Минорский - Высшая математика (1108568), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Скор о сть и у скор ение Пусть точка дана|ется по оси Ох и в момент ! имеет координату х = т'!О. Тогда в момент ! Ьх бх скорое~па и = 1пп — = —, в| — ~а |л! М ,|и,!и 12 . ускорение м = 1ш| — = — = пу- о тт! ~!! г?!д 1090. Зенитный снаряд выброшен вертикально веера с начальной скоростью а и/с. На какой высоте х он будет |еред ! секунд? Определить скорость и ускорение движения снаряда. Через сколько секунд снаряд доспл| нет наивысшей кочки и на каком расстоянии от земли? !3 1091. Тело движется по прямой Ох по закону т, = — 2!в+ 3!. 3 Определить скорость и ускорение движения.
В какие моменты тело меняет направление движения? 1092. Колебательно| движ|нне материальной точки совершается по закону х = асовю1, Определить скорость и ускорение ,унижения в точках х = жа и х = О. Показать, что ускорение г! х — и ож|лонение х связаны «дифференциальныма уравнением Йз ,,2 глв 1093. Враща|ошеегя маховое колесо, задерживаемое тормозом, за ! секунд поворачивается на угол ул = а + Ы вЂ” г!т, где а, 6 и с положительные постоянные.
Определить угловую скорость и ускорение вращения. Когда колесо остановится". 1094. Колесо радиуса а катится по прямой. Угол ~р поворота !д колеса за ! секунд определяется уравнением р = 1+ —. Определить 2 скорость и ускорение движения центра колеса. 1095. Пусть с скорость и и ускорение точки, движущейсн по оси Ох. Показа|по гто ш с!х = о г1о. Гл. 7. Приложения прггнггводггг[й 128 1090.
Точка движется прямолинейно так, что и = 2ах, где о ,2 скорость, ж пройденный путь я а постояшгая. Определять ускорение движения. 1097. Тело с высоты 10 м брошено вертикально вверх с начальной скоростью 20 хг?гс. На какой высоте т: оно будет через ! секунд'? Определить скорость и ускорение движения. Через сколько секунд тело достигнет наивысшей точки и на какой высоте? 1098. Сосуд в форме полушара радиуса Всм наполняется водой с постоянной скоростью ал?гс. Определить скорость повышения уровня на высоте уровня Ьсм и ноказат[о что она обрапго пропорциональна плошади свободной поверхности жидкости. ?г '[ Указание Объем шаРового сегмента !г = ггЬз г! — — у!.
Обе 11,] '! части этого равенства нужно продифференциревать по С причем = а г?! (по ус.юаню). 1099. Зависимость мелгду количеством т, вешества, полу гаемого в некоторой химической реакпии, и временем ! выражается ураансписм Ю = Х!(! — Е 6'), ОнрсдспитЬ СКОрОСтЬ рсаКдии. [!уз Ла.! 1100. Пусть угловая скорость = ю, угловое ускорение г?6 ' ' ' [2 аг(ю') = н. Показать, что = 2н, 8 2. Теоремы о среднем 1'. Теорема !'опля. 1:ели 1(ж)г Ц непрерывна ва отрезке (а, 6], 2) имеет [грена[гоги[у!о внутри него, 3) Т(а) = /'(6), то между а и 6 ггайЛетгп такое а = с, при наторев! Тг(с) = О.
[(6) — Х(а) = (6 — а)[г(с). (2) 3'. Те о рема !! о ш и. Гели т(н) и Гг(а)г 1) непрерывны на отрезке (а, 6], 2) имеют нроггзВОпгг! ге внутри нгюо, !0[и п[м уа (и) ф О, 'го между а и 6 найдется такое л = с, при котором г(6) — ["(а) ["г(с) 1а(6) — е (а) уаг(с) (3) 2'. Теорема Лагранжа. Гели 1(гг)г !) непрерывна на отрезке (а, 6], 2) имеет производную внутри него, то между а и 6 найдется такое л = с, при которогл Э 2. Теоремы а сре:!нем 129 Эти теоремы носят назяанпе теорем о среднем потому, что н пих говорллтся о некотором значении и = с, среднем мезкду а и 6.
Геохлетрически теоремы Ролла и Лагранжа утверждаклт, что на дуге ,4В непрерыаной кривой у = /(х), имеющей и калкдой точке определенпун~ касательную и не име1ощей точек возврата, найдется вяутрю~щя точка, касательная в которой параллельна хорде АВ. На дугах, содержащих угловьв. точки илн точки возврата, условия теорем о среднем, очевидно, не пыполнены. Теорему !'опля в частном слл"лае при /(6) = /(о) = 0 формулируют так: между двумя корнями и и 6 функции /(х) найдется по крайней мере один корень ее производной /'(х), если /(х) непрерывна на отрезке (а, 6] и имеет производную внутри него.
1101. Проверить, чта между карнямп функции /(х) =:с — 4х + + 3 находится корень ее производной. Пояснить графически. згэ 1102. Применима ли теорема Ролля к функции /(х) = 1 — лл хэ па отрезке [ — 1, 1]? Пояснить графически. 1103. Построить дугу АВ крзлвой у = гйп з: на отрезке [ — х/2, я/2]. Палему на дущ нет касательной, парадлельной хорде АВ! Какое из условий теоремы Ролла здесь не выполнена? 1104. В какой точке касательная н параболе у = хз парал- лельна хорде, стягиваклшей точки А( — 1; 1) и В(3; 9)? Пояснить графически. 1105.
