Минорский - Высшая математика (1108568), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Доказать, гто если = = соь(тх+ пу), то г!зх = = — л(пт г!т + и г!у)~. 1940. Доказатхь что если х =!п !ах + бу), то: 1) дзх 2д з. 2) П х ( 1) -х!и — 1) дх 1941. Доказатгн чхо если - = Е'!и, и), где и = тх + пу и в = дзх х" д д '! две х' д д 'х =ух+путо, =~ т.—,+р —,) ...
=! т —,+р — ) х дхж ~, ди ди) ' деду ~, ди, ди) д'х д'= , дзх 1942. Преобразовать выражение, — 4,, + 3, к новым дх' г)х ду ду' переменным и = Зх + у и и = х + у (см. за !ачу 1941) . дзх дз дтх 1943. Преобразовать выражение, — 4, + 4, и новым дх' дх ду ду' переменным и = 2х + у и о = у (см. задачу 1941).
1944. Доказать, что если - = Г(и, с), где и и е функции ох х и у, то дт два Определить апалоыхчно и д:е дд дуз 1945. Преобразовать выражение х з — у, т к новым передх дд мсппым и = ху и о =. у,1х (см. задачу 1944). дз ! дт 1946. Преобразовать выражение , + — + — — к новым де 2 гв д~р2 х. дг переменным т, = г сов:р и д = г а1п р (схх. задачу 1944). З 6. Частные производные высших порядков !97 Найти частные производные второго порядка функции 1947.
х' 1 — 2 д Найти частные производные третьего парилка функции 1948. з,у' 1949. ху Доказать, что если я =, то х — у' дан дан д'я 2 +2,, +, дхт дт дд дух т — у 1950. Доказать, что если в = 1п (ах — Ь~), то 1951. Доказать, гто если я = 2 сов~ х — — ) то 2)' , д'я д'в д!т дх дг д' дя д 1952. Доказатчп что если х = е'У", то у, дх ду дд дх' 1953. Пусть и, =!и х. Найти ааи и ази. ддви т д~и ди ди хд, +у~ — +х — +2у — =О. дх ду ' ддз дх ду дав да 1954.
Преобразовать вьсражение — ат — к новым передхт дух мепным и = ах + у и о = ах — у (см. задачу 1941). дах дхя 1955. Преобразовать выраткение х +д,, к новым передах ' дх ду д менным и = у и о = — ' (скь задачу 1944). х ) (х);у'~ 1958. Показать, что функция и = + са ~ — ') при любых х дважды цифференпируемых функциях ! и се удовлетворяет цифференциальному уравнению 198 Гл. 11. Частные производные, полныс дифференциалы '8 Т. Интегрирование полных дифференциалов Р. Чтаоы выражение 1'г1х+ Цг!у, где Р и Я диффсрснцируомые фушгпии х и у, было полным дифферышиалом гаго, пеобхоцимо и дР гоЦ достаточно вьцгоггнсние услоггия ду дх до ди ,'\ля нахождения и из условий —, = Р и — = О полу шм и = да дгд ) Р ггх+ рг (у), и = ) се ггу+ ео21х).
Выписав из первого выражения все известные члены, а из второго — члены с у, недостающие в первом, полу гим функцию о. 2'. Чтобы выражснис Рдх+ Я2Ну+ 11г1е, где Р, АЗ и 3 дифференппрусмыс функпии от х, у и е, было полным;гпффсрснпиалом гУи, нсобхопимо и юстаточно выполненно условий: дР дб2 дР дЛ дЯ дЛ ду Ох ' д дх ' д- ду ' для гюхожасяия и имеем: и = ~ Рг!х+лг(у, ), и = з~ Яг1у+1оз(еь ), и = / 11гуе+~."а)х, у). Выписав из первого выражения все извсстныс члены. а из второго и третьего нсдостаюшис члены с у и -, получим функцию о.
