Минорский - Высшая математика (1108568), страница 23
Текст из файла (страница 23)
7. Приложения с«!«г«ссг«нод«той Найти пределы: сал — ес'л 1144. )пп ' — ю япх .г — агс18 х 1145. )пп и — «о х' а" — !«с 1147. !!ш — «о фдх ! — тах 1149. !пп — соа йх !их, 1151. !пп — «с 1 — ха 1153. !!пс хП!' х!. с — «1 ! — янах 1146.
!сш -«ч!х (2ах — гг) и ! — 2япх 1148. !пп л — «ч/6 сов Зх 1150. !ш . — о !«с (1+ 2х) 1152. !пп (1 — еис')сфх. .«,-«о ! 1154. Дш — — ). 1155. !пп (ссл+ х)с« — «о' хяпх хх) ч — «О х 1156. Докааать, что црн х — «О агсвшх — х 6 1134. !сш (гг — х) !ц —. 1135. )сш х !и х. л — «ч 2 х — «о 1136. !пп х" с ". 1137. !пп х". х — «+х г-«о 1138. !!пз (а!пх) а"'. 1139. !гпс ~1+ — ) „с .. гг Ззс" х-«о и — «а«Х 1140. !!прегсетс«стч порп,сок бесконечно малой хе' — яп х относительно х — «О. 1141. Доказать, что цри:г — «О: х' а 1) х — агс1дх; 2) ах — бх х!и —; 3' б 3) с~ч — ! — 2х 2х~; 4) 2х — !и (1+ 2х) 2хт. тз 1142. Докааать«что (пр«з х — «0) х — аш х — и отсю.са як х 6 х с погрешностью, приближенно равной х'/6.
Вычислить аш 1' и вш 6' и оценить погрешность. 1 ох 1143. Доказать. что (цри о — «0) ~«Т+ о — 1 — —,и 3 9 1 од и отсюда ~««1+ гх ! + — о с посрешпостью —. Вычислить 3 0 ф!, 006, с 00,001, с«65, тс'22ТО и оцепить погрепшость. б 4. Всхл!лагталллле и убывание фуняплия ст а 1157. Доказать, что (при сь -4 О) сл! + сх — 1 -- — — и 2 8 а аэ отснлда мл1 —; сл 1+ — с погрешностью, приближенно равной —. 2 8 Вычислить |/Т, 006, члГ004, хллбл 998, ьл!), 004, ьл65, ьл85 и оценить погрешность. В 4.
Возрастание и убывание функции. Максимум и минимум ! '. О и !л е д сл л с н н я: 1. Функция 7(х) называется возраслтиюлллглл в точке хо, если в пе; которой =--окрестности этой точки йхо — !л) < Х(: о) < л'(хо + !л) прп любом положительном 6 < в. Н. Функпия )(х) называется возростав щей ка, олпргзке [а, б], егли зля любых хл и хэ на этом отрезке !(лгл) < 1(.гэ), когда хл < гэ. Аналогично определпеття убывание функции в точке н на отрезке. НЕ Функция ) (х) назьсвзется имеющей зт.трсжуж (жслксижуж или .лшникУк) а точке хо, если У(хо) Ялллаетсн наибольшилс или наименьшим значением фувкллии в некоторой двусторошсей окрестности этой точки.
2'. Достаточяые при знати возрастания я убывания функции у = у(х) (в то псе н на слтрезке): если у' > О, то функция возрасалает; если у' < О, то функция убывасли. 3'. Необходимое условие экгтреалхэла. Функция у = )(х) может иметь экстремум только в точках, где у' = О лали не существует. Такие точки называются кротическилли. В них касательная или горизонтальна (у' = О), или вертикальна (в точке возврата), илш нет определенной касательной (например, в угловой точке). В двух последних случаях у' не гулцествует. 4'. Достаточные условия экстремума.
Если функция )(х) непрерывна в точке хо и имеет в некоторой окрестности хо, кроме, быть может, точки хо, кош"шую производную и сели при псрсхозс .г через хо. у' меняет знак с + на —, то Т(хо) = уалах у' меняет знак с — па +, то ) (хо) =- утлп: у' не меняет знака, то экстремума нет Третий случай имеет место в обьцсноаснной точлсе (при у' > О яли у' < О), а также о точке перегиба и в угловой точке Итак, чтобы найти жсстремум функции, нужно: Ц Найти у' и критические точки, в которых у' = О или не существует. 2) Определить знак у' слева и справа от каждой критической точки, составив таблицу,например, вида Г!!.