Написать формулу Лагранжа для функции /(х) = хз на отрезке [а, 6] и найти с. Пояснить графически. 1100. ))вписать форьлулу з)агранжа для функции /(х) = л/х на отрезке [1, 4] и найти с. 1107. Паказатлн что на отрезке [ — 1, 2] теорема,л)агранлка нез, применима к функциям — и 1 — ух'. Пояснить графически. 1108. Построить АВ кривой у = соах[ на отрезке [О, 2л/3]. Почему на дуге нет касательной. параллельной хорде АВ? Какое из услопнй теоремы .)агранжа здесь не пыполнено? 1109. Пусть /(х) = л ' (т при х[(2, > 2' Построить график этой [1 при х[ ) 2.
функции и, взяв на нем тачки О(0:, О) и В(2; 1), показать, что между О и В на этом графике нет точки, касательная в которой была бы параллельна ОВ. Какие условия теоремы Лагранжа для этой функции на отрезке [О, 2] выполнены и какие нет? 1110. Поезд пролпсл расслояние между станциями со средней скоростью оа = 40км/ л. '1аорема Лагранлла утверждает, что был момент движения, в который злстллнная (а не средняя) скорость яа движения — была равна 40 км/ч. Показать это. Й Гл. 7. Приложения нренюнояной 130 х д(х) ! 6 у(6) и 5(и) ! Ф(х) = получить теорему!!агранжа.
Выяснить геометрическое значение функции Ф(х). ! (6) — Д(и) д '(с) 1112. Написать формулу !!оши . =, . для функд(6) — р(и) ~р'(с) ций д'(х) =:г и р(х) = х и найти с. 1113. Геометрически теорема !гоши утверждает, что на дуге кргшой х =:о(!), у = )(!) для зяачений Е на отрезке а ( 1 ( 6 найдется внутренняя тачка, в тоторой касательная параллельна хорде, если функпии р(Х) и д (Е) на отрезке [а, 6) удовлетворяют условиям теоремы Еошн. Показать зто. 1114.
Написать формулу Лагранжа в виде д"(х+ Ьх) — /'(х) = = Лт!'(х+ Вяхх), гце 0 < В < 1, для функций: 1) у(х) = ха; 2) у(х) = хз, и показатгм что для первой функции В не зависит от х, а для второй зависит от х н хйх. ! 1115. Показать, что уТ01 = !О + — !О, 05. 2ЛОО+В 1118. С помощью формулы Коши доказать, что если у(о) = )'(о) = )'н(о) = ... = )'!"-')(0) = о., .Г(х) Х!н)(Вх) то и.' где 0 < В < 1. 1117.
!!вписать формулу Лагранжа ! (6) — ! (а,) = (6 — и) у (с) для функции ! (х) = хз и найти е. 1118. Написать формулу Лагранжа и найти с для функций: 1) Д(х) = агсЦх на отрезке [О, !]; 2) Д(х) = агсаш х на отрезке [О, Ц; 8) Г(х) = !и х на отрезке [1, 2), 1111. Дано, что Дх) непрерывна на отрезке [а, 6) и имеет производную в каждой точке внутри яего. Применив теорему Ролла к функции 3 3 Раскрытие неопределенностей. Правило с?опахала !3! 1119. Написать формулу Коши и найти с для функций: 1) вша и совх на отрезке [О: л?2]; 2) х~ и т/х на отрезке [1. 4]. 1120.
Построить график функции у = [х — ! на отрезке [О, 3]. Почему здесь нельзя провести касательную, параллельную хорде? Какое из условий теоремы Лагранжа здесь пе выполнено? 1121. В какой точке касательная к кривой у =. 4 —:гх параллельна хорде, стягивакнпей точки Л[ — 2; О) и В[1; 3)? Пояснить графичегки. 3 3.
Раскрытие неопределенностей. Правило Лоииталя !'. Неопределенность Если !пп У[х) = 1ш1;о[х) = О, в — >о в — >ч ний сущсствтст. 2'. Неопределенность Найти пределы: а!п Зх 1122. )пп — ~о х гх — 1 1123. !пп в!и 2д х — ! и — ~о х — а 1124. )пп ~ч д.в Од ! — соь ах 1126. Пш — ~о ! — совб:г 1125. )пп х->1 1127.
!пп !их ! — соя х 18х — в!и х 1129. !пп — ~о х — в!п х !п:с 1131. )пп е-усе х !пп з !Кх 1133. )пп х->а?т 1~", Зх Если !пп Д[х) = !пп р[х) = ~ у-~а е — >а пий существует, 3'. Неопределенности 0 ск определенностям — и путем 0 .г — Б!п т, 1128. )пп — ~о хз х 1130. !) !пп —: 2) е->+сс та !п,г 1132.
Пш — ~о г!Пх 0 — Первое правило Ловителя. 0 Х[х) Х'[х) то !пп = !пп, когда последх-~а !с(х) т-~а р'[х) ' — Второе правило Лопиталя. у[х) . у'[ ) то Пш = !пп,, когда последе-~ч ~р[х) е-~а ~р'[х) 0. ~, ос — оо, 1~ и Ое сводятся к нс- алгебраических преобразований. Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
