Минорский - Высшая математика (1108568), страница 11
Текст из файла (страница 11)
острые углы. Определить зги углы и пссстроить вектор г, если его длина раппа 2ь/3. 396. Вектор составляет с осями Оу и Ох углы 60' и 120'. Какой упзл он составляет с осью Оху 397. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1; — 2: 3)с В(3; 2; 1) и С(6; 4: 4). Найти его четвертую вершину тз. Указание. Из равенства 4зл = ВГ, следует, что равны и их координаты: .т — ! = 6 — 3 и т.
д. — е 398. На плоскости хОу построить векторы ОА = а = 2т, От! = = Ь = Зс+ 3! и ОС = с = 2т+ 61. Разложить геометрически и аналитически вектор е по векторам а и Ь. 3 3. Скалярное произведение двух векторов 1'. Опре деле нссе. Скалярным ссраизаедением двух вессторов называется произведение их модулей, умнаагенное на косинус угла меагдсу ними. в Скалярное произведение вектора а на вектор Ь обозначается а Ь. Итак, а Ь = аьгоььг. й Из рис. !8 видно, что !с сое р = пр„!з.
Поэтому а Ь = аб гов са — а ИР„Ь = 6 п!зьа. (2) сз 2'. С войс:тв а скалярного и рви введению 1. а Ь=Ь а — пергмегтитгльный закон. Н. а (Ь+ е) = а Ь+ а с раенределитесьный Н!. Если а! Ь, то а Ь = +о!н В чаепсости, а = а а остюда Рне. !3 закон. = аа сов 0' = аз; « = с/ачзх. 391. Построить параллелограмм ца кокто!зах ОА = 1+3 и ОВ = = 1т — 3! и определить его диагоназсн, 392.
В точке А(2: 1: — 1) приложена сила Л = 7. Зная две координаты этой силы Х = 2 и У = — 3, определить направление и конец вектора, изображвкпцего силу. 393. На плоскости хОу даны точки А(4; 2). В!2; 3) и С(0, :5) и построены векторы Озт = а, ОМ = Ь и ОС = с. Разложить геометрически и аналитически вектор а по векторам Ь и с. Гл.2. Векторная алгебра 1У. Если а 3 Ь, тон Ь = аЬсоз90' = О, У. Скалярное ттроизвгпение ортов: 1,1=0,.,1 1с=О, т 1с=О, т 1=1, 1 )=1, 1с 1с=1. 1т1. Если векторы а и Ь заданы координвтами а(а, ао, а,) и Ь(Ь., Ьо, Ь,). то н Ъ=о Ь +о„Ь, +о,Ь,. 3'.
Угол гтежлу векторами: а Ь аяЬт+ ао6о н- а,6, соз,р— аЬ ог с аг+ г Ьг 4 Ьтг+ Ьг (б) ь ь„ ь, Условие аораллеттьниеттто: Ь = тпа или — = — ~ = — = ттт. а„ ао а, Условие перпсндинтряярносто: а Ь = 0 или а 6 + оо6о + а,6, = О. 399. Определить угол между векторами а = — 1+ 3 и Ь = )в — 23+ 2)с. 400. Опредеттить утлы тдЛВС с вершинами .4(2; — 1; 3), В(1: 1: 1) и С(0;О;5), 401. Даны точки,'1(а; О; 0), В(0; 0; 2а) и С(а; 0; а).
Построить векторы Ос, и ЛВ и найти угол между ними. 402. Иа плоскости дан треугольник с вершинзми О(0; 0), Л(2а; 0) и В(аб — а). Найти угол, образованный стороной ОВ и медианой ОЛ1 этого треугольника. 403. Нвйти угол между биссектрисами углов иОУ и уОя. 404. Из вершины квадрата проведены прнмые, делящие проти- воположные стороны пополз и. Найти угол между этими прямыми. 405. Найти угол между диагоналями параллелограмнта, постро- енного на векторах а = 21+ 3 и Ь = — 21+ 1с. 406. Даны векторы а = 1+3+ 2)с и Ь = т — 3+ 4)с. Опрсдел1тть прьа н пр,Ъ. 407. Раскрыть скобки в выражении (21 — 3) 3+ (3 — 21с) 1с+ (1 — 21с)г.
