Минорский - Высшая математика (1108568), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Уравнснис цилиндричсской поверхности с направшоощей Г)х, у) = О, г = 0 и с образующей, вараллсльной всктору Р1го; и; р~. Уравнение произвольной обравувццсй будет у — уо = -' — ' — = —, г.гв (хо, уо, О) точка на наоравлнющсй. я р Опрсдслив отсюда хо и уо и подставив их в уравнснис направляющей, по,~учихг уравнснис цилиндричсской поверхности: <2) У! 5 5. Сферические и цилцндричсскис поверхности 536.
Найти центр и радиус сферы: Ц х' ~- уг ~- -' — Зх ~- 5у — 1х = О; 2) хг -Р уг Р .. = 2а=. и построить изображение второй сферы. 537. Написать уравнение сферической поверхности, вписанной в тетраэдр, образованный плоскостями Зх — 2у+ бх — 18 = О. х = О, у = О, х = О. 538. Написать уравнение геометрического места точек, расположенных вдвое ближе к точке 4(2; 0; 0), чем к точке Л( —:1; 0; 0). 539. Написать уравнение сферической поверхности, проходящей через окружность:сг + уг + хг = аг, х + у + х = а и через точку (а,; а; а).
У к а з а н не. Искомос уравнение должно иметь вид + у + - — а + Л(х+ у+ г — о) = О. 540. Построить в левой системе координат поверхности: 1) уг+хг=4; 2) уг=ах; 3) х =4; 4) т,г+уг=ох. 541. Написать ураиюпио геометрического места точек, одинаково удаленных от прямой х = и. у — 0 и плоскости уО . 11остроить поверхность. 542. Написать уравнения трех пилиндрических поверхностей, описанных около сферы хг + уг + хг — 2ах = О с образующими, параллельными соответственно; 1) оси Ох; 2) оси Оу; 3) оси Ох, 543. Нарисовать в первом октанте левой системы координат кривую Вивиани: х +у +х =15, т, +уг=4х, построив ее точки при т = 0; 2 и 4. Показать, что проекция кривой на плоскость хОх есть парабола.
544. Найти центр и радиус окружности х +у +х =10у, х+йу+2г — 10=0. Указание. Центр окружности ость проекция центра шара на плоскость (см;шдачу 530). 545. Написать уравнение цилиндрической поверхности с направлшошей уг = 1х, - = 0 и с образующей, параллельной вектору Р(1; '2: 31. 546. Построить в первом октацте поверхность (х+у)г+ах = аг по сечениям плоскостями х = О, у = О., = = О, . = Ь ( а н показать, что зта поверхность цилиндрическая с образующими, параллельными прямой х+ у = а, = О.
72 Гл. 3. Аналитическая геометрия в пространстве 547. Шар х~ + у~ + хв = 4з освещен лучами, параллельными прямой х = О, у = . Найти форму тени шара на плоскости:сОу. У к аз ли не. Нуекно написать уравнение цилиндрической поверхности, образованной лучами, касательными к шару. За ее паправлянлпую принять линию сечения шара плоскостью, проходяпгей через центр нюра и перпендикулярной к лучам. 548. Написать уравнение плоскости, проходншой через центр С поверхности т, + ул + хз — 2х + у — Зх = О и перпеядикулярной к прямой ОС.
549. Написать уравнение геометрического места точек, удаленных вдвое дальше от начала координат, чем от точки (О; — 3; О). 550. Найти проекцию на плоскость = 0 сечения шаровой поверхности ха+уз+ха = 4(х — 2у — 2 ) плоскостью, проходящей через центр шара и перпендикулярной к прямой х = О, у+ = = О. 551.
В левой системе координат построить поверхности: 1) х — 4 — х:2) у +х =4х;3) у =х . 552. Построить в первом октанто левой системы координат кривую пересечегттгя ци.шндров х + х = а и .с + у = а, . У к а з а н и е. Построив в плоскостях хОг и хОу четверти паправзявпаих окружностей, разделим их приближенно на равные части (например, па 4) и через точки деления провести образугошие цилиндров до их пересечения (см. рис. 00, с. 320). 553. Написать уравнение цилиндрической поверхногти с образующей, параллельной вектору Р11; 1; 1), и с направляющей хз + +у2=4х,х=О, 554. Построить тело, ограниченное поверхностями уз = х, - = О, х = 4, х = 4, и написать уравнения диагоналей грани, лежащей в плоскости х = 4.
