Минорский - Высшая математика (1108568), страница 12
Текст из файла (страница 12)
(2) 1!. Если два из трех данных векторов равны или параллельны, то их смешанное произведен«ге равно О. !!!. Знаки операций «точка«и «кросс>г можно поменгпь местами, (а х Ь) с = а (Ь х с); поэт«игу смешанное произведение принято записывать в «гиде аЬс, т. е. без знаков действий и без скобок.
3'. Объем параллелепипеда, построенного па векторах а, Ьпс. Е = жаЬс (+ ири правой саяшге. — при левой связке). Обьем пирггмиды, построенной на векторах а, Ь, с: ! «пир — ~ 6 4'. Условие комплаиарпоггти. Гоги а, Ь и с коящлинирнег, то аЬс = О, и обратно. При этом между а Ь гг с существует линейная Зиеи\ггьнеггиь вида с: гиа + иЬ. 438. Построить параллелепипед на векторах а = Зг+ 4«, Ь = = — 31+ 1г, с = 2!+ 51г и вычислить его обье с Правой или левой будет связка векторов (а, Ъ, с)? 439.
Построить пирамиду с вершинами 0(0; 0: 0), .1(5; 2; 0), !!(2; 5; 0) и С(1; 2; 4) и вычис:гить ес объем, плон!аль грани т(ВС и высоту пирамиды, опушенную на зту грань. 440. Показать, что точки А(2; — 1; — 2), 1!(1; 2; 1), С(2; 3: 0) и 11(5; 0; — 6) покат в одной плоскости. 441. Показать, что векторы а = — г+ 3! + 21г, Ь = 2г — Зг — 41г, с = — 3!+ !2!+6)г компланарпы, и разложить вектор с по векторам аиЬ.
б1 'З' 5. Смешанное произведение трех векторов 442. Показать, ыо; 1) (а+ Ь) [(а+ с) х Ь~ = — аЬс; 2) (а+ 2Ь вЂ” с) [(а — Ь) х (а — Ь вЂ” с)~ = ЗаЬс. 443. Найти обьем тетраэдра, построенного на векторах ОА, ОВ и ОС, если эти векторы направлены по биссектрисам координатных углов и длина каждлно вектора равна 2. 444. Построить пирамиду с вершияалли Л(2; 0; 0), В(0; 3; 0), С(0; 0; 6) и 1>(2; 3; 8), вычислить ее объем и высоту, опушеннуло на грань ЛВС. 445. Построить векторы а = !+3+4!с, Ь = л — 2! и с = Зл — 33+4!с, показать, что они компланарны, и найти линейную заяисимость между нпмлл. 446.
Показать. что обьем параллелепипеда, построенного на дллагоналях граней данного параллелепипеда, равен удвоенному объему данного параллелепипеда. 447. Даны единичные векторы пт, п и р. Уголл (лп, и) = [р, (тп х и)] = лт. Доказать, что тогда (тп х п) х р = — гбп 2о. 2 448. При любых векторах а, Ь я с векторы а — Ь, Ь вЂ” с и с — а компланарны. Доказать это аналитически и геометрически (рассмотрением параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь и с). 449.
Вычислить объем параллелепипеда ОАВСОпЛлВтСт, в котором даны три вершины нижнего основания 0(0; 0; О), А(2; — 3; 0) и С(3; '2; О) и вершина верхнего основания Вт(3; 0; 4), лежащая на ооковом ребре ВВл, протшлоположном ребру ООд. Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 3 1. Уравнение плоскости 1'. Уравнение плоскости. проходящей через точку АХ1(кг, углах) и перпендикулярной к вектору гл(Л; В; С). 11усть АХ(хб у; л) произвольная точна плоскости (рис. 20).
'1огда лдглглХ ) ) )Х) и по условию перпендикулярности С) векторов А(к — лл) + В(у — у1) + С(л — л1) = О. 2'. Общее уравнение кости: плос- (2) Ла+Ву+С +О=О. Вектор М(Л; В; С) называется нордолльяы,лл вщлтором к п.юскости (2) Рис. 20 или (!). 3'.Особые сггучаи ураяпения Ах+Ву+С +О=О: 1. О = О. Аа+ Ву+ Сх = О плоскость проходллт через начало координат. 11. С = О, Ли+ Ву+ 1) = 0 плоскостл. параллельна оси Ос.