11ахожлснис фунюгия по ег. полному,гиффсрснпиалу называется инюеерирооониега полного дифференциала. 11роверить, что следующее выраженно является по:шым дифферснциалом г1н, и найти и: 1957. 12х + у) г)х + 1х — йу — 8) г!уг. 1958. х а)п 2у г!х + х2 соа 2у г)у. 1959. (х+!и у) г)х+ — + а1п у г!у. т,у х г)д — у г!х 1960. х2 |у2 1961. (ул — 2х) г1х + 1х + у) г!у+ (хд — х) дз. 1962' г д"' + !!РовсРЯтгп что слсдУющсе выРажение Явлпстсп полным дис)2- ферснциалом гуи, н найти и; 1968. (д2 — Ц ух+ Рту+,'!у) ду.
1964. (з) и 2 у — у 1ц х) г!х + (2х сов 2у +! и соз х + 2д) г!у. 8 8. Особые точки плоской «риной 1965. у — ' дх -1- т+ ' + 1 0у. 1 1 1 1966. 1 ~ сИ+ дт. ' 1/1г+1 ' 2,ух 1967. (1||у — соя2-) Их+ — + - с1у+ (у+2хя|п2-) с1л. дх 3ду Зу 1968. ' +, с)х. 98. Особые точки плоской кривой '1опа кривой сэ1х, у) = О называется особой, если в атой точке ДГ дà — = О и —, = О. Дх ду угловой коэффициснт 1 = у' касательной в | акой точке находится нз уравнения А+ 2Вй+ Сйэ = О, где А. В и С' значения производных Дгр Дгр Дгр и в этой особой точке.
При этом возможны три слтчая: Дхг ' Дх Дс| Дуг 1) Л вЂ” АС ) О лвс касательные: гочка называстся уэяо.н: г 2) Вг — АС ( О нет касательной: точка изолированная; 3)  — АС = О или иэолироасснная томка, или точка аоэьрати, г или точка с.амосанри«ос.оонсния; в точках возврата и самосоарикосновсния супюс |пуст одна обшао касательная к двуы ветвям кривой. Чтобы в трстьсм, сохи|игольном, случае решить вопрос окончательно, нужно узнать, имеются ли точки кривой в сколь угодно малой окрестности исслсдусмой тон| и. Определить об.|асти расположения, точки пересечения с осями координат, особыс точки кривых и построить кривые; 1969.
хэ+,гг — уг = О. 1979. уг = 1х+ 2)з 1971.хэ — хг — уг О. 1972. уг + х4 — хг = О. 1973. (у — х)г = хз. 1974. уг = х(х — 2)г. Определить об.|асти расколов|ения, особьп. точки и асимптоты кривых и построить кривые: 1975 (г. ' 2п)з ) хуг О 1976 хз уз Зуг О 1977. г:з+ уз — Залу = О. 1978. уг(хг — аг) = г:4.
200 Гл. 11. Частные производные, полныс дифференциалы Определить области расположения, точки пересечения с осями координат, особые точки кривых и построить кривые: 1979. де+ хз — 2хз = О. 1980. ~эдэ = хт(2ах — хэ). 1981 дт х(т+ 2)г 1982 тд~ (т+ о)з 1988. 4дэ — хэ + бхд 1984. дт,г4 , 'э;т — 0 1985.
Найти точки пересечения г осями координат, д„,, особую точку и асимптоту кривой 4хэ — де + хз — дз = 0 и построить кривую. Определить области расположения, особые точки в асимптоты кривых: 1986. 1) дэ(2а — х) = х(х — о)~ (строфоида); 2) ц (: з+ дэ) = хэдэ. 1987. 1) х(хе+ ут) = а(хэ — дэ); 2) а(хт+ дд) = х(хт — уа). 8 9.
Огибающая семейства плоских кривых Кривая называется огобапзщсй семейства кривых Г(х, д, а) = О, если: 1) она касается каждой кривой семейства; 2) каждая ее точка является точкой сс касания с кривой семейства, отличной от нее самой. Огибающая семейства кривых Г(х, д, е) = О, если епа существует, находится исключением параметра о из уравнений Р(х,д,а)=0 и У',',~х,д,о)=0. Может, однако, случиться, что полученная этим способом кривая будет не огибающей. а геометрическим местом особых точек кривых семейства ~съе ответ к задаче 1900, 2)).
