскости 2х+Зу— — - = 4. 519. Написать уравнение плоскости, проходящей через парнях — 3 у =.— ! ь+1 у — 1 дельные прямыс — — и 2 1 2 2 ! 2 520. Написать уравнения прямой, проходящей через начало координат и составляющей равные углы с плоскостями -'1у = Зх, у = 0 и = О. Найти эти углы. 521. Найти точку пересечения прямой х = 2! — 1, у = 1+ 2, = 1 — 1 с плоскостью Зл — 2у+ д — 3. х у — 1 -+1 522.
Найти точку пересечения прямой 2 1 2 с плоскостью х + 2у+ Зх — 29 = О. 523. Найти проекцию точки (3; 1; — 1) на плоскость х + 2у + + Зя — 30= О. 524. Найти проекцию точки (2; 3: 4) па прямую х = у =- х. 525. Найти кратчайшее расстояние между непараллельными прямыми: .т — п у — 6 — с х — гН у †— с! 1) =' = и ти и р тп! и! р! х+1 у -.— 1,т у+1 я — 2 2) = — '= и 1 1 2 1 3 4 У к а з а и и е. Предполагая прямые в общем случае скрещивающимися, наги~с!хм парад плып щ плоскости, в которых онн аасположены. — > Из точек Л(о: 6: с) и Лт(аы 6Н сг) проведем векторы Лй = д!1В1 Р(т; и; р) и АС = ЛгСг = Р1(тг, пя р1). Высота призмы А ВСтН ЛгС1 н равна искомому расстоянию.
526.!!оказать, что прямые т — 2 у †! я — 2 х= - — 2, у=2х+1 н 3 1 1 пересекаются, и написать уравнешге плоскости, в которой опи расположеяы. УО Гл. 3. Анвлнтичсская гсомстрин в пространстве 527. Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из точки (2; 1; 0) на прямую х = 3- — 1, у = 2х. 528. Построить плоскость,г + у — - = 0 и прямую, проходящую через точки 4(0; 0; 4) гл В(2; 2; 0). Найти точку пересечения прямой с плоскостью и угол между ними. 529. Построить плоскость у = х, прямую х = — д+ 1, у = 2 и найти: 1) точку нх пересечения; 2) угол между ними.
530. Найти проекцию точки (3: 1: — 1) оа плоскость 3х + у + +х — 20=-0. х — 1 531. Найти проекпию точки (1; 2; 8) на прячгуна 2 — 1 532. Написать уравнение плоскости, проходящей через паралх — 1 у+1 - — 2:г у+1 = — 1 лсльпыс прямыс = =, и 1 — 2 3 1 — 2 3 х+3 у+1 "+1 533. Показатгь что прямые = ' = и:г, = 3- — 4, 1 2 1 у = д+ 2 пересекаются, найти точку их пересечения. 534. Написать уравнения перпендикуляра, опущенного нз гочки х+1 у — 1. (1: 0; — 1) на прямую 1 2 — 3 535. Найтгл кратчайшее расстояяие между прямыми х = — 2у = — —: их=-у=-2.
35. Сферические и цилиндрические поверхности 1'. Уравнснпс сферической вовсрхноств с пснгром О(а, 6, с) и ра,гнусом Ри 1х — о) + (у — 6) + (г — с) = К'. (~) 2'. Уравпенис Г(х, у) = О, пс содержащее г, определяет цолиндричсскую поверхность с оброзуюгасй, ооролдсльной оси О . Аналогично каждое из уравнений: 1) Г(у, г) = О и 2) Р(х, ) = 0 определяет цилипдри в скую поверхность г образуюшсй, параллельной: 1) Ох; 2) Оу. 3'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
