Минорский - Высшая математика (1108568), страница 27
Текст из файла (страница 27)
а=пир=О. 1731. Найти центр масс полукруга т + р = а, отсеченного ,2 т т осью Ок. 1732. 1) Вычисзштз работу, которую нужно затратить на щпшчивание воды из цилиндрического бассейна с радиусом основания 0,5м, если в начальный хзохзент уровень воды в бассейне ранен 2,8м и на 0,2 и ниже выпусказощего воду отверстии в ци:шндре. 2) Иьгчистзпть работу, которую пузкно затратить па выкачивание воды из полушара радиуса л ЕЕ м.
1733. Определить работу, которую нужно затратить, чтобы поч; нять массу гл, с поверхности земли на высоту 6. У к а з а н и е. Сила Р земного притяжения на расстоянии т от центра земли определяется из пропорции Е; знд = Нз: кз, глс ЕЕ радиус земного шара. 1734. ?зотел имеет форму параболоида вращения глубиной ЕЕ = = 0,5м и радиусом основания ЕŠ— — 0,4м. Определить работу, которую нужно затратить на выкачивание воды из такого наполненного котла. 1735.
В цилиндре под поршнем находится воздух обьемом ?'о = = О, 1 мз с давлением ро = ?, 033 10а ??а, Определить работу изотермического сзкатия воздуха до объема ?'з = О, [)3 мз. (??о закону Бойля Мариотта р?' = рого ) 1736. ??ычислить работу растяжении на 0,001 м медной проволоки длиной 1 м с радиусом сечения 2 мм. У к а з а н ив. Сила Г Н натяжения проззолоки длиной?м н плопсадыо сечения амм при удлинепизл ее на ем определяется формулой Ег = à —. где Е модуль упругости. Для меди можно принять Г 1, 2 10в ??/хзхзл. 1737. На какое время вода, наполняющая цилиндрический сосуд с ззлощадью осноззанигз,8 = 120сма и высотой Л = 40см, выте нзт через отверстие на дне площадью в = 2 смт? У и, а з а о и е.
Скорость истечения жидкости при уровне ее на высоте вгм определяется по Озормзулг. ь = р./2дх, где р ноэффициент, зависящий от вязкое ги жидкости, зрормзьз сосуда и отверстия. Мы примем здесь, как и в задаче 1738, р = 0,6. 1738. ?а какое время вода вытечет из конической воронки высотой ЕŠ—.— 40см, радиусом нижнего основании г = 0,3см и верхнего ЕЕ = 6 ем ?см. указание к задаче 1737)? 1739. Определить силу давления воды на вертикальную треугольную площадку высотой 6, основание которой а параллельно Гл. О. Определанная? интеграл поверхности воды, а противоположная вершина находится ва поверхности воды. 1740. Определить силу давления воды на вертикальный параболический сегмент, основание которого равно 4 и и расположено на поверхности воды, а вершина находится на глубине 4м.
1741, Найти глубину х, на которой прямоугольный шлюз высотой 6 разделится горизонтально на такие две части, величина силы давления на которые одинакова. 1742. Пилиндрпчсскан цистерна с горизонтальной осью наполовину наполнена маслом (плотность 0,9). Определить силу давления масла на кал дую из плоских стенок цилиндра, если радиус ее равен 2м. 1743. Определить момент инерции относительно Ох плошали четверти круга х = исоа!, р = а,э?п Е 1744. Найти координаты центра масс площади, ограниченной линиями д = '1 — х и у = О.
1743. Вычислить работу, необходимуп> для выкачивания воды из нмы, имеющей форму конуса ?с вершиной на дне), высота которого П = 2 и, а радиус основания ?! = О, 3 м. 1746. Определить работу алиабатического сжатия воздуха объемом го = О, 1 мэ н с давлением ро = 1, 035 10а Па до обт,ема 1:т = О, 03 и' . !Лдиабати шоков сжатие происходит по закону Пуасз сена: рф ' = ро?'о где ~' = ! 4 ) 1747. За какое время вода, наполняющая чашу формы полушара радиусом 40см, вытечет из отверстия па дне площадью 2 ем 7 ]См. указание к задаче 1737: положим коэффициент вязкости ?т = О, 8.) 3 7. Несобственные интегралы 1О. Оправе е и Ь 1.
Интегралом ) 1']х) Пх называется 1пп 1"?х) Пх, если этот 6 — ~-осч / Л а предел существует и конечен. Аналогично опрелелшотся интегралы о 5-сс ??х) г1х и э~ Д?х) Их. И. Если Д]х) непрерывна для всех значений х отрезка ]а, 6], кроме точки с, в которой У]х) имеет разрыв 1? рода, то интегралом от Дх) в пределах от о до б называется сумма 1пп У?х) о?х+ !пп 1?х) о?х, .,Оу 5 — >О / со.б если эти пределы существуют и конечны.
1) 7. Несобственные гпггеграяы 173 Интегралы с бесконечными гс)гсдеяссмсг и интегралы от разрьыньм (неверова !с!с!сыт) функций называготся нссобсасьсннмгса. Гели приведенные вылив пределы коне шн, то говорят, что несобственныс интегралы сходя!вся, если нет, то раскос)лисса. 2'. Сходимость несобственного интеграла часто устана-Ььь вливается методом сравнения: если при х > а)Д)х)) < !а~х) и г),а)х) с1г: а +сс сходится, то сходится и / дх) асх. Лналогичпьсй признак схо,симости когано указать и для интеграла от разрывной функции.
