Минорский - Высшая математика (1108568), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Г(г) =; показать, что Г ( — ) — 3Г' ( — ) = 3. 1+ ! 2г' ' (,4) (,4) 1 1019. Показать, по функция в = удовлетворяет диффе11п с1 Пг ренпиальноиу уравнению 1 — + в = — 1в~. Й гз 1 — с 1020. Показать, что функппн х =, удовлетворяет диф21з г(х гз ференциальноиу уравнению 1 — + 2х = е 41 8 9. Производные высших порядков Пусть мы нашли для фунггпигл у = 1 (х) ее производную у' =.
У'(х). Производнаи от атой производной нввываетсн производной второ~о порядка функпии з'(х) и обозначается у или 1' (х) или ' . Аналогично д'у определнготсп и обозпачаютсн т т производная третьего порядка уп' = тт(х) = г1ха ' гч гч д у производная четвертого порядка угг = тгг (х) = —, дхв' и вообще а !/ производная и-го порядка уг"! = 11п1(х) = д.
и 1021. Найти производную второго парилка функции: 1) у = сйп х; 2) у = 1пх; 3) у = ъ'1+ хл. 1022. Найти производную третьепв порядка функдии: 1 1) у = сов~ з:: 2) у = —: 3) у = х гйп х. ~.2 ' 1023. Найти производную третьего порядка функции: 1) у = х1пзк 2) г =1г ', 3) у = агс1п —. а 1, 1 Пз.в 1024. в = — ьг2 — 1з+ агси1п: найти 2 /2 ' г!1з Найти проигпюдную и-го порядка функции; 1025. 1) е ега; 2) !их: 3) - 'х.
1026. 1) х"; 2) а(гтх; 3) соа" и. 120 Гл. 6. Производная и дифференциал 1027. Последовательным дифференцированием вывести формулы Лейбница: (ио)а = иао+ 2и'о'+ ио"; (ио)~~ = и~~о+ 4ии'о'+ билни+ 4и'оа'+ ил ~~ и т. д. 1028. По формуле Лейбница найти производную второго порядка функции: 1) у = еасоьт; 2) у = аахз; 3) у = хгзшх. 1029. По формуле Лейбница найти производную третьего порядка функции: 1) у е — ччшх. 2) у х,21нх.
3) у тсочх 1030. ) (х) = геаУ', найти ) а'(х), 11"1(х), 11"1(0). 1031. Цх) = (1+ х)'"", найти ДО), )'(О), У"(О), )'"(О), ... ..~ ч) С0) 1032. )'!х) =; показать, что при п ) 2 .Т+х 1 3 5.....(2тг — 3) 2" 1 1033. )'!х) =,; показать, что г Гп! при п = 2тн, У- (0) = с', ~0 цри и=2га — 1. У к а з а н и е.
Применить тождество 1 !( ! 1 + .г 1034. Продифференпировав топ'лестно !х — 1) !хг + хз + ... ... + хо) = х" е' — х~ три раза по т и положив затем т = 1, найти п 1и+ 1)тг(т~ 1) сумму ~; А'!Й вЂ” 1) = и затем сумму квадратов ь=! 3 чисел натурального ряда 6 ь=г 1035. Найти производную второго порядка функции: .г х Ц д=е ": 2) у=с!цх; 3) у=агсаш —. 2' 121 З 10. Производная неявной функции 1036. Найти производную и;го порядка функции: 1 Ц , х.
2) . 3), , д 1+ 2х 1 1037. Дх) = агсз1п —; найпз Д2), !'(2) и з'а(2). 1038. По форъзуле Лейбница найти прои;зззоднукз третьего порядка функции: Ц у = л зе', 2) д = ха як —; 3) у = зг/'(а —:г) + 3!(а — х). 1039. Показать. что функция у = е соя х удовлетворяет дифференциальному уравнению у + 4у = О.
1040. Показать. что функция у = те ззв удовлетворяет уравнениюх'у — ху+д=О. зз(п — 1) ( — 1)" 1041. Дх) = хзе 'з"; показатгп что з"!н1(0) = — — — — — — —. аж 2 1042. Дх) = е ': пока, зать, зто Г!-1<0) = 21зз ~) Г<п- )<О), Г! . — 1!О) = О, ! ™ (О) = !-2)ч'(2пз — 1)(2т — 3) ...
5 3 1. 1043. Дх) = т"'; показать, что 3 10. Производная неявной функции Если уравнение 1г(х, у) = О, нсразрешеппое относительно у, определяет у как однозначную функпшо х, то у называется неаеяои' функцией х. Чтобы найпл производнупз у' отой неявной функшш, нужно обе части уравнения У !х, у) = 0 продифференцировать по х, рассматривая у как функцию от х. Йз полученного уравнения найдем искомую производило у'. Чтооы найти у", нужно уравнение Г(х, у) = 0 дважды продифференцировать по х и т. д.