7. Прллохпен!дп ироиаиодной 3) уенЗ вЂ”; 477;7! =.% х. е": 3) у=4х — х . и и построить ее график' ): хэ 1161. у = 4,в —— 3' .! 1163. у = 1+ 2хг —— 4 О 1158. 1) 5е)= х; 2) д = 1159. 1) у = !8х; 2) у = !!айти экстремум функпи 1160. д = хи + 4х + и. ,з 1162. д — — — хг — Зх 3 1164. д = — — х'. 4 2 1165. д = — + —. 2 ! 1166 д=ъхг — ! 1167.
у = 1+ хг' 1169. у = хг(! — х) 1171. у = е 1168. у = :с — 3 рт' 4е 1170. д ') В задачах 1165, 1166, 1173 н некоторых друтих ддя построении кривой нужно найти сс асимптоты (см. тд. 5, 6 9). )) 4. Воарастанне и 26ыыаоне фрикции 1172. у = х+ сов 2х в интерпаие (О, к). 1173. х = 4х — 15х н интервале ( — —,, — ~. 2' 2/ 1+!их 1174.
д = 1175. у = т. — агс18 2х. 1176. 1) у = хс '~х; 2) у = х!пт. 2) у = "~/ сха — !. 1177. 1) у = няп хт 1178. у = е!п,х + сон~ х. 1179. у = х,К вЂ” х. х+2 — + —. 1183. у 2 х — х~ + ха. 1185. у /! 11 — — — 1187. у хх) ' 218х — 18хх. 1189. у = !и ъТ+ х — асс!к х:, х е 3ф(.* + Ц' — 2 1180. у = (х — !Н: — ~) ' = хх1а+ !х — 2)х1а = ха(х+ 2)~. 1182. у = 1184. у = тз 1186. у = — 3 .г = т, + !п (соя х).
2) у = ~х (х + 2). 1188. у = 1190. !) у 1191. д = 1192. у = х — + х~. 1196 3 тх 1198 ,,4 — — 2хх. 1200 4 1202 ха+ ! х — 2 !и х. 1204 та+ ~;,та + ух 1195. у = а,г д= ха+— 4 1197. у = у = 2х — Зъ'тт. у= хе х ~х. у = х"~а(х — о). 1201. у = 1203.
у = !!айти экстремум функции н построить ее график: 1193. у = -'!х — х~. 1194. у = хх + 2х — 3. Гл. 7. Приложения пргнгзводной а!и 2х — т, в интервале ! — г 7 2, и/2). 2г+ с!дх в интервале (О, я). х + агсс18 2х. ~ г7*'6' 2 з!и и + сов 2х в инте!гнало (О, д). !их Зх~ — 8хз+ бх". 1211. у = х ..г ! 1213. у = х + —. х+2 Х = ое сов х (при т.
> 0); 2) д = Зт' — бхз. Г оЙ таг 1216. д = х'+8 1205. у = 1206. у = 1207. у = 1208. у = 1209. у = 1210. у— 1212. д = 1214. !) у 1215. у = 9 !2 —:г) 2тг — ! х4 1218. д = (! — хг) (1 — хз). 1217. у = !+ х+ тг 1219. д =, . 1220. у = х+ 2~/ — х. .г' и1~ ~1 1=, .: '1)1= 'Т- . 1 + 3)', (х + 2)г' 35. Задачи о наибольших и наименьших значениях величин 1222.
Решеткой длиной )20 м нужно огородить прилегающупг к дому прямоугольнуго площадку наибольшей площади. Определить размеры прямоугольной площадки. 1223. Разлолгить число 10 на два слагаемых так, чтобы произведение их бьшо наибольшим. 1224. В треугольник с основанием а, и высотой й вписан прнмоу1 ельник наибольшей плшцади. Определить п.пппадь прямоугольника. 1225. Из квадратного листа картона со стороной а вырезаются по углам одинаковые квадраты и из оставшейся части склеивается прямоугольная коробка. Какова должна быть сторона вырезаелюго квадрата, чтобы обьеи коробки был паибольшим7 1226. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объетюм З2м' так, чтобы на облиповку его гген и дна пошло наименьшее количество материала. 1227. Боковые стороны и меньшее основание трапепии равны 10 ем.