Найти огиба|огц1чо семейства крнвтпх и построить огибающуэо и кривые семейства: 1 1988. Ц д = ах+ аз; 2) д = ахз+ —. и 1989. 1) (х — а)э+ уэ = В-; 2) дад = (х — а)э. 1990. 1) д — 1 = (х — а)з; 2) (д — 1)з = (з: — а)з; 1) ~,, 1)з ~ )з.,1) 9Г, „)з ~ )з 1991. Отрезок постоянной длины и скользит своими концами по коордннагныъэ осям. Найти огибающую семейства каких отрезков. 1992. Найти огибающую семейства окружностей, проходящих через начало координат' и имеющих центр на параболе д~ = дх.
1993. Найти огибапццую семейства окружностей, имекпцих диаметрами радиус-векторы точек гиперболы хд = а~. з !О. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 201 1994. Из начала координат выпускается снаряд с начальной скоростью 6 под углом о к оси Ол. Найти огибающую семейства траекторий при различных ст. 810. Касательная плоскость и нормаль к поверхности Пусть поверхность задана уравнением Г(и, д, ) = О: возьмем на ней точку Лс(л, д, -).
'льрслвненсля нормали к поверхности а этой точке будут Л вЂ” л У вЂ” д ! — с дГлсдт слР/дд ВГ/д ' ураенение касательной плоскости: д!' дР д!' дт дд (Л вЂ” т)+, (!' — д)+, ( — ) = О. д (2] В уравнениях (1) и (2) Х, У, л текущие координаты нормали или касательной плоскостсл. ( дГ дГ дГ) Вектор уч с ; ; т назовем норсаильныск вектором понерхнод*' дд ' д= др д!' Если на поеерхности сеть точка, н которой —, = О, —, = О, д:: ' дд сдà — = О, то она называется особое. В такой тапсе нет шл касательной д. плоскости, нн нормали к поверхности.
Написать уравнения касательной плоскости к поверхности; 1999. = иг+ 2дг я точке (1; 1:, В). 1995. Найти огибающую: !) семейства прямых т сок о+сд есп сев 1 — р = 0 при постоянном р; 2) семейства прямых д = аж + —; В) семейства кубических парабол д — 1 = (и — а)з. 1996. Найти оплбающую семейства окружностей с центрами на оси Отс радиусами которых слу;кат соотнетстнулощие ординаты параболы дг = 4т,. 2,,2 1997. Найти оплбакпцую семейства эллипсов + = ! при а2 62 условии, что сумма полуосей имеет постопннусо длину!. 1998. Найти огибаашусо семейства парабол, имекппих ось симметрии, параллельную оси Од, и проходящих через точки ( — а; 0); (оа: 0) и (О, :Заг) при различных а. 202 Гл.
11. Частные производные, полные дифференциалы 2000. ху = - в точке (хо, уо. хо). 2001. хух = аз в точке (хо, уо, хо). .2 г .,г 2002. —, + —, — — = 1 в точке (хо, уо, хо) а в точке (а; 6; с). аг Ьг сг г 2003. Определить плоскость, касательную к поверхности х + + 4уг + аг = 36 и параллельную плоскости т, + у — "= О. 2004. Написать уравнения нормали в точке (3; 4; 5) к поверхности конуса х + у = х . В какой точке конуса нормаль неопределенна'." 2005. Найти углы с осями координат нормали к поверхности тг + уг — хх — ух = 0 в точке (О; '2; 2).
2006. Написать уравнения нормали к поверхности хгх+уг= = 4 в точке 1 — 2: 0; 1). Построить нормаль и поверхность. 2007. Показать, что касательные плоскости к поверхности ау=- = = а образ!нот с плоскостями координат пирамиды постоянного обт.ема. 2008. Показать, что сучча квадратов отрезков, отсекаечых на оснх координат плоскостью. касательнои к поверхности х ° + туз + у у + х у = а уз, ранна постоянной величине аг. 2009. Найти расстояние начала координат от касательной плоскости к неликвиду у = х 18 — в точке (а; а: ха/4). Построить поп верхность по сеченияч: = = 0; ха/4: хау'2; па.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