408. Вычислить: 1) (от+и), если гн и и единичные векторы с углом между ними 30о: 2) (а — Ь)г, осли а = 2зтт2, Ь = 4 и (н, Ъ) = 13оо 409. Раскрыть скобки в выражениях: 1) (а+ Ь)г: 2) (а+ Ь)г+ (а — Ъ)г н выяснить геометрический смысл полученных формул. 410. Даны комплзнарные векторы а, Ь и с, причем а, = 3, Ь = 2, с = б, (а, Ь) = 60' и (Ь, с) = 60'. Построить вектор н = а+ Ь вЂ” с З 3. Скалярное лронэведснис двух векторов и вычис:плть его модуль по формуле —,~ть л ь - Е 411. Найти величину равнодействующей четырех комдланарных сил, приложенных к точке О, если величина каждой силы ранна 10 Н, а угол между двумя последовательными силами ра- 4.
ч 412. Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах а = 2пг + п и Ь = пт — 2п, где гп и п единичные векторы, угол между которыми 60'. 413. Дан вектор а = 2тп — п, где лп и п единглчные векторы с углом 120 между ними. Найти соа (а, ги) и сов (а, в). 414. Определить уго.г между биссектрисами двух цлоских углов правильного тетраздра, проведенными из одной его вершины.
Указание. Если ти, и и р единичшде векторы ребер. то ни+ в и ил+ р векторы, направленные по биссектрисам. 415. На осях Ож, Оу и Ои отшгжить равные отрезки а = 4 и на них построить куб. Пусть 6/ центр верхней грани, а Х цегпр правой боковой грани куба. Определить векторы О.д и О.гл' и угол между ними. 416. Даны векторы ОЛ = а и ОВ = Ь, причем а = 2, 6 = 1, а (а, Ь) = 60'. Оггреггелить угол между медианой Од треугольника ЛОВ и стороной ОА 417.
Из вершины прямоугольника со сторонами 6 ем и 4 ем проведены прямые, де:,шшие противоположные стороны пополам. Найти угол д между ними. 418. Даны три последовательные вершины параллелограмма; Л( — 3; — 2; О), В(3; — 3; 1) и С(5; 0: 2). Найти его четвертую вершину О и угол мюкду векторами Л(.' и И)л. 419. Ланы точки А(3; 3: — 2), В(0; — 3; 4), С(0; — 3; О) и О(0; 2; — 4). Построить векторы ЛВ = а и Ссл = Ь гл найти пр„Ь. 420. В равнобедренной трапеции ОЛСВ (см. рис.
!6) 61 и ллл середины сторон ВС = 2 и ЛС = 2. Острый угол трапеции 60'. Одределнгь угол между векторами ОггХ и ОЛ. 421. Найти угол между векторами а = 2гп+ 4п и Ь = пт — п, где ги и и единичные векторы, образующие угол 120'. 422. Показать, что упгл между,гиагоналнмк прямоугольника, построенного на векторах а и Ь (а Е Ь), определяется формулой 2 62 2 3' о2 д (гз' Гл.2. Всхторная алгебра 423. Проекции перемещении и дкижушсйсн точки на оси координат ва = 2 м, ьи — — 1 и. ьь = — 2 м. Проекции действующей силы Р на оги координат равны 1' = ВН, Е;„= 4 Н и Р'ь = 3 Н.
Вычислить работ1 А силы Р (Л = Р и) п угол между силой Р и перемещением а. 424. Е исршипс прапильного тетраздра с ребром о приложены три силы, изображаемые его аектор-ребрами. Определить величину раннодействуюшей. ""''Л"т гй':' ' р единичные векторы данных сил. 425. Кнадрат разделен на три полосы одинаковой ширины и затем свернут и пранильную треугольную призму. Найти угол между дпуъсп съюжными звеньнми ломаной, образопапной при атом диагональю квадрата. 34. Векторное нронзведенне двух векторов 1'. О праде линие. Беитгьориьги ироизввдсигтж контора а на авктор Ь назыааигсн такой третий вгхтвр с (рис.
19), который: Ц имссг „ивдулгь щслснно равнггй о,лоигвйи парвллсягтра,юио, построснпого ца аскторах а и Ь; 2) овроеис1икдлярви к плоскости параллелограмма; 3) поправлен в такую сторону, с которой кратчайи1сс ьрвщсиис от а к Ь рассматринастсн соасршающимсн против гвсовой сгврвлхи.