111. С = О = О, Лт+ Ву = 0 гыоскость прохо лнт чсрлз ось Ою 1У. В = С = О, Ал+ ХХ = О плоскость параллельна плоскости уОл. У. Уравнения координатных плоскостей: л = О, у = О, х = О. 4'. Уравнение плоскости в отрсчках на осях: 'у а — + — '+ — =1 а 6 с (3) 450. Построить плоскости: 1) 5л — 2у+ Зл — 10 = 0; 2) Зх + +2у — =0:3) Зт+2х=б;л)) 2 — 7=0. 451. Построить плоскосхь 2и+ Зу+ Ов — 12 = 0 и найти углы нормагил к плоскости с осями координат.
452. Даны точки АХ1(0; — 1; 3) и ЗХз(1; 3: 5). Написахь уравненис пЛОСКОСХи, прОХО.Гищсй чЕрел тОчКу ЗХ1 и псрпсндиКупярнОй К вектору )х) = ЛХ13Хз. ГЗ 2. Основные задачи на плоскость 63 453. Написать уравнение плоскости, проходнщей через точку Л|(а; а; О) и перпендикулярной к вектору ОМ. Построить плоскость. 454. Написать уравнение геометрического места точек, равно- удаленных от тощк ЛГо; — и/2; а) и ВГО; и/2; 0). 455. Написать уравнение плоскости, параллельной оси Ох и проходящей через точки 1|д(0; 1; 3) и ЛХдГ2; 4; 5) и построить ее. 456.
Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Ох и точку ЛХГГО: — 2; 3). Построить плоскость. 457. Написать уравнение плоскости, прохо.виней ~срез ось Ох и точку Луг~2; — ч1; 3). Построить плоскость. 458. Написать уравнение плоскости. параллельной оси Оу и отсекаюшей на осях Ох и Ох отрезкгч и и с. Построить ее. 459. Написать уравнение плоскости, проходнщой через точку ЛХГ2; — 1: 3) и отсекагощсй па осях координат равные отрезки. 460. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку ЛХГà — 1; 0;:1) и отсекак>шей на осях Ох и Оу отрезки а =- -'1 и Ь = 3.
32. Основные задачи иа плоскость 1'. Угол, образованный дву мн плоскостями: ГЧГ г Гг ЛЛ~ + ВВ~ + СГч сов х = х Я Уг ЛЛ; гге ГХГ и ГЧГг нормальные векторы к плоскостям Лх+ Ву+Г'"+ Н = О и Лгх+ Лгу+ Сгх+ Хзг = О. Условие пораллсльносьчи: А В С Л В С, [2) 461. Построить плоскости: 1) 2х+у — х+6 = О; 2) х — у — х = 0; 3) у — 2х + 8 = 0; 4) 2л — 5 = 0; 5) х + =. = 1; 6) у + х = О. 462.
Построить плоскость 2х — 2у+ = — 6 = 0 и найти углы ее нормали с осями координат. 463. Через точку Л|( — 1; 2; 3) проведена плоскость, перпендикулярная к ОЛ|. Написать сс уравнение. 464. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и через точку Г4: 0; 3). Построить плоскость. 465. Написать уравнение плоскости, параллелыщй оси Ох и пРоходащсй чеРез точки Л|г(2: 2: 0) и Л|д14; 0; 0). ПостРоить плоскость. 466.
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку Л|т11; — 3; 5) и отсекающей па осях Оу и 0 вдвое болыпие отрезки, чем на оси Ох. Гл. 3. Аналитическая геометрия в пространстве Условие перпсндикуляряосп>и: А 1> + ВВ> + СС> = О. (3) 2'. Расстояние от точки Мо(хо,уо,»о) до плоскости Ах+ +Ну+С +ХГ=О: ~А»о+ ХГУо+ С»о+ Ц У 3'. Уравнение пучка всех плоскостей, проходящих через зиник> пересечения двух ланных плоскостей: о(Ах+ 11>>+ С" + Хд) + 6(А>х+ В,у+ С>-+ Хд>) = О. (5) Можно положить а = 1, исклгочив этим из пучка (5) вторую из данных плоскостей. 467. Найти угол междт плоскостями: 1) х — 2у+2» — 8=0 и «+- — 6=0; 2) х+ 2» — 6 = О и х+ 2у — 4 = О.
