Минорский - Высшая математика (1108568), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Рис. 26 пения ка" ел ных Д) Е3 задачах !)07 — 010 написать криным и строить кривыс и касатсль- ура ны: 3 07. ЕЕ кр вой в точке:с = — 1. О908. Н фллнойл !)~ = хлв точках х» = 0 и хзлл)у'!. ",с 8 909. П локону у = н точке х.= 2. х2 910. П синусоиде у = а!и х в точке х = и. 911. Под каким углом кривая у = ауп х пересекает ось Оху 912. Под каким углом перегекаются кривые 2у=ха лл 2д=8 — хзу 913. Найти длину подкасателькой, поды»рмали, касательной н нормали кривой: ! ) у = хз; 2) уз = х'» н точке х = !. 914.
Доказать, гто подкасательнан параболы уд = 2рх равна уд»»осиной абсписсе точки касания, а поднормаль равна р. 915. В уравнении параболы у = х" + бх + с определить б и с, если парабола касается прямой у = д: в точке х = 2. 916. Написать уравнения юпгательных к гиперболе ху = 4 в точках х» = 1 и хз = — 4 и найти угол между касательными. Построить кривую и касательные. !з 4.
Оду ~ан нейифференцнруемостн непрерыиной функпин 113 В задачах 917 9!9 написать уравнения касательных к кривым и построить кривые и касательные к ним: 917. у = 4х — гз в точках перт ечения с осью Оэь 918. уз = 4 — х в точках пересечения с осью Оу. 919. уз = (4+ х)з в точках перегечения г осями Ох и Оу. 920. Найти расстояние вершины параболы у = хти — 4х+ 5 от касательной к ней в точке пересечения параболы с осью Оу. 921.
11од каким углом праман у =- 0,5 пересекает кривую у = гоа х.' 922. В какой точке касательная к параболе у = хз + 4х параллельна оси Ох7 923. В какой точке параболы у = хз — 2э + 5 нужно провести касательную, чтобы она была перпендикулярна к биссектрисе первого координатного угла? 924. Найти длину подкасательной, поднормани, касательной и 2 нормали кривой у =, в точке х = 1. 1+ хв ьз 925.
Еакие углы образует парабо:ш у = — с ее хордой, аб- 4 списсы копков которой равны 2 и 47 9 4. Случаи недифференцируемости непрерывной функции 1ь. Угловая точка. Точка А)хь, уь) кривой д = Д!х) (рис 27) называется угловой, если в этой точке произваднаьь у' пе существует, но сущсгтвуют мсааэ и аргтаа разаич- Ьу ные производные: 1пп — ' = Й~ и аь-ь-о Лх Лу !пп — ' = ьх.
Из угаовой точки выак-ь+и тьх ходят два касательных луча с паклонамн 1ь и 1з. 2'. Точна в о з в р а т а г вертикальной касательной. Точка 77(хз, ух) (рис. 27) называется точкой еаэарата с вертикальной касательной, если в этой точке производная у' не существует, но сушествуют .асеан о праеаь бесконечные прааэьидньш разного знака (+ос н — ж). Такая тоньа явпяетсп час нее выходит один вертикальный касательны что из нее выходят два слившихся касатсльн Зь.'1'очка перегиба с вертнкааьн ка С(хз, уз) ~рис. 27) называется тачкаи' касательной, если в пей сушествует 1л. б.
Производная и Лиффереядиал у' = Вш — = !ня — ' = +оо (или — ео) В такой точке суплестлх-л-а Лх лл-л+о хтх вует вертикальная касательная. В точках Л и Л функция у = у[х) не имеет производной; в точке С она имеет бесллонечную производную. Во всех трех точках функция непрерывна, но нсдилдлулсрсяиирусла. 926. Построить ! рафик функции у = члхх (ил!! у = [х!) и найти левую у и правую у+ производные з угловой точке графика.
92Т. На отрезке [Ол 4] построить график функцилл у = О, 5х ,/! — Л(т лд . у д' ял Л Л' л» у ьг точке графика функции. 928. На отрезке [ — я, я] построить график функции у = ъ'ылл х и написать ураннения касательных н угловой точке крипой. 929. Па отрезке [О, 2п] построить график функции у = зЛ+ сон:а, написать уравнения касательных я угловой точке криной и найти у!о:! между ними. 930. На отрезке [ — 2, 2] построить график функдии у = ъ'хт и написать уравнение касательной з точке х = О. 931.
