Минорский - Высшая математика (1108568), страница 35
Текст из файла (страница 35)
218 1л. 12. Дтгффсренциачтьныс уравнения Решить уравнении: ) 2 2175. уп =; у =,, у' = 1 при х = —. соаг:г' ' 2 4 2178. (1+ тг)уа+ 2лу' = лз. 2177. упуз = 1. г1га и а 2178. 2уу" = (у')г. 2179.х + +с=О. ,рг 2180. 2ууа = 1 + У 2181. Уп18 х: = У + 1. 2182. Определить кривые, у которьгх радиус кривизны равен кубу длины нормали. 2183. Б интервале ( — т;)2, и/2) определить кривую, касающуюся оси От в начале координат, если кривизна ее в любой точке й = сов х. 88. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными ковффициентнми Однородное линейное дифференциальное уравнение у~а~+унуб' О+...+ р„у = О, где р, функции лб имеет общее решение вида у = С уг + Схуг +...
+ Спи„ г: + р,г"-' + . + р„ = О. 1) Кагадому вещественному порше г" = а уравнения ® кратности ш соотвгтствуют т частных решений с"е,:ггаа,, ач' гсаг 2) Еажлой паре мнимых корней г = о ю 81 кратности гп соответствуют ш пар частных решений: е 'сов д,г, хе"'соедхч ..., гс 'е созда, е а1п да, .хм ' а1п Гта,, т е" аггг,'3х. Решить уравнения: 2184. Уп — 4У'+ Зу = О. 2186. у" — 4у'+ 13у = О.
2188. Уп+ 4 у = О. г)гю Лт 2190. + 3 — 4л: = О г)гг Ф 2185. Уа — 4у'+ 4У = О. 2187. Уа — 4У = О. 2189. Уа+ 1у' = О. г)гр 2191.4 +р=О. г)чгг где уг, уг, ..., у„линейно независимые частные решения урштсяшг (1 ), а Сг, Сг,..., С„произвольные постояшаге.
Если козффициснты рг, рг,..., ро уравнения (1) постоянны, то частные реа~енил уг, уг,, у„находятся с помо1цью харакчюристичсского уравнения 59. л1ллнел1ньле неоднородные дифференциальные уравнения 219 л! ч гла 2192. +2 — +2а=О;при!=О а=1л а'=1. л!12 л)1 219З. уге — 5дн+ 8у' — 4у = О. 2194. 91~ — 16у = О. 2195. улн — 8у = О.
2196 лунл + Зезлулл+ Задул + азу = О. 2197 угу + 4у О 2198. 491~ — Зуе — д = О. 2199. ()пределлллть уравнение колебаний маятника, состоящего из массы т, подвешенной на нити длиной ! (сопротивлениетл пренеоречь и положить, что при малом угле о отклонения а)п и — а). Определить период колебания. 2200. Два одинаковых груза подвешены к концу пружины. !!од действием одного груза пружина удлллняется на а ем. Определить днижение первого груза, если второй оборвется (сопрллтиалениеьл пренебречь).
Определить период колебании. 2201. Решить задачу 2200 с учетом сопротивлении, пропорциональноле скорости движения. Решить уравнения: 2202. у" + Зу'+ 2у = О 2203. д" + 2ед'+ лл~у = О. л! х е)х 2204. у" + йд'+ Зд = О. 2205. — 2 — Зх = О. ' г!(х а и х е' я бя 2206. + шхт = О.
2207. + и.— = О. л)гх л1гх Й 2208. хлл+2хл+Зх = О. 2209. дьч — Зд" +4У = О, 2210. у~~ — Зуе — 4д = О. 2211. у1~ + 8де+ 16у = О. 2212. !!айги иптегралльллуло кривую уравнения де — д = О, кагаюшуюсн н точке (О; О) прямой у = х. З 9. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коаффициентами 1', Оспенное свойство. Пугть даны уравнения: у("1+ рлу!" 1+... + р у = Дх) неоднородное, (1) р~' + рлугч ' +...
+ рну = О однородное (2) и еуель и — обжег решение урюлнепин (2), а уд чеетпее решение ураанення (1). '! егде обе!ее решение у ураннения (1) бу,лет у = лл+ ул. (З) 220 Гл. 12. Дифференциальные уравнения А'уг + В'ух = О, Л'у' + В'у' = У(х(, Отсюда , ) уэУ(х1 В, угУ(4 у3 92 Решить уравнения: 2213. уо — 2у'+ у = еэ'. 2214.
уп 2215. уо+ Зу'+ 2у = з(п 2х + 2 сов 2х. 2216. ув+ у = х + 2с', 2217. уп 2218. уо+ 4у'+ 5у = 5тз — 32х+ 5. 2219. уо — 3'Ч + 2Ч = ех д'.Г, 2220. + Й~х = 2ЙМп14. ауз 2221. уо — 2у = хе '. 2222. уа 2223. уо+ 5у'+ Ву = г х'+ е 2224. х+ 2йх+ 2(сэх = Лаза(п И.. — 4у = 8хз. + Зу' = От. 2'. Метод неопределенных коэффициентов. При постоянных ры рэ, ..., р„частное рюпсние уг находится,кстоуож неопределенных коэффицисягвое в следуюшнх с гучаях: 1) й(х) чшогоч ~оп.