3 6. Конические поверхности и поверхности вращения Р. К о пи че свис поверхности. Пусть коничсскол поверхность имеет вершину в начале коордтгнат, а яаприеллюи<ую Р(х, у) = 0 на х плоскости х = б. Уравнение образующей будет: — = — = —, где хе уе (хо, уе, Л) — точка направляющей. Определив отсюда хе и уо и подставив пх в уравнение Р(х, у) = О, получим уравнение конической лоссрхности с вершиной а яачолс кооруияот: г! б. Коничсс!сие поверхности и поверхности вращения 23 Если вершина конуса будет в точке (О; 6: с), то уравнение примет вид т + О, + 6~ = О. (2) и с с (л — О)16 — с) (у — 6)(6 — с) 1 Уравнение Г1) Однородно относительно л, у, г, а уравнение (2) Однородно относительно а — О, у — 6 и — с.
По Одлородноюли уравнения ;1Ожне узнВть трВВнение коле !Вскеп Веесртпесглл. 2ь. Поверхности вращения: 555. Написать уравнение конической поверхности с вершиной н начале координат и напранляпицей лт + у~ = ат, а = с. Построить изображение поверхности. 556. Написать уравнение конической поверхности с вершиной в точке Л(0; — а,: 0) и направляющей тт = 2ру, = И.. Погтроить изображение поверхности.
557. Одре;!слит! вершину конуса аз+ !у — а)д — вз = О, его неправлнюшую в плоскости — = и и построить конус. 558. Определить вершину конуса ад = 2у-, его напранлпюп!ую в плоскости х = 6 и построить конус. 559. Исследонать поверхность коноида ') илп клина (аз — ат) х ху!~ = 6~в~ по сеченипм плоскостями в = О, у = 6, т = 3:1 (с < и) и построить коноид в ооласти ) О. 580. Написать ураннение понерхности! образованной вращением кривой в = ъз! у = 0: 1) вокруг оси 0-; 2) вокруг оси Г7л. Построить обе поверхности. '! Лопоидел пппывастсл поверхность, обрппованнпп лвижснпеът прпмой, параллельной латптой влосвести и псрссепмощсй паннуте арину!О и хапну!О прлмуов 74 Гл. 3.
Ана.титичгскзл геометрия в пространстве 3 7. Эллипсоид, гиперболоиды и параболоиды 1'. Пенок ические у равнения. Е|зоъге пилинлрических, сущегтвуют шесть основных видов поперхпостей вгорого порядка, определяемых сггед1чогппми канопы гесьчхнги (п1юстейшинги) уравнениями: .2 2 2 ]. Эллипсоад: — + — + — = 1. аз ба гт л у а + — т 1 огггопочш ггп~й а Ь с 11. ! 'аперболоа(1ы. з з 2 х у 2 + 2 з ! дз1'полостный. а Ь лз 3 2 1!!.
Конус отороео порта!на: — + — ' — — = О. от ба ст ,2 оз + ' = 2з ал:шотичегкий, 1У. 11ароболоады (при ру ) О): р ч Х вЂ” — — = 2 гиперболический. р х 2'. Прямолинейные образующие. Через паждую точку однополостнага гаперболопда проходят дас ега прямо.пвепнмг образующие: о — + — =у! 1+ — ' ,д — — —" =о 1 — П вЂ” '+ — ' и б =у !+Ь 561. Написать уравнение поверхности, образованной врашением вокруг оси Ош !) кривой — е *, д = 0; 2) кривой - = —, .гт ' у = О. Построглть обе поверхности (в левой системе коордонат). 562.
Написать уравнение конической поверхности с вершиной 010; 0; О), напрввлянппей от+(у — 6)о+го = 25, д = 3 и нарисовать поверхность. 563. Написать уравнение конической поверхности с вершиной С10; — о; 0), напревляюшей з т+ у~+ лт = 25, у = 3 и нарисовать поверхность. 564. Написать уравнение поверхногти, образонаопой вращением прямой =.
