Минорский - Высшая математика (1108568), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Й (х) =, !Ой[а+ 0(х — о)). (х — а)о 3'. Ряды Маклорена и Тейлора. 1:сли в формулах (1) и (2) ЕЕ„(х) — > О при и — ь ю, то иэ этих формул получаются бесконечные ряды: Е(х):Е(О) ' — ( )а + ( )ад+ !! Е(х) = Е( ) + „ (х - ) + .„ (х - )г + , (4) Е'(о) Ен(а) схоляьчиеся к Е"(х) нри тех значениях х, при которь1х 1пп Н„(х) = О. Гл. 14. Ряды 250 4'. Разложение в ряды алементарных функций: ж с =1+— 1~ сходятся к соответствукпцей функции при всех зна гениях х: ешг=х— сов х = 1— т т(т, — 1) (! + г) = 1 + — л + г +... биножпоиьньсд ряд; ои 1 1 2 сходитсгг к блогожгс (1+ х) гг1ли !х! < 1, ,в ,3 1п !1+ г! = д — — + — — —... сходитсгг гг 1и (1+с) сг1ли — 1 < г < 1; 2 3 агсся х = г — —, + — —...
сходится к лтстй г, прп !х! < 1. 2492. Разложить в ря,с по степеням д функции: 1) сгза 1х — о); я'г 2) а!слоях 3) .се"", 4) гбп ~ггсх -1- — ) и написать и исследовать формулу остаточного члена. 2493. Написать первьге три члена разложения в ряд функции ! !дг) = ! (1+ е и). 2494. 11о формуле Маклорена наспссать разложение в ряд по стопепям т. бинолла (1+ — 1 и показать, что полученный ряд схогс1 дглтся при и! < а.
2495. С помощькз биоомиального ряда показать, что при )х! < 1 г „з гсссс+ 1) (1 + х)з ' " ' ' ' ' 2 =! — 3т,+бх — 10х +...=~ ( — х)" 2496. С помощьпз биномиального ряда получить разложение в ряд функции , 3 '1,4 3 'з,е — 1 — —,с + х —, д +... при !х < 1. лсс1 + хд 2 2т 2! 2з 3! 2497. Разложить в ряд по степеням х функции: 1+с 1) !и; 2) 1п(2 — Зс+ хз); 3) !в (1 — х+ из). 1 — х 2498. Интегрированием подученного в задаче 2400 ряда написать ряд для !и (х + ъс! + хт). ,с ' +— хз — + 3! хх 2! хз + — +...
3! 6 5! ,4 4! 5 5. Приложения рядов я приближенныъЬ вычислениям 251 2499. Разложить стьЯ в рнд по степеням х — ад написать и исследовать формулу остаточного члена ряда. 2500. 1'азложить функцию !'(х) = хз — 3х по степеням х — 1. 2501. 1'азложить х4 по степеннм х + 1.
1 2502. Разложить в ряд по степеням х+ 2 функцию 2'(х) = — и х исследовать схадимасть ряда по признаку Даламбера. 2503. Разло;кить в ряды функции: !) !'(х) = соа — по степеням 2 :г, — —: 2) у'(х) — гбп 3х по степеням х + —,. 2' 3 2504. Разложить в ряд по степеннм х+ 1 функцию !'(х) = аух и исследовать по признаку Даламбера сходимость полученного ряда. 2505. Разлольить в ряд по степеням х функции: 1) 2хц 2) соа (Ьых+ — ~ и написать и исследовать формулы остаточных 4/ чл1'.1101ь !ьаз.!ож1ьцяя. 2500.