4 У(х) = еа" (а сових+ Ьа(п ггх(; 3) У(х) есть сумма или произведение предыдущих функций. В хгих случаях частное решение уг имеет тот же вид, что и 1(х), отличансь от нее только коэффициентами. Исключения составляют особыс случаи, когда: 1) Д(х) многочлсн, но г = О корень характеристического уравнения кратности 1ч 2) Д(х) = с""(а соа ох+ ба(пих), но г = гв ж п1 есть корень характеристического уравнения кратности й В атпх особых случаях уг отличается от Д(х) нс только коэффициентами, но еще и множителем х~'.
3'. Метод вариации произвольных постоянных. Более общим приемом решения неоднородного линейного уравнения является метод Лагранжа, илп метод вариации проиэоольных постоянных. Если уэ и уэ независимые частные решения уравнения уа+ру' + + Чу = О, то решение уравнения уа+ру' +Чу = / ф по методу ! агранжа находится в ниде у = Лу~ + Вуэ, где Л и д функции х, удовлстворяюшие системе уравнений з 10. Примеры диффсрснцггальных уравнений разных типов 221 решить уравнении: 2236. ув+ у' — 2у = 6хг.
2237. 2238. ув+ Зу'+ у = ес. 2239. 2240. 4дв — у = тз — 24х. 2241. с1 а с1в 2242 +2 +йа 21з 2 с1гг ~Й 2243. 1) ув — йгну' + вгггу = аш тх: 2244. гугу -1-5у" -1-4у = 3з1п гь 2245. у'и — Зув -~- Зу' — у = с'. ув — 5у'+ бу = 13 згп Зх. ув+ у'+ 2,5у = 25 соз2х. ув — Ч=е- . 2) ггзгув — 4ву = 8 1,ледунпцие уравнения решить методом вариации произвольных постоянных; 2246.
ув+ 1у'+ 1у = е г'1пх. 2247' Ц у +у з: 2) у +4у с сгьз .г ыгг:с е ' 2248. ув — йу'+ у = 3 10. Примеры дифференциальных уравнений разных типов Определить тип дифференциального уравнения и решить его: у 2249. у'+ ' = е с. 2250. у'+ утйх = тйх. 1+х 2251. (х — хз)у'+ 12хг — Цу = хз. 2225. у'в + ув = 6х, + е. '.
2226. 91У вЂ” 81у = 27е з' . 2227. х + й = 31~. 2228. у"'+ 8у = е 2229. Ц в+4хс+ 1т = е-гк 2) нзх+ ггг 1 с,гс 2230. ув+ '1у =, . 2231. ув — 4у'+ 5у = вш 2,т соз х 2232. ув — йу'+ у = х ге'. 2233. ув + у = 18 х. -гх 2234. Ц ув+ у' =; 2) ув+ 4у'+ 4у = ес' хз 2235.
Единица массы пнижется по оси Ох под действием постоянной силы а, наврав:,генной по оси, при сопротивлении движепикц численно равном скорости движения. Найти закон движения, если при I = О имеем х = О и скорость в = О. 222 1'л. 12. Дифференциальные уравнения 2252. 11+ хт)д'+ у!х — ег1 + хз) = О. 2253. 1з Иа+ 2)ай = е' й. 2254. ху' = 4!у+ гу). 2255. 2хдд' = 2уз+ д''да + х4.
2256. хуа+ д' =!и д. 2257. ууа — 2у'з = О. 2258. уа — пРу = е "'. 2259. д':г!и х + у = 21п х. 2266.:гу'+ у1п — = О. 2261. 2у'+ у = у~(х — 1). 2262. угл — 2уа+ у' = х~. 2263. дп = у'+ у'~. ,!за 2264. — 3 — 2а = гйпб+ йсовй 'йз й 2265. 1) аш1г!а = 'И шпт — + ау) й; 2) уу'х — д' = 1. 2 2266. 1) ху'+ у1х1цх+ 1) = вес х; 2) уа+ у = г рз: 2267. 1) уа — 3у'+йу =; 2) у'ау = уад'. 1+ ст '' 2268. 1[илиндр радиуса а, дм и массой хн = аз кг плавает в воде при пертикальном положении оси.
1!айти период колебания, которое получится, если цилиндр немного погрузить в воду и затем отпустить. Сопротивление движенике принять приближенно равным нулю. 2269.!!алый железный шар с радиусами поверхностей а и 2а имеет постоянную температуру внутренней поверхности 100'е' и наружной 20 еС. Определить температуру внутри стенки на любом расстоянии г от центра !а ( г ( йа) и при г = 1, ба. <!Е' У к а з а н и е. Скорость падения температуры — в проводнике со й стационарным ржпределснисм гемш ратуры обратно пропорциональна площади поперечного сечения. 3 11. Линейное дифференциальное уравнение Эйлера и 1о) ) о — 1 (а — 1) ) ) ! ) ( ) Частное решение однородного уравнения (при 1(х) = 0) можно найти в виде у = х", где г постоянное число. Для нахождения г нужно подставить у = х' в однородное дифференциальное уравнение и решить полученное хороктерогтечсскис уравнены: огносителыю г.
При агом: Ц каждому вещественному корню г = а кратности ш соответствует ги частных решений х", х" 1п.с, х" (!их), ...; 2) каждой парс мнимых корней г = ох% кратности т соответствует гп пар частных решений: х" соа)61пх), х сов(61пх)1п:с, ...; хо гйв !В!ох), х" в)п !))1пх)1пх, ... з 12. Г истомы линейных дифференциальных уравненш1 223 Неоднородное дифференциальное уравнение Эйлера решается методом вариации постоянных. Решить ,2 и,1,.! 1 Оу ха. хдуц+ ху'+ у = х. 312. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Решить уравнения: пх е!х цу 2275.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