Такое рвспозожсние векторов а, Ь и с цааывастгн правой связкой. Вскторнос произасдснис обозначастсн а х Ь. Итак, а х 1) = с, 0 а если: 1) с=~ахЬ~=абгбпьв, Рис. 19 2)с) аис3 Ь, 3) а, Ь, с составляют правую санзку. 2'. Саойстаа векторного произаеденип: 1. и х Ь = -Ь х а. Н. а х (Ь+ с) = а х Ь+ а х с расг~рвдглитвльиьгй эикои. 1И. Голи а~ Ь, то а х Ь = О; а частности, а х а = О. 3'.
Векторные произведения ортов: 1х1=1с, зх1с=Ь 1сх1=1. (1) Вообще произасдснис любых двух смежных векторов и послсдоаатг,льности 13 1с1) дает слсдугслссий асктор со анаком +, з а обратной послсдоаатсльности со знаком — . з 4. Векторное произведение двух векторов 4'. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей а!ае, ач, а,) и Ь(6~, Ью 6,): 1 1 1с ахЬ= а ад а (2) 1ы ~д 5'. Площадь параллелограмма, построенного на векторах анЬ: !3) Я,= ахЬ~, а площадь треух аль ника, построенного па векторах а и 1х 1 Вл = — (ах Ь! 2 !4) 426.
Определить и построить вектор с = ах Ь, если: 1) а = Зт, Ь = 2!с; 2) а =- 1+ 3, Ь =- ! — 3; 3) а =- 2т+ 31, Ь =- 33+ 2)с. Найти в каждом случае плошадь параллелограмма, построенного на векторах а и Ь. 427. Вычислить плошадь треугольника с вершинами А!7; 3; 4), В(1; О; 6) и С(4; 5:, — 2). 428. Построить параллелограмм на векторах а = 23+ 1с и Ь = = т+ 21с и вычислить его плошадь и высоту. 429. Раскрыть скобки п упростить выражении: 1) ! х (3 + 1с) — 3 х (! + 1с) + 1с х (! + 3 + 1с): 2) (а+ Ь+ с) х с+ (а+ Ь+ с) х Ь+ (Ъ вЂ” с) х а; 3) (2а+ Ь) х (с — а) + 1Ь+ с) х (а+ Ь); 1) 21 !3 Х 1с)+33 (1х!с) +4!с !! Х3).
430. Доказать, что (а — Ь) х (а+ Ь) = 2а х Ь, и вьшснить геометрическое значение этого тождества. 431. Векторы а и Ь составляют угол 45'. Найти плошадь треугольника, построенного па векторах а — 2Ь н За+ 2Ь, если ~а =)Ь!=5. 432. Найти плошадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы 2тп — п и 4пт — 5п, где ьп и и единичные векторы, образующие угол 45'. У к а з ание. Имеем а+ Ь = 2ш — и и а — Ь = 4пп — 5п, где а н Ь векторы-стороны параллелограмма. Перемножив, найдем вектор 2Ь х а, модуль которого и равен удвоенной искомой площади. 433. Построить векторы а = 31с — 23, Ь = 3! — 23 и с = ахЬ.
Вычислить модуль вектора с и плошадь треугольника, построенного па векторах а и Ь. 434. Построить треугольнике вершинами Л (1; — 2; 8), В!О; О; 4) и С(6: 2; О). Вычислить его п,пппадь и высоту В!3. 60 Гл, 2. Векторная алгебра 435. Вьгчислггть диагонали и плошадь параллелограмма, построенного на векторах а = )г — ! и Ь = 1+,! + 1с. 436.
Чок«азата, что (2а+ Ь) х (а+ 2Ь) = За х Ь. 437. Найти плошадь параллелограмма, построенного на векторах а = ш+ 2п и Ь = 2гп+ п, где ш и п единичные векторы, образующие угол 30'. 35. Смешанное произведение трех векторов !'. Определение. Сисе«анне««г иреизьеггениелг векторов а, Ь и с назьпасгся выраагснис вида (а х Ь) с. Если векторы а, Ь и с заданы гаоиаги координатахги, то о, ии а, (ахЬ) с= 6 бд !г, ся си с« 2'. Свойства смешанного произведения. 1. От персстановни двух лгобых сомножителей смешанное произведение меняет знак: (ахЬ) с= — (ахс) Ь= — (схЬ) а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
