Минорский - Высшая математика (1108568), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Вычислить по фаркьуьте трапеций !в 2 = 1 — н оценить ь погрецшость по формуле (1). 1768. !(о формуле Симпсона (1(!) вычислить интегралы тз г)л 1 и тл оькь оцеььить погрешность по формуле (2) и результаты срав- пить с точными значениями интегралов. где Ь = (6 — а) ььп, а Уо, Уь, Уз,..., У„Раььноотстоашие оРдинаты кРивой у = У(к) на отрезке (а,. 6).
Погрешность формуты (!): 'З 9. Формула трвпоцин н формула, Симгхсопа 177 1769. По формуле Симпсона (П1) вычислить интегралы: х гуз )/ ч л ( — 1; з /л:-:.л*й (1,— г о о / гтх 3) (2п =. 4) и оценить погрешность, полагая в фор- 2' 1+ х~ о муле (2) приближенно 64)угч (,„а — )Ллу! 1770. Найти по формуле Симпсона (П) обьем бочки высотой 50 ем с диаметром каждого дна 20 см и с диаметром среднего сечения 30 ем.
1771. Вывести формулы объема пирамиды и шара из формулы Симпсона (П). у гхх 1772. Вычислить 1п 2 — — / по обшей формуле Симпсона (П!) (при '2п = !О) и оценить погрешность по формуле (2). 1773. Найти длину дуги зллипса х = 5созС р = Зыпб применив к интегралу, определяющему первую четверть всей дуги, формулу Симпсона (П).
ох 1774. Вычислить приблиа енно и = б /, применив к 7 Я хх о интегралу формулу Симпсона П1). и ( г2х 1775. Вычислить — = /, по общей формуле Симпсона ~ — /1+х о (П1) (при 2п. = 1О) н оценить погрешность. полагая в формуле (2) приближенно Ь~(у~~)„ьх (Ь~у 1Т76. Рассматривая плошадь 1асхи круга, ограниченно!о кри+1 =32, ° ., 7',л2: и*=4 +В; о вычисляя интеграл по формуле Симпсона (при '2п = 4).
1777. Вычислить по формуле Симпсона (П1) длину дуги полуво.шы синусоиды р = зш х. разбив отрезок ~0, и) на шесть равных частей. Глава 10 КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ И ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ 3 1. Кривизна плоской кривой. Центр и радиус кривизны. Эволюта 1'. 11риви зн а: у (1+, п)згз ' 2~.
Радиус кривизны: [~ 1 у~а)зГт ~ха+уз)зГз Я— (2) у" ~ 1ух — су! 3'. Координаты центра кривизны: 1+у , +у у' ' ху — ух' 2 ха +ев 1'=у+,; =у+ ... '.. х. у" ух, — ху 1сометричсскос кесто центров кривизны С(Х; Р) называется оао.ттоаб Уравнения (3) и будут вора.вея~роческгкво ураанеяаязсд эво.на ты. 4'. Радиус кривизны кривой г. = Дф, где си ог полярные координаты: (гз -'; ехз)Юз Л= )г2 1 2г!2 гги)' Определить радиус кривизны и востроить кривую и круг кривизны кривой в ее вергегннед 1778.
у = 4х — хз. 1779. у =- е 1780. хт + 4 уз = 4. 1781. х = а(1 — сйв 1), 1782. у = хе ". у = я~1 — сояс). Определить координаты центра кривизны и построить кривун> и круг кривизны кривой: 1783. ху = 4 в точке х = 2. !79 тз 1. с'"ривттзна плоской кривой 1784. у = 1и х в точке пересечении с Ох. .3+ 1 1785.
у = — н точке пересечения с Ох. 3 Написать уравнение внолнтты кривой и построить кривую и ее знал юттч 1786. у = 1 — —. 1787. х = 2 соз т, у = в) и т. 2 1788. хз — уз = аз !итти х = а ей ! и у = а ь1т !). 1789. х = а!соз! + !з)ттг), у = а(в)тт г — (сов!). 1790. Найти максимальную кривизну крттвой у = с' .
х 1791. Доказать, тто радиус кривизны пенной линии у = а с)т— а ту н любой точке ранен — и ранен отрезку нормали между кривой и осью Ох. 1792. Определить ра,тиус ърттнзпы н произвольной точке кри- 3 2 3 а ной; 1) г = а(1 — соз ф; 2) гз = аз сов 2уи 3) гз = сов 2тр Опредегтить радиус кривизны и построить кривую и круг кртлвизньт кривой в ее вершине: 1793.
у —, . 1794..сз — уз = 4. 1+ хз' 1795. у = в)п х. 1796. 2у = хз + дх. Определить координаты центра кривизны и построить кринуто и круг кривизны кривой: 1797. у = с. в точке переселения ее с Оу. х 1798. у = н точке ( — 1: — 1Г3). 3 1799. ут = тз в точке (1; 1). и 1800. у = сов х н точке х = —. 4 Написать уравнение вволюты кривой и построить кривую и ее зво т тот): (з 1801. уз = 2!х+ )).
1802. х = !зт у = —, 3 1803. ху = 4. 1804 т а сочв Г т) а чтпз Г 180 Гл. 1О. Прнвиэна плоскои п пространственной кривой 32. Длина дуги кривой в пространстве и Найтк длину дуги 1806. х = l., П = сг кривой: 213 от 1 = О до /.