Найти д из уравнений; хз уз 1044. 1),гз+ уз = аз; 2) уз = 2рх; 3) — — — = 1. 1045. 1) ха+ ху+ ух = 6; 2) ха+ уз — ху = О. 1040 Ц „тзз+ у'зз = аззз. 2) сж — с-"+ ху = 0 1047. е" аш у — е ч соа х = О. 1л. 6. Ироиоводаая и Лифференниал 122 1048. х = у + ассе!8 у а 1049. е' " — х + у = О; найти — ' при х = О. г э у Их 1050.!!айти да из уравнений; Ц хг + уг = аг; 2) ах+ ду — ху = с; 3) х~у" = !.
хг уг 1051. †, + †, = 1: найти уа в точке (О, :Ь). аг дг 1052. !!зписать уравнения касательных к кривой т;г+уг+ !ив — 2у — 3 = О в точках пересечения ее с осью Оу. 1053. Найти точки пересечения нормали гиперболы хг — дг = О, проведенной из точки (5; 4), с асимптотами. 1054. Напгюать уравнение касательной в точке (хо: уо) к кривой: ,г дг 1) — + — ' = 1; 2) уг = 2рт,. аг бг 1055. Написать уравнения касательных к астроиде хгуз+угдз а ' в точках пересечения ее с прямой д = т.
гга 1056. Под каким углом пересекаются кривые дг = 4ху х +у =5 и 1057. Найти д' нз уравнений: ,г г !) —, + —, = 1; 2) ха+ уз — 3аху = О. аг бг 1058. Найти уа из уравнений: !) х — у = аг; 2) (х — о) + (у —,,'3) = В'; 3) атсСцу = х+ у; 4) хг+ хд+ уг = аг. 1059. Написать уравнения касательных и окружности .сг+д + + 4с — 4д+ 3 = О в точках пересечения ее с осью Ох. Построить окружность и касательные. 1060. Написать уравнение касательной к эллипсу хг+ !уг = 16 в точке.
в которой делится пополам отрезок касательной, отсеченный осями координат, и которая лежит в первой четверти. аа 1061. 1е '1г -!- ас Ь'г = 2:, найти — при 1 = О. су с!х 1062. ! !и х — х !и 1 = 1: найти — при ! = !. аг 1063. хг сйп у — соа д + соа 2д = О; найти у' при д = л/2. 3 1 1. 21пффереицвал функцвэг 3 11. Диф ф ер енциал функции Голи функция д = 11х) диффсренпирусма в точке х, т. с. имеет и Ьд отой точке копсч~уп) производную д', то * = д'+ о, где а — ь 0 при Ьх Лэ: — ь 0: отсюда Ьд = у'Ьх+ еЛх.
1 лаенод часть у'Лх приращения Лу функции, иаксйкав относи тельно Ьх. яа,зывастсп диффсрснцоаиож функции и обозначается г1у: дд: у Лхь 12) Положив в формуле (2) у = х, получим дх = х'Ьх = 1 Лх = Лх, и повтому ду = д'дх. ~3) Формула 13) верна и в том случае, сспп х есть функция новой персменной С Из 11) следует, что Лд ду, т. с.
при достаточно малом дх = Лх приращение функции приближенно равно ее дифдэерснцоаид. В частности, лля,зинсйпой функции д = а;с ь б имеем. Ьд = дд. Найти дифференциалы функций: 1064. 1) у = х"; 2) у = хз — Зхг+ Зх. 1068. 1) д ( — + асс!8 — ); 2) д1о+1по); Г 1~ 3) д (соь — ); 1) д ~згсьйп — ~ . 2 Х 1069. 1!вхождением дифферецдиала каждого члена уравнения ду найти — пз уравнений: дх 1) тг+ уг а', 2) ту = иг;,'1) хг ту — уг 0 1070. 1) у — — хг; найти приближенно изменение у !ьлу ду), когда х изменяется от 2 до 2,01; 2) у = -.гхс; найти приближенно изменение у, когда х изменяется от 100 до 101.
1071. 1) Сторона куба ь = б и ж0, 01 и. Определить абсолютную и относительную погрешность прн вычислении обьема куба. 1066. !) д= дй+ 1066. Ц г = 2сэ — в1п 2уц 1067. 1) д)з1п~1); гг 2) а=— 2 1 2) и= —,. 1г" 2) д!! — сов и). 1л. б. Производная и дифференниал 124 2)'2'т 2),;[лина телеграфного провода в = 26 ! + ), где 26 3!22 ) ' Найти дифференциалы функций: 1 1 1074. Ц у = — — —,; 2) г = сов (а, — 6р); х хг 1075.