Вычислить интегралы: 1748. 1) —; 2) —; 3) ! ! с! /' — '„. ! 1752. Исследовать схссдимссст! интегралов: с!х л х ! чсГ+ о 4) / )' згн т с1х ! 2),"; 3) у! /,г,' „,' е х сгг! ! л ! /, *сг. о 1749. 1) с ' с7гц о с1х 1 ', г ! 1750. 1) 1751. 1) !4 2 ) хе ' с7х; о 'Х / ьггсбц х сух ! с1х ( — 1)' о с)х 3) 1+ хг ! ьс 6) х е е~гсссс. о гЕх 3 с 1)г' ! г сгх 3 ь! -с!' о Гл. 9.
Опредезенттт.тт) интеграл Г с)х Г и1х 1753. 1) ( 1 2) ( (при 5 > и). ,т,л ' (5 т)л о Я Указание. )тассмотреть три случая: и = ! — и ( 1, я = 1 и тз= 1+о) 1. 1754. Вычислить плошадь, заключенную между локоном 'у = 1 и асимптотой зной кривой. 1+ хг 1755. Вычислить площадь, заключенную между кривой у = = хс "' уг и ее асимптотой (при х > О). 1756. Вычислить площадь, заключенную между писсоидой у г „з и ее асимптотой. 2и — т, Указание. Положив х = 2аз)п~1, перейти к параметричесьим уравнениям. 1757. Найти обьем тела, образованного вращением писсоиды ,3 рг = вокруг ее асимптоты (см.
задачу 1756), 2и — у, 1758. Определить площадь поверхности, образованной враще- нием вокруг оси Ох бесконечной дтлги кривой у = е т при поло- жительных х. 1759. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси , /1 11 Ох босконечпой ветви кривой у = 2 ~ — — —,) при х ) 1. хг) 1760. Иоказагтм что при т делам и положительном ): 1 à — зо гл-, 1 гтт) 1) Š— етлс С)х тян 2) Š— з тгл -1-1 Стт.
2 о о 1761. Вычислить интегралы: 1),; 2) хге ' сЬ", 3),: 4) ) Спуняцня / е ззу ~ Нз = Г11) нззыззется сомме-фунццтзетт ат а Лгцз цепам о 1 ) 1, кзк мо следует из задачи 1760, 1). ГО) =  — Ц! Подзтзя здесь т = 1, получим условно О! = Г(1) = д)' е то с1х = 1. Лозтаьту принято с ютзть О! = 1. о З 8. Среднее значение функции 17о 1762. 1); 2) /л ' ',,1) /л / л1 +,„.2 / (1+ )з' / хт + хл' '1 о л 1763.
Вычислить плопладь, заключешлую между кривой у = = с за и осями координат (при х > 0). 1764. Найти обьем тела, образованного вращением вокруг оси Г)у плошади бесконечной длины, заключенной меллду линиями: ху=1, у=1, а:=О. 1765. Определить обт,еч тела, образованного вращением крицой у = те а)~ (при х > 0) цокруг ее асимптоты. 3 8. Среднее значение функции Теорема с среднеи. Еслпл на отрезке [а, Ь] фунюшн у'(х) пспрсь рывяа, то между пределами интсгра.ла / 1(х) л)х найдется такое х = с, прп нагаром У(х) Нх = (Ь вЂ” а)у(с).
Зллачснис функции [ У(х) л)х у =Х(с)=" называется срсднц.я значением функции 1(х) на отрезке [а, Ь]. (2) 1766. Определить среднее значение функции: 1) у = ыц х на отрезке [О, и]; 2) у = 18х на отрезке [О. и/3]: 3) у = 1и х на отрезке,[1, е], 4) у =- хз ца отрезке [а, Ь]: 5) у = на отрезке [ — 1, 1]. 1+ х~ указать на чертеже среднее значение функции в каждом примере. 1пх Указание В примере 3) при нахожленилл ~1п1 применить и-лс пранило Вопиталя, Гл. 9.
Огьгьеделенгььгь! интеграл 39. Формула трапеций и формула Симпсона 1ь, Формула грацеций: к — Г у(к) гьк Ь вЂ” ' ф ~ уь Уо+ У 2 а =ь е(ьь) (, )уьь! (6 — а) Ь 2 . Параболическая формула Симпсона ллядвухполос: Ь ьь( ) " ' — (Уо + 1Уь + Уг); а (В) где Ь = (6 — а)/2. 3'. Формула Симпсона ддя 2о полос: ь к к — Г Ь ьг(л) гбк ~ — Уо + Угч + Д ~~' Уть-ь + 2 ~~' Уи, (111) 3 ь=1 ь=1 где Ь = (6 — а) ьь2о. Погрешиосль формул (П) и (Ш): (Ь) < ( 180 (2) т. е. формула (1Ц является точной цля парабол второй и третьей стспенегь: у = а + 6к+ ск + ьтл . ! ьь'л 1767.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
