Минорский - Высшая математика (1108568), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Форму.сы (5) и [6) называются усоуэвсулалссс Муавра. 5'. Формула !йлера: е'и = сов сс + с в!и сд. 6'. Логарифм комплексного числа: 1п = = 1и с + с,оо + 2йсгс, где сто значение аргумента сл удовлетворяющее неравенствам — т < < сд < я. Выражение !пг+ сссэо называется главным значением логарифма. 630. Выполнить действия: 1) (2+3!) (3 — 2г); 2) (а+5!) (а — Ьс); ,з . !+г 2с' 3) [3 2;)г.,1) )1+,)з. о) . 6) — 1+! 631. Решить уравнения: !) лз + 25 = О; 2) хз — 2т, + 5 = О; 3) х + йт+ !3 =- О и проверить подстановкой корней в уравнение. Следугсэщие комплексные числа изобразить векторами, определить ссх модули и аргументы и записать в тригонометрической форме: 632.
1) я = 3: 2) в = — 2; 3) л = Зс; 4) - = — 2н 633. 1) я = 2 — 21; 2) = = ! + !ъ% 3) я = — ьУЗ вЂ” с'. 'з 3. Кодсплексные числа 634. 1) — чу+ !сг2; 2) яп а+ ![1 — сова). 635. Числа, данные в задачах 632 — 634, записать в форме гез" [при — х ( Зе < )г). 636. !1остроить области точек по условиям: 1) , ~ < 3; 2) ~х < 2 и х))2 < се < гг; 3) 2 < =.~ < 4 и — л < се < — х/2. 637. Показатгн жо )а! — хз~ есть расстонние между точками и 638..[ана точка -о = — 2+ Зг.
Настроить область точек, для которых ~ — о~ < 1. 639. Число, сопряженное с ж обозначается через х.,г[оказатгч что х х=)в! . 640. Вьгчиелнть по формуле Муавра: 1) [1+ !)ш. 2) [1 — 1,/З)в) 3) [ — 1+ !)' 4) ([+сов — + )в)п — ) ! 5) [чгЗ+ г) 4 4~ 641. Выразить вш За и сов За через функпии угла и, используя тождество [сов а + г вш и) з = соь За + г яп За. 642.
Найти все значения х = сгТ и изобразить их радиус- векторами, построив круг радиуса, равного 1. 643. Найти: 1) ~~Т; 2) ~~'7; 3) ~~ — Х! 4) ~~ — 2+ 2). ВИ.Н П: 1) Ч: 25) * — ГГТ; 33) '/ ВСЯ''З 645. Решить двучленные уравнения: 1) хз+М =- О; 2) х4+! =. О. 646. Найти главное значение логарифма: 1) 1п [ — 2); 2) 1п [1 + !); 3) !и г; 4) [и [х+ дг); 5) !п [2 — 2!). 647. Найти сумму яп х+ вш 2х+ япЗх+...+ япих. ею~ е-хй Указание. !!е формуле '!йлера заменить яп х =, и т. д. 2) 648.
Найти сумму сов:г + сов 2х + сов Зх, +... + сов их. 649. )[оказать тождество тв — 1 = !х — 1) !хз — 2х сов 72 + 1))хз — 2х сов!44'+ 1). 650. Вычислит)и 1); 2) [о+ 5!)з — )и — 5!)з. 4+ 3! Следующие комплексные числа изобразить векторами, определить их модули и аргументы и записать в трип)нометрической форме и в форме ге"" [при — л ( д ( г,); Гд.4. Высшая а.тгсбрз 651.
1) - = 4+:1П 2) — = — 1+ ллг'ЗП 3) 2 = 1 — 1. 652. 1) 2 = 5; 2) = — 1; 3) -. = — ъ'2 — ~2. 653. Пострлигп область точек 2 по условиям 1 < ~.~ < 3 н т-!1< 1р < З.г,74. сов х + соь Зх + соз 52 +... + соь (2п — 1) х. 34. Уравнения высших степеней и приближенное решение уравнений 1'. Вубичсскос уравнение: 1" +ах +Ьх+с=О. Если хл, хг, хз корни уравнения (1), то уравнение можно записать в видо (х — хл) (х — хг)(х — тз) = О. Отсюда а = — (хл + хг + хз), б = 3132 + 3133+ 3223 с — 313223. Уравнение ха+ алг + бх+ с = О приводится к виду 23+ рг+ д = О а подстановкой х = г — —,.