Па отрезке [О, '!] построить график функции у = 1 -0 — угн ' '* ЛЛ х = 2. 932. На отрезке [ — '2, 2] построить кривую уз = 4х и написать уравнение касательной к ней з точке х =- О. 933. На отрезке [О, 4] построить кривую уз = 4[2 — х) и написать уравнение касательной к яей н точке т, = 2. 934.
На отрезке [О, я] построить график функции у = 1 — ллссоах х. и написать уравнения касательных к криной н угловой точке. 935. На отре,лке [ — 2, 0] построить график функции у — и!(Л1Г ~ яп! ° «.:, Вн р Л точке д = — 1. 936. На отрезке [ — 1, 5] построит! график функции у = !х — хт! п написать ураанения касательных в угловой точке х = 0 и найти угол между ними.
3 5. Производные логарифмических и показательных функций Основныс формулы: ! [!о лл):; [е ): е' и (а") = а" 1по и . 'З б. 11росссссзссдссьсе логарифмических и показательных функций 11о Найти производные функций: 1+!пх 937.Цд=х1пх: 2)д=; 3)у=18!бх) 2 1 938.Ц у=1пх — — —; 2) у=!сс!х +2х). 2 .2' 1 ° д 839. Ц у = 1п (1 + сов х): 2) у = 1п в!сс х — — гбп и. 2 940. у = 1п (. сх + з,сд: + 1) .
ад+ хт 941. у = 1п... 942. у = !и ат — хх х2 тс х 1+ 2т 943. у = 1п1п ( — + —,). 944 у = 1п с)с 4 2 с1 — 2х 945. д =!и (х+ ттаи+:ги). 946. у = 2т/х — 41п (2+ тсх). сов х :с Х 947. Ц у = +!п!8 —; 2) у = 1п а111 х 2' ъ~1 — ах" 948. Написать уравнение касательной к кривой у = 1п х в точке пересечения ее с осью Ох. Построслть кривую и касательную. тд 949. Показать, что парабола у = — касается кривой у = !их, 2г и найти точку касания. Построить кривые. Найти производные функций: 950. Ц д = хи + 3'; 2) у = хи 2"; 3) у = хде'.
951. Ц у = и""': 2) у = е: 3) у = стае 952. у = 2(г' с~ — е ' с~). 953. у =,схе'.с . 1+с х 954. у = 955. д = е уч сов —. 1 — е' а 956. Ц д = с (к1сзх+ сояд;): 2) у =!п (г + хе '). 957.д=!и, . 958.у=(г'' — с: хи+ 1 959. /'!4) = 1и (1+ сс дс); найти ~'(О). 960. Под каким углом кривая у = еи" пересекает ось Оу? 961. Доказать, что длина подкасательной в:побой точке кривой у = сг?ч равна а. Гл. 8. Произвеьтная и дифференниял 962. Г)редварительиым логарифмированием найти производные функций: Ц у = ж', 2) у = л"" Найти производные функций: 1 963. у =!п сов н — — сонг дн 2 964. у =!п (т/т — т/н — 1). 968. у = 1п вм.р =~ и, .+/гтыо. т: 1 967. у = 1и . 968. у = — )п1~ т +!псов л.
„/1 г' 2 в)п 2з 969. у =- 1п, 970. у = — 1п (1 + вес а), 1 — в)п 2:г 971. у — а)п ( гн + а + /н) — т/тг + ась а 972. у = еге '/" + те '/'. 973. у = — Ге'/'+ е и/"). 2 е'+ е 974. у = 978. у = )п Гег' + ь/ез' + !). еи — е ги 976.
у = Ггг ~/, 977. у = тг/г. — 1~ с~-+1 3 6. Производные обратных тригонометрических функций и (агсвш и) т/ 1 — а О' Гагс18 и)' = ог' Гагссов и) ь/à — ив и Гагссгй и)' =— 1+юг )!айти производные функций: 980. д = ь/1 — иг + агсып гн 978. /" Г/) = 1и; найти /" (л/5). 2+ 161 2 — 161.' 979. Написать уравнение касателыгой к кривой у = 1 — е'/г в точке пересечении ее с осью Оу.