= у, а' = 0; 1) вокруг оси Оу; 2) вокруг О-, и нерисовпть обе поверхности. 565. Показать, что сечение конуса г~ = з:у плоскосгьн~ т + у = = 2о есть зллггпс, и найти его полуоси. 2 7. Эллипсоид, гиперболоиды и параболоиды 75 Через каждую точку гиперболичеекого ппраболоида тоже проходят дпе сто «йглжолпя«бп«щ обрпзрюгйи«(при р > 0 и Л > О): о — + ч~ = 23 д — ' — — ' л+ — ' =1гч и 566.
Написать уравнение поверхности. образованной враще- , 2 2 нием эллипса — + — = 1, й = 0 вокруг оси О а2 С2 жг йг 567. Построить поверхность +' + = 1 и найти площади 9 1 25 ее сечений плоскостями: 1) г = 3; 2) д = 1. 568. Написать уравнение поверхности, образованной враще- 2 2 шлем кривой — = 1, у = О: 1) вокруг п2 е2 оси Ог; 2) вокруг осн Ож. Построить обе поверхности (в левой системе координат). 569. Построить поверхпо«гти: Ц л2+„2 2 .2 г+ 22+3 г г 570. Построить гиперболоид — + — ' Р61 4 2 36 — = 1 и найти егп образующие„прохолшпие через точку (1; 1: — 3). 571. Нитяная мотель пилиндра «закручснаа поворотом верхнего круга на «т~ (рпс. 22).
Определить уравнешле полученной «линейчатой«поверхности, если ок- Ряс. 22 3'. 11 р у г о вы е сечения. На всех поверхностях, имеющих,эхлипт«п«ескп«еечепия, пмеютея также и крреоаые сечения. 1!аибольщие .2 2 2 круговые сечения эллипсоила — + — + — = 1 (при а > Ь > «) нао2 Ь2 е2 ходятся на сфере л~ + 92 + 22 = Ь . Круговые сечения эллиптического У параболои;щ — + — ' = 2, проходящие через ве1ппипу, находятся на р сфере гг -Р рг -Ь г = 2рх (при р > д). 76 Гл. 3.
Аналитическая геометрии в пространстве ружности ее оснований лежат в плоскосмсх л = шс, их центры на оси Ол. а их радиусы равны 2а. Рассмотреть частные случаи при и = 90', 120', 180'. У к а канне. '1очка МОг; у; е) делит расстояние несиду точками А(2а соат; 2ампй — еП В(гасов Сс+ а); 2а ебп (с+ а); е) в отношении АЛХ: .1ХВ = Се+ "): Се — е). 589. Назвать и построи Ц х. + уг + г 2ах; 2):ег + уг = 2ав: 8) хг+'г '1) х — у = 2ах: ).г,г г. ть каждую из поверхностей: 6) хг = 2а-; 7) хг = 2ух; 8) и = 2+хг+у' 9) (г — а)г = ху; 10) (х — 2х)г+4(х — 2х) = уг. 572. Написать уравнение поверхности, образованной крашением параболы ах = хг, у = 0 вокруг оси Ох.
Построить поверхность по сечениям плоскостями: л = а, х = О, д = О. 573. Построить поверхности: у' Г х' у'с 1) 2л = хг+ —; 2) = г1 1 — — — — ). Р ь~) 574. Построить (в левой системе координат) поверхность х г — дг = '1х и найти ее образующие. проходщцие через точку (3; Н 2). 575. Написать уравнение геометрического места точек, отношение расстояний от каждой из которых до плоскости х = 2а к расстояниям до точка Г(а; 0; О) равно сс2.
Построить поверхность, 576. Написать уравнение геометрического места точек, отношение расстояний от каждой из которых до точки г'(О; 0; 2а) и до плоскости в = а равно с/2. Построить поверхность. 577. Написать уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки Г( — и; 0; 0) и от плоскостсс х = — а. Построить поверхность. х 578. Найти наиболыпие круговые сс*шния эллипгоида + 169 г г + — '. + — = 1. 25 9 579. Определить круговые сечения эллиппс сеского параболоида х у —. + — ' =, проходящие через начало координат. 25 9 5 7. Эллипсоид, гиперболоиды и параболоиды 77 581.
Написать уравнения прямолинейных образующих гиперболоида из — уз+ т = 4, проходящих через точку (2: 4; 4). 582. Написать уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки Г(0; 0: а(2) и от плоскости - = — а/2. Построить поверхность. 583. Написать уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки Г(0; 0; п(3) и от плоскости л = За/2. Построить поверхность. 584.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