Уравнение "3+рг+ 4 = О решается по формуле 3 Вардана: 42 рз,, (,г,з — — +1/ — + — + — —,— ~/ + =и+с. 2 1/ 4 27 2 Ч 4 27 г „з 1. Гасли гх = — + —, ) 4 27 Я1 С1. 1173, гдс ил и сл всщсствснныс значения корней а и с. 2 4 Р 31 Н. Если Ь = — + —,„= О, 4 27 2 ил+ Сл О, '10 21: а1+х1, 2,3 2 34 то 21 =— р 32: 3: —— 2р 654. Дана точка хо — — 3 — 41. Построить об.ласть точек, ддя которых ~ ° — о~ < 5. 655. Вычислить по формуле 51уавра: 3- п,6 1) 11 — 1)6:, 2) (2+логр22)3; 3) 1 1+ сов — +лап — ) 3 3 656.
Выразить сбп 4о и сов'1о через функпии угла о, используя тождество (соьо+гв1по)4 = соа4о+1ып:1со 657. Найти нсе значения корней: 1) ~ф — 1; 2) ~ъ'Т и изобразить их радиус-векторами. 658. Решить уравнения: .3 8 О. 2), 6+ 64 О. 3) .4 81 О 659. Найти сумллу ~см. задачу 647) Г з1. Уравнсния высших стспенсй ]БЕ Если Л = + < О, то г = 2)/ — — соз —, хт з = '2,„/ — — к <<' Р, Р ьс,.
Р— 22 -)/3 3 -)/3 Р ч! з х соа [ — ~ 120'), где соа<Р = — — , л3 /' 2/ 27 2'. Отделение в еще ст вс нп ог о корня уравнения <[х) = =- О. Между а и 6 содержится сдинствснный корень уравнения <'[х) = О, соли <" [а) и Д6) имеют разныс знаки, а Дх) непрерывна ка отрезке [а, 6] и внутри ного пъ<сст производную ут[х) ф О. Будем считать сщс, что на агом отр<*зкс и уа[х) ~ О. 3ь.
Способ хорд прибли<кепного решения уравнсння < [х) = О. Пусть ио тот из к<попов <ярсзьа [а, 6], отдс.яноша<о корень, ца которол< <[оо)ут'[<лЯ аг псрсссчения с Ох х У[6) — У[о) 6 — о 4'. Способ каса копцов отрсзка [а, 6], в к корню х будет точка дг пбрьсечег<ия с Ох каса<псльяой к кривой у < [х) в точке [Зо, Д[оо)] [рпс. 23): У[<ус) — 6< гдс 6< = У'[<Оо) При меняя повторно способ хорд и касательных, мо<кно составить таблицу ]П]У[о)]Х[З)]6]6<] Л [ 3д] Гл.
4. Высшая а.тгебра где х и 61 наклоны хорд и касательных, а У(о) „ , 1'(В) Последовательности получаемых и табчице (2) значений о н В сходится к искомому коршо. б'. Способ и т е р а пи й. Гели уравнение т'(х) = 0 можно припестц к виду х = 1е(х), причем в некоторой окрестности корин 1е'(х) ~ < 0 < 1 и хо,побое чпс;ю в отой окРестности, то сходЯщапсп последователы1ость приближенных решений будет 21 — 7(хп) х2 — 12(Х1); 13 — 22(22): В уравненинх задач 660, 661 среди целых множителей свободного глена подобрать один корень, разделить левую часть на х — х1 и затем найти остальные корни: 660.
1) та — 4тг+ х+ 6 = 0; 2) хз — 4хг — 4т, — 5 = О. Решение проверить гоставлением выражений :1'1+:сг +:гз; стиг + хг:гз +:1'1:гз:сгхгхз. 661.1) з бхг 2,1 ( 2:1=0; 2) 24+ ха+ 2х — 4 = О: 3) 9„з+ 18тг „, 2 0.,1),1хз 1тг+ х 1 О Решить по формуле Кардано следукэщие уравнения: 662 1) з 62 9 О. 2),з 12 16 0 663. 1) хз — 122 — 8 = О; 2) -3+ 6- — 7 = О. 664.