Г!встроить кривую, касательную и асимптоту кривой. В 7. Иунаиоиодиг!е гннербовн ческих функций 117 982. у = агсяп ~'Т вЂ” 4х. 981. у = х — агс18 х. 983. у = агсяп —. 984. у = агссп —. и и 1+х 985. у = юхсоя (1 — 2х). 986. у = агсс18 1 — х 987. 1) у = х~/1 хз+ агсяп х; 2) у = агсяп !С1~ ). !+х 1 988.
у = агсгд х +!п ) ! . 989. у = атосов — — х х а 990. у =,гагс1п — — — )п (х + а ). а 2 Найти производные функпий: 991. у = агсяп ~/х. 992. у = агс1,8~~6т — 1. 1 993. 1) у = агссов (1 — хх); 2) у = агссгд х — —. 994. у = с,/à — его + агсят е . 995. у = х атосов:с — чУТ вЂ” хх. ех' +1 996. у =- агсгп ехх + 1п ~/ аг' ехх — 1 тЛ 997. в = ъ'41 — Ух + 4 агсч!п —. 2 ааа. а —,1Г: а -а,/Ь Б'.
999. У!х) = (х+ 1) агсгпс х."". найти 1"1(0). 3 7. Производные гиперболических функций НЬх сЬх 1Ьх= . сгЬх= сЬх ВЬх ее — е нЬх=, сйх= 2 СК+ е 2'.Свойства гииерб 1) сЬг:с — НЬг а: = 1; 2) сй ах+ ВЬ:с = ей 2х; 3) ВЬ2х = 2ВЬх сЬх; онических функций: 4) ВЬО=О, сЬО=1; 5) (ВЬ с)' = сЬ х, (сЬ:с)' = НЬ хц 1, 1 О) (11 !В)' =,, ~С11~ х )' =— СЬО г ВЬО х ее — е е е* + с 1а. 0 п р е денс пня.
Выражения,, и пх Отноше- 2 2 нин ивзыВвютсн сооткаг!ттежшао гннепбо,анческ1и1'и 1гннпсом, носонпсо.иа танеснсои и нотангснсож и обозначаются Гл. б. Проноводвая и дифференциал Найти производные функций: 1000. 1) у = зЬг х; 2) у = х — Е)ч х; 3) у = 2~сЬ т — !. т, х 1001. «(х) = зЬ вЂ” + сЬ вЂ”; найти «'(О) + «(О). 2 2' 1002. Ц д = !и [с)г х]; 2) у = )Ь х + ст)г х.
1003. 1) у = х — с)Ь:г: 2) д = )и ())ч х). 1оо4.В ° =„„;,НВ; 4 1=Д+ Рп. а Х 1005. Линия у = — (ею" + е ' ") = а сЬ вЂ” называется пенной. 2 а, Написать уравнение нормали к этой линии в точке х = и. ))остроить кривую и нормаль. 1006. Написать уравнение касательной к кривой у = зЬ х в точке х = — 2, Ностроюгь кривую н касательную к ней. 1007.
Доказать, что проекция орпппаты любой точки пенной липни у = и сЬ вЂ” на ее нормаль есть величина постоянная, рава ная а. 38. Смешанные примеры и задачи на дифференцирование Найти производные функппй: т гп 1008. 1) у = + агсз|п —; 2) у = + !псов:г. х х' 2 1009. у = тЛх — 1+ агсс)а т«)х — !. 1010.
г: = !и (е '+ Ц вЂ” 2 агс)8 (е'). 1011. у = ! )и (: й) + Ухг — йх. 1012. а = — 18 1 — — Г8 т — )и (созт). и г 4 2 1013. «(х) = (хг + ог) агс)8 — — ох; найти «'(и). а аг 1! 1014. Ц у = )и х — — ~; 2) у = х(соз)па +з)гг)их). т,— ! 1015. «(х) = агсв)п; найти «'(5). и 1016. фи) = е 'Уч соз —; показать, что уо(0) + ир (0) = О. а' 119 ~з а. 11ронзводные высших порядков 1017. /'(у) = агс1е — ' — 1п ~фу4 — ав; найти ~'(2а). сов 1018.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