468. Найти плоскость, ггрохочящую через п>чку (2; '2; — 2) к параллельную плоскости:г — 2у — Зд = О. 469. Написать уравнение плоскости, проходнщей через точку ( — 1; — 1; 2) и перпендикулярной к цлоскостнм х — 2у + †. — 4 = 0 и х + 2у — 2»+ 4 = О. 470. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (О; 0; а) и перпендикулярной к плоскостям х — у — = = 0 и 2у = х. 471.
Написать уравнение плоскости, проходящей через тачки Л>Х>( — 1; — 2; 0) и ЛХ»(1; 1: 2) и перпендикулярной к плоскости д: + + 2у+ 2» — 1 = О. 472. Написать уравнение плоскости, цроходшцой через точки Мг(1; — 1: 2), ЛХ»(2; 1; 2) и Мз(1: 1; 4). 473. Через ось О» провести плоскость, составляю>пуп> с плоскостью 2х + у — х/5» = 0 утоп 60'. 474. Найти расстонние от точки (5; 1; — 1) да плоскости х — 2у — 2»+4 = О. 475. Найти расстояние ат точки (4; 3; 0) до плоскости, проходшцей через точки ЛХ>(1; 3; О), ЛХх(4:, — 1; 2) и Мз(3; 0; 1). 476.
Найти расстояние мелгду параллгльными плоскостями 4х+ Зу — 5>» — 8 = 0 и 4х+ Зу — 5»+ 12 = О. Указание. Ваять нз первой плоскости >гк>бую точку, на>гример (2: 0; О), и найти ее расстояние от другой плоскости. 477. 1) Написать уравнения плоскостей, параллельных плоскости х — 2у + 2 — 5 = 0 н удаленных от нее на расстояние, равное 2.
65 з 3. Уравнения прямой 2) Написать уравнении плоскостей, делящих пополам лвугранный угол, образованный плоскостнми 2х + 28 = =. и « = О, и построить танные и искомые плоскости. 478. !) Написать уравнение плоскости, проходящей через линито пересечения плг~с|п1стей 2х — 6+3« — 6 = О, т+2у — «+3 = 0 и через точку (1: 2; 4). 2) Найти две взаимно перпендикулярные плоскости, прохоляшие через прямую пересечения плоскостей х = у и « = О., если одна из искомых плоскостей проходит через точку !О; -1; 2). Построить прямуго и искомые плоскости.
479. Найти точку пересечения плоскостей 2х — у+ 3« — 9 = О, х+ 28+ 2« — 3 = О и Зх+ у — 4«+ 6 = О. 480. Написать уравнение плоскости, прохопщцей через точку (2; — 1: 1) и перпенликулярной к плоскосщм Зх+ 2у — «+ 4 = 0 и х+ П+ — 3 = О. 11остроить ее. 481. Написать ураннение плоскости, прохопящей через точки !О; — 5: 0) и )О; 0; 2) и перпендикулярной к плоскости т. + 58 -'; + 2« — 1О = О. Построить ее.
482. Найти угол плоскости, проходящей через точки О(0; 0; 0), ЛХ1(а; — а; 0) и ХрХв(а; а; а), с плоскостью хОП. 483. Найти расстояние от начала координат до плоскости, проходящей через точки ЛХ1 (а: 0; 0), ЛХт(0; а; О) и ЛХз!а; и: а). 484. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Ох и составляннцей угол 60' с плоскостью П = х. 485.
11айти расстояние от точки (а; Л; с) до плоскости, отсекающей на осях координат отрезки а, Ь и с. 486. Написать уравнения плоскостей, параллельных плоскости 2х + 2у+ « — 8 = 0 н упаленных от нее на расстояние г! = 1. 487. Написать уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей 4« — д+ 3» — 6 =-0 я х+ 58 — «+ 10 =. О и перпендикулярной к плоскости 2т — П+ 5« — 5 = О. 8 3. Уравнения прямой 1'. Уравнения прямой, прохо.щщей через точку А(а; б: с) и параллельной вектору Р)т; п: р). Пусть ЛХ(х; ул «) произвольнаяточка прямой !1лпх 21), тогда 4ЛХ ! Р и по условию параллельности векторов х — а р — б — с ьч в р Уравнения (!) называются канонвчсски.ии уравнениями прямой. Вектор Р(т: и; р) назьтается направляющим вектором прямой. Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