РавпажиЬИ фунКциЮ Ь"(Х) = Х' — 4т2 ПО СтЕПЕням Х+ '2. 2507. Разложить в ряд по степеням х — — функцию у'(х) = соз х 2 3 и написать и исследовать формулу остаточного члена ряда. 2508. 1'азложить в ряд по степеннм х — 1 функцию ь"(х) = гбв 3' 2509. Разложить в ряд по степеням х — 4 фуцкцн1а 7(х) = ух и исследовать по признаку Даламбера сходимость полученного ряда. 2510. С помощью биномиального ряда показать, чта 2 ' 4 ' ' 6 =1+ух +,, х +,, х +... при х ч1. чу1 х2 2 22 2ь 23 2511. Ношенным интегрированием ряда, полученного в задаче 2510, написать ряд для агсзьп х. 35.
Приложения рядов и приближенным вычислениям 2512. !!вписать бнномиальный ряд для згТ+ х и вычислить зЛ,004, уу0, 992, з/90, ограничившись двумя членамп ряда. Оценить пагрешносты 2513. Написать аьлномиальпый ряд для фТ+ х и вычислить ~~!, 006, ~~0, 991, К130, ограничившись двумя членами ряда.
Оцепить погрешность. 252 Гл. 14. Ряды 2514. Вычислить гйп 12', ограничившись двуьш членами ряда д<1е! вп! х! и од<н по!'ре"шность. Указание. х = 12', в радианах;г = «<!5 = 0,2094. Верянкзю гранину погрепп<ости определить из ус.<овия:г ( О, 3.
1 2515. Делением числителя дроби оа ее знаменатель по- 1+ хз 1 лучить разложение = 2, ( — ц" ххв ~ и, проинтегрировав 1+ хз почленно полученный ряд, написать разложеш<е в ряд агс!цх. 1 ' ( — 1)в 'хх" ' 2516. !!ела! ая х = — в разложении агс18х= 2; т<3 „, 2п — ! получить ряд д.<я вычисления я. 1)в — ! я=й дй1~ ' в=! 2517.
Вычислить я, взяв пять членов ряда задачи 2516. 2518. О помощью полученного в задаче 2'!97 ряда 1п =2 х+ + +... вычислить !и 2, !и 3. !п4, !и 6. 1 +:! Указание. !!сложив = 2, найти х и !. х. 1 —:е Гя!и: Г ' 2519. Определить в виде рядов интегралы ! <4х и ( <!хч ее 2529. Определить в виде ряда Функцию Ф(х) = ( е "' <!х и о вычислить Ф(1<<3), взяв столько член<и!! ско:и ко нужно для того, чтобы погрешность была меньше 0,001, ее!!. е„...'.
» ....Цтцй фуги.. э<.! — )'<4!-е "е о и вычислить Ф(1/5), взяв столько членов. сколько нужно для того, чтобы погрешность была меньше 0,00001. 2522. Найти в виде ряда решение уравнения ул = хху с на- чальными условиями: при х = О, у = 1, у' = 1. 2523. Найти первые четыре члена ряда, определяющего реше- ние уравнения <Риккати) у' = 1+ х — уз с начальными условиями: у=1 при х =О. 5 5.
11рнложения рядов я приближенным вычислениям 253 2524. Написать в виде ряда решение уравнении Ьесселя хул + + у'+ ху = 0 с начальными условиями: у = 1, у' = 0 при х = О. 2525. Вычислить ~/Т,005 ~~'!,0012, ~/0,993, ~~0,097, уТ10, тУ70, тУ40, ограничившись двумя членами биномиального ряда т(и~ — 1)хз (1+ х)'" = 1+ тх+ +..., и опенить погрешность.
2! 2526. Вычислить соя 12', ограничившись двумя членами разложения в ряд сои:г. Оценить погреггшость. 2527. Полаган в разложении в ряд агсзш:с (задача 2511) х = = 1/2, вычислить я, ограничиваясь тремя членами ряда. У к а з а н и е.
Гначала вычислить первый из отброшенных членов, затем выразить десятичной дробью каждый из первых трех членов с погрешностью не больше первого отброшенного члена. я 1 1 2528. Пользуясь тождеством — = агс1п — + агс1р, —, написать :! 2 3 выражение для л через сумму двух бесконечных рядов. 2529.