Определить ее большее основание так, чтобы площадь трапепии была наибольшей. Э о. Задачи о навбольшл:х н наивен ьшлх зна хенинх вели шн 137 1228. В полукруг вписана трапеция, основание которой есть диаметр полукруга. Определить угол трапеции при основании так, чтобы п.юшадь трапеции была наибольшей.
1229. Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр сечения 18 м. При каком радиусе полукруга площадь сечения будет паиболыцей'! 1230. Вблизи завода Л проводихсн по намеченной прямой к городу В железяки дирол а. Пад каким углом о к прогктллруемой железной дороге нужно провести шоссе с завода А, лабы доставка грузов из А в В была наиболее дешевой, если стоимость 1 тонно- километра цри перевозке по шоссе в т раз дороже. чем по железной дороге'? 1231. Лва источника света расположены в 30м друг от друга.
На прямой, соединяющей их, найти наименее освещенную точку, если силы света источников относятся, как 27: 8. 1232. Два самолета летят в одполл плоскоспл и прялла.лллнелйлло под углом 120' с одинаковой скоростью аллм?ч. В некоторый момент один самолех прилетел в точку перосе ленив линий движения, а второй пе долетел до иее па а км. Через какое время расстояние между са залетами будет наименьшим и чему равно это расстояние? 1233.
Балка прямоугольного сечении со свободно опортыми каппами равнлгмерпо нагружена по всей длине. Стрела ее прогиба обратно пропорциональна моменту ииерцлли сечения балки 7 = Хй , где .г и у размеры балки. Определить размеры балки 12 при наименьшей стреле прогиба, ес.ш оалка вырезана пз круглого бренна с диамехром ?У.
1234. Во сколько раз обьем шара больше обьема наибольшего цилиндра, вписанного в этот шар? 1235. Пва коридора шириной 2.4м и 1,6м пересекаются под прямым углом. Определить паиболыпую длину лестницы, которую можно перенести (горизоллтальлло) из одного коридора в другой. 1238. В конус с радиусом 4 дм и высотой 6 дм вписан цилиндр вапбольшого объема. Найти этол объем. 1237. В пшлукруч радиуса В вписан прямо!э ольяик ваибольшей пл(нцалллл. Определить его размеры.
1238. На параболе у = лэ найти точку, наименее удаленную от прямой 1? = 2л — 4. 1239. Картина повешена па стопе. Нижний ее конец на бом, а верхний иа асм выше глаза иаолпадателя. На каком расстоянии от стены должен всхахь наблюдатель, чтобы рассмотреть картину под наибольшим углом? Гл.
7. ?1рлложеява»»р«»»«зво !вой 138 1240. Общая длина стен изображенного па плане дома (р»«с. 29) должна быть равна «К)м. При какой ширине х коридора площадь трех оста. нных комнат будет наибольшей? 1241. В прямоугольпьтй треугольник с гипотенузой 8 гм и угло « 60' вписан прямоугольник, основание которо» о расположено па гипотенузе. Каковы должны быть раза«еры прямоугольника, чтобы его площадь была наиболыпей'? 1242. Даны точки х110; 3) и В(4: 5). !!а оси Ол найти точку ЛХ так.
чтобы расстояние Я = .1?!У+ Л1«л было наименьшим. 1243. Сопротивление балки продольному сжап«»о пропорционально площади попсрс»ного сечения. Определить размеры балки, вырезанной из круглого бревна диаметром?О, так«чтобы сопротивление ее «:жат»«ю было наибольшим. 1244. Из круга вырезается сектор, содержащий угол а«а лате»« сектор свертывается в конус, При каком значении угла с«ооъем конуса будет наибольшим". 1245. Груз весом Р«лежащий па горизонтальной плоскости, нужно сдвинуть приложенной к псъ«у силой ?с (рис. 30).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