= 3. 3 = Зйп1, '; = 41 от 1 = 0 до произвольпого 1. — от х=Одох=3. 6 1807. х = 3 соз1, й хг 1808. у =— 2 ' Найти длину дуги криной: 1809. х = С вЂ” агп1, р = 1 — соя с, = 4сйп — от 1 = 0 до С = а. 2 1810. х = с~, р = с ~, г = 1т/2 от Г = 0 до Г = 1. 1 хг 1811. П = — )п х, - = —, от х = 1 до х = 2. 2 ' 2 33.
Производная вектор-функции па скаляру и ее механическое и геометрическое значение. Естественный трехгранник кривой Радиус-всктор г = х1+ уз + с1с точки кривой х = х(1), у = у)г), а = = сН) есть аскторфракаия скаляра г. Производная г = х1+рз+ 1с есть 3* тантсяпиальный всктор и иъ1сст модуль )г = Ьуйг+ уз + -г = а = —. сп 11оэтому, если Р время, а кривая трасгтория движения, то г = а есть асктор скорости. г = и всктор ускорения. Через точку ЛХ(хб у: с) кривой (рис. 3'Ц проведем три плоскости: 1) псрпсндикулярную к г; она называется яор.аальяооЧ 2) содержащую г и г; она называстсл соприкасающейстй 3) перпендикулярную к первым двум. Они образуют сстыипасялый трктарокаак (триэдр) кривой.
1805. Показать, что в любой точке астроиды хг)з+ угУз = агУз р индус кривизны равен 3',~а хр . !з 3. Лроиэводная вектор-функпнн по скаляру !81 В пересечении плоскостей имеем три прямые: масла!с!!ьную, бинор,маль н е„о!аную норма.,!ь, опредсляемые векторами: ~ ) г пьангснцпальныц 2) В = г х г биноряа,.!ьный, 3) !ь! = В х г еяаамь!й нормальный. Гдиничные векторы этих направлений обозначим г, В, ап онп сва- сСт ьСт завы зависим!ос'Г! ю: ьь и С!: г х ы. !Ь ьСл !!усть Луь(Х: У; Х) точка касательной (рис.
34). '!огда Л!'Лть! г и из условии параллельности векторов получим уравнения касательной Х вЂ” г У вЂ” у Х вЂ” л у '- — — - --. (1) Пусть Луэ)Х; У; Я) точка оа нор"дальной !поено! ти. Тогда ЛСЛСэ Т г и из условия перпендикулярности в! кторов получим уравнение нормальной плоскости: л(Х вЂ” л) + !)(У вЂ” у) + + '(Х вЂ” х) = О. (!!) Ураенешщ бинормали и главной нормали нол!чим, '!ам!ива в Рис. ЗЛ уравнениях С1) л, у, 1 соответственно на Л, В,, Л, или на Л', э!О. ЛС,. Уравнение соприкаса!ощейсн плоскости получим, заменив в уравнении С!!):сч у, - на Л, Лаа Л,. 1812. Радиус-вектор движущейся то !ки в момент С задан уравнением г = !С! — 313.
Определить траекторию, скорость и ускорение движеник. 1813. Уравнение движении г = 3С!+(1С вЂ” Сэ)3. Опре,!влить траекторию и скорость движении, !!остроить траекторию и векторы скорости в моменты С = О, !! 2 и 3с. 1814. В задаче 1813 опредеэглпь ускорение ю движении и его !Со сСС влпющие в любой момент С и при С = О. 1815. Уравнение движения г = асов! !+был С 3. Определить траекторию, скорость и ускорение движении и построить векторы СКОрОСти и уСКОрЕния В тОчКаХ С =- О, КС!4, ПС!2. В задачах 18!6 !818 написать уравнения касательной прямой и нормальной плоскости кривой: 1816.
а = С! у = Сэ, = Сз в любой точке и при С = !. 182 Гл. 1О. Кривизна плоской и пространственной кривой 1817. у = хг, хг = х в любой точке (х ) О) и при х = 4. 1818 хг+ уг = 10 уг+ хг = 26 в точке ~1 3 1 Указание. Взяв дифференциал от левой и правей частей кагкцеге уравнсвшя, найти затеи отношения с1х: с1у: сйи 1819. Найти гангенциальпый г, бинормальный В и главный нормальный Я векторы кривой х = 1 — з|п1, у = сов1, х = 1 в точке 1 =- О. Найти также т, )3 и и в той же точке.
1820. Написать уравнения главной нормали, бинормали и соприкасающейгя плоскости к кривой х = 1, у = 1г, - = 1з в точке 1=1. 1821. Написать уравнения главной нормали и бпиормали кривойх:с,у:с',х:1вточке!:О. 1822. Показатти что уравнения г: = 1сов1, у = 1яп1, определягот коначескуго винтовую линию, н написать уравнения главной нормали, бинормали и касательной к ней в начале координат. 1823. Написать уравнения касательной к винтовой линии х = = асоч1, у — а сйп1, - = 61 в любой точке и при 1 = гг12. Показать, что винтовая линия иерею кает образующие цилиндра х г+уг = аг 6 под одинаковым углом ~' = а,тесов у'пг+ бг 1824.
Найти углы с осями координат тангенциального вектора кривой т, = 2а- и у = 26- в точке =. = тса66. 1825. Плоскость у = О,на которой дана кривая 2г =:гг, у = О, накручивается на цилиндр х + у = 2у. Написать параметрические уравнения образованного кривой винта и определить бинормальный вектор кривой в любой точке и в точке 1 = гг/2, где 1 угол поворота плоскости. 1826. Радиус-вектор движущейся точки в момент 1 задан уравнением г = а(1 — вщ1)1+ а(1 — сов1)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