Полагая х = 1~% в разложении 1п (1+ х) в рнд, полу шть формулы: )1 1 1 1) !и (Л + 1) = !и 1'ч'+ ~, —, т ~;~/ 2Д~2 3 л, 3 ~1 1 1 2) !В(-~'+1) = !В-~'+О 4343 ~ —,„. —,,„+ В~гз — . 2530. Зная !и 2 = О, 6931, вычислить !и 5 и !и 10 и показатто 1 что модуль ЛХ = О, 13'!3.
1и 10 2531. Вычислить !и 101 и !~о 102. 2532. Определить в виде ряда длину дуги аллипса. 0,5 2533.В . / т+Р1*; с и: . н и, о нужно для того, чтобы погрешность была меньше 0,001. *,.2 2534. Определить в ниде ряда функцию Ф1х) = соз — Нх и 4 о /11 нычислить Ф ~ — ) с точностью до 0,000001. ~,2) Гл. 14. Ряды 254 36. Ряд Тейлора для функции двух переменных Формулу '1сйлора лля функции двух переменных можно написать в трех следующих видах: Г(х+ 6, у+1) =! (х,, у) + 1 ! д д11, 1 ! д д1 ~6, +! ~ Е(х у)+, ~6 — +1 ~ Г(х у)+..., (1) 1 ! д д1 Г(гз у) = Г(а, Ь) + — ~(х — а! —, + (у — Ь) —,~ Г(а, Ь)+ Н ~ дг; ду~ 1! д д1' + — ~(х — а) — + (у — Ь) — ) Г(а, Ь) +..., (11) 2! ~ дх ' ду) л1г Угг л1" г Л = — + — +...+ 1! 2! и! (П1) =,-~вл ' а=я,лвла 2538. Написать разложение функции Г(х+ 6, у+1) по формуле Тейлора (1), если Г(х, у) = ха+ ху+ ух.
2539. Разложллть функцшо Р(х, у) = ха + 2хд~ по степеням х — 1 и у — 2 (формула (Н)). 2540. Разложить функпию Г(х, у) = )и (х — д) по степеням х и у+ 1, написав члены 1-го и 2-го порядков и остаточный член (формула (Н)). 2541. Разлоллить функцию Г(х, у) = в1п (гнх, + иу) по степеням х и у. напил аз члены 1-го, 2-го и 3-го порядков и остаточный член (формула (Н) при а = Ь = 0). г,г 2542. Разложлл сь по степеням х и д фупкпию с " (формула (Н) при а = Ь = 0). 2543.
Определить прллращение Лх фуякпилл - = х~ — ху+ у~ (формула (Н1)) и вычислнть его при условии, что х изменяется с 2 до 2,1, а у изменяется с 3 до 2,8. 2535. Написать первые три члена рида, определяющие решение уравнении у = х~+ уз, удовлетворяющее усвловию: у = 0 при х = О. 2538. Написать в виде ряда решение уравнения уа+ ху = 0 с начальными условиями: пря х = О, у = 1, у' = О. 2537. Написать в виде рядов уравнения переходной кривой, вдоль которой кривизна 6 нарастает пропорционально длине дуги я. в Указание. Из условия =,, гле С постоянная, найти 1а и ав С затем решить уравнения л1х = л1в сое 1г и г1д = 4ве1пса. 'З 7. Ряд Фурье. Интеграл Фурье 2544.
Определить приращение ьхх функции х = сов (их — 6д), яаписав два члена формулы ! !!!) и остаточный член. 8 7. Ряд Фурье. Интеграл Фурье !'. Онре деле ние. срункеов Д!х) космосе!пел усЗоее!епн орзюЯеЙ доловил.и Дори!ме но отрезке !а, 6], если онв на етом отрезке: Ц имеет конечное число разрывов, причем все они первого рода; 2) имеет конечное число зкстремумов; Д!х — О) + 7"(х + О) во Всех точквх )а, 6) 2 2'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