1) у =!псозх: 2) г = агс!8,~4и — 1; 3) в = ~Т вЂ” !2 3) в=с 1070. 4) л!! 'х+ 4); 2) е?1!По — о); 3) г?16! — е ы). 1077. !) у = хл: определить Лу и л?у и вычислить их при изменении х от 2 до 1,98. 2) Период колебания маятника Т = 2п ~7/980 с, где ! длина маятника в сантиметрах. Как лугано изменить длину маятника ! = 20 ем, чтобы период колебания уменьшился на 0,1су 3) С какой точностью нужно измерить абсциссу кривой ху = = 4 при х ) О, 5, чтобы при вычислении ее ординаты допугстллтл погрешность не более 0.,1. 312.
Параметрические уравнения кривой !!усть кривая задана параметрическими уравнениями г: = Д!) и у = 5а(!). Обозначая точками производные по параметру, найдем: !г ,!2 4. в 1078. Построить кривые по параметричегкилл уравнениям: 1. рл Ц х=1~ у=-!л 2) х=1~, у= —, 2 3 Исклллочив из уравнений С написать уравнение каждой кривой в обычном виде: 1' (х, у) = О. расстояние между точкалли подвеса, а у' наиболыпий прогиб. !!а сколько увеличится прогиб 5', когда провод от нагревания удлинится на лж? 1072. 1) С какой точностью нужно измерить абсциссу кривой у = х ° ?х при х ( 1, чтобы при вычислении ее ординаты допу- ,.2 стить погрешность не более О,Г? 2) С какой относительной точностью нужно измерить радиус шара, чтобы при вычислении обьема шара допусплть пол рошность не более 1'%7 1073. Определить приближешло: 1) площадь круговоло кольца; 2) объем сферической оболочклл.
Сравнить с их точными значениями. Г) 12. Г1арвме грнческгге уравнения нрнвон Принести к виду 1г(х, у) = О (гглгг у = ~(х)) уравнения кривых, заданных параметрически: 1079. 1) х = а со, 1, у = Ьзгп1; 2) х = асоаз1, у = аыпз1. с+с е — с: 1080. 1) х = - — —; — — У = 2 ' 2 2) х = 1ц1, у = сов 1. 1081. Построить вразверткув, или вэвольвентуг, круга (свг. заддчу 368) т. = а(сов 1+ 1згп 1), у = а4вгп1 — 1соа1), давая 1 значения: О, ягг2, и, 3нгг2, 2н, 1082. Положив у = х1, получить параметрические уравнения «декартова листва ха+уз — 3аху = О (свг.
задачу 366) н исследовать движение точки по крнгзой при монотонном изменении 1: 1) от О до +ж; 2) от О до — 1; 3) от — эс до — 1. 1083. Написать уравнение касательной к пиклоиде (свг. задачу 367) х = и(1 — з|п1), у = сг(1 — сов1) в точке, где1 = я/2. Построить кривунг и касательную. 1084. Написать уравнение касательной к гипоциклоиде (встроиде):г = а сгозз1, у = а ага 1 в точке 1 = ягг4. Построить кривую и касательную. У к в з в н и е. Пля построения кривой составить таблицу значений х и у при1= 0; т,сд; я,12; 3в,14 пт. л. с1 у 1085. Найти — — из уравнений: стх 1):е = а соз1, у = азгп1; 1з 2) х=1т, у= — — 1:, 3 3):г = а(1 — агп 1), у = а(1 — соа1).
1080. Построить кривые, заданные параметрическими уравнениями: 1) " = гй — 1, у = > — 41т; 2), = 1, у = 1т — 2, найдя точки пересечения нх с осями координат и заметив, что для г1у второй кривой — = сс при 1 = О. Написать уравнения кривых в пх виде Г~х, у) = О. 126 Гл. 6. Производная и дифференциал 1087. Написать уравнение касательной к цнклоиде х = аН вЂ” яп Г), 9 = а(1 — солт) в точке г = Зл/2. Построить кривую и касательную. 1088. Написать уравнение касательной к развертке круга х = аГсов~+ Е в|в Е), у = а,(ьвп М вЂ” Е сов Е) в точке т = л/4. Ру 1089. Найти ', из уравнений: цха 1) х=2соа1, й=яп1; 2) х=Р, 9=1+Р: 3), те,з1 Глава 7 ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ 3 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