тз+ 9хг+!8т+ 9 = 0 665. Дано уравнение у'(х) = д:4 — х — 10 — О. Составив таблицу знаков у'(х) прп х = О, 1, 2, ..., опреде21иты раннцы полол1ительного корня и ш шкслить его с точностью до 0,01 по способу хорд и касательных. ,,з 666. 11огтроить график функций у = —,, определить графнче- 3' ски гранины корней уравнения ха — 6:с+3 = 0 и вычислить корни с точностькэ дО ЕдиниЦЫ трЕтЬЕГО ЗпаКа. 667. По способу итерапий (пос:пцовательных приближений) найти ве1пественные корни уравнений; 1) хз + 60:с — 80 = О: 2) 2ж 42.. 1) хз ( (гх (13 О. 4) 14 2х 2 О 668. Подбором одного корня среди целых множителей свободного члена решить уравнения: 1), в+8 г+ 16 +18 О. 2) з 3 2+4 Для проверки составить выражения ,'1, х„, 2, х,ху и 21.1гдз.
д Г4. Уравнения высших степеней 669. По формуле Кардано решить уравнения: 1) -з+ 18 — 10 = О; 2) -з — бя — 1 = 0: 31 гз — 3-+ 2 — 0; 4) ха+ бхз+ Ох+ 4 = О. .4 670. Построив график функпии р =, определить граннпы 5' корней уравнении х4+3:с — 15 = 0 и вычислить корни с точностью до 0,01. 671.
Найти с точностью до 0,01 положительные корни уравнений. Ц хз, 50, 80 О. 2> хз'+х ' 32 О 672. По способу итерапий найти вещественный корень уравнения х + 2х — 8 = О, вгдчисляя последовательные приближения по з форму.ге х = ~г8 — 2х. Глава 5 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 31. Переменные величины и функции 1'. Отрезки и интервалы. Множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам а < х < Ь, называется антереало.,н и обозначается (а, Ь). Множество чисел х, удовлетворяюших неравенствам а < х < Ь, называется отреэнон и обозначается с1а, Ь]. Эквивалентные неравенства (гсри а > 0) х <а, .или ]х <а, или — а<х<а определяют питерка.г, симметричный относительно нуля.
2'. П среме нцыс о еличины и функции. Если каждому значению переменной х поставлено в соответствие одно число, то переменная у, опредсляемая совокупностью этих чисел, называется однозначной Функциеа х. Пс.ременная:е называется при этом аргулсенто,н, а ванная совокупносгь значений аргуменге областью определенна функции. Тсб чзо у есть функпия х, символически записывюот в вице у = = У(х), и.ги у = Р'(х), или у = Зэ(2) и т.
гг. бзалсеол У(х) исси П(х) и т. и. обозначает закон соответствия переменных .г и у. сз частности, он может означать соеокупноссаь дсйссиьин' и.сн ттераций, которые нужно выпосшить нал х, чтобы получить соогветствукццсе значение у. 673. Построить области изменения переменной х, удовлетпоряюпгей неравенствам: 1) , ] < 4:, 2), ' < П; 3),, — 1] < 1: 4) — 1 < х — 3 < 2; 5) хэ > 9; 6) (х — 2)2 < 1, 674. Записать неравенствами и построить ингорвалы изменения переменных: [ — 1, 3]: (О, 4); ~ — 2, 1]. 1 675. Определить область изменения переменной х = 1 — —, где Ь принимает любое значение < 1.
В задачах 676 678 построить по точкам на отрезке х] ( 3 графики указанных функций: 676. 1) у = 22; 2) у = 2х+ 2; 3) у = 2х — 2. 677. 1) у = хз: 2) у = хз+ 1; 3) у = хз — 1. хз хз тз 678. 1) у = —; 2) у = — + 1; 3) у = — '. — 1. 3' ' 3 ' ' 3 Э 1. 11еременные величины и функции 6 679. Построить графики функций: Ц у = —; 2) у = 2т", 3) у = = !ойэ х. 1!акую особенность в расположении этих кривых относительно осей координат можно заметигьу 680. Построить на одном чертеже графики функций: 1) у = = вщ х; 2) д = сон х по точкам, в которых у имеет наибольшее, наи гепьгпее и нулевое значения. Сложением ординат этих кривых построить на том же чертеже график функции у = яп х + сое т,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
