Минорский - Высшая математика (1108568), страница 37
Текст из файла (страница 37)
2363. Поверхности а« = ху, расположенной внутри цилиндра х2 1 уз аз 2364. Поверхности конуса хз + уз = «з, расположенной внутри цилиндра « = йрт.. Вычислить плошадь: 2365. Поверхности цилиндра хз+ «з = аз, расположенной внутри цилиндра т + у = а . 2366. Поверхности шара т. + у + « = а, расположенной внутри цилиндров хх + уд ~ ах = О. 2367. Поверхности параболоида хз + уз = 2вы, расположенной внутри пнлиндра т, + у = 3а . 2368. П помогцью двойного интеграла определиты площадь части земной поверхности, ограниченной меридианаъги 0 и П', экватором и параллелью вт'.
1'ассмотреть гастный случай при а = 30', ,'Э = 60'. 35. Тройной интеграл и его приложения Тронным иввтсграаодв от функции у(х, У, ), распространенным на область (У), называетсп предел соответствующей трехмерной интегрюп ной суммы: у(х, у, ) Пх уув(«= 1(ш ~ Ч~ ~~ Ч1"(х„уу, «в)ваах,««дува«ю юаа«ааь-ве (и) ма«ау -ве мах Л«в — >Е где Лх, = хв~ы — х„аду = у +в — у,, «Х«в = «~~ы — «у и сумма распространена на те значения ) и 13 д:ю которых точки (х,: у: «д) принадлежат области (1'). Если область ((а ) определена неравенствами Ув(х) «в У «в У«(«): «1(а У) ~ ~«ва ««(х У) то В уа(") аа(юу) Е(:а, у, «)йхв(УИ« = / дх / г(у / Г(х, у, «) г1«.
а у1(~ ) «1(а, у) 234 Гл. 13. Лво>Еные, тройные и криволинейные интегра.ты 2382. Определить массу гела, о! раниченного поверхнос>н>ми 2т, + — = 2а,,т+ г = а, уз = ат, у = 0 (при у ) О), если плотность в каждой его точке равна ординате у этой гочки. 2383. Определить центр масс однородного полушара хз+ уз т +яд=аз г=0.
2384. Определить момегп инерпип относительно оси 0» тела, ограниченном> поверхностями = = 2ат,,г = О, х + уа = ах. 2385. Определить обьем тела, ограни генного поверхностью (х +у +г ) = ахуг !перейти к сферическим координатам) (сх!. задачу 2377). 2386. Определить массу сферического слоя между поверхностями х~ + у~ + ~ = а и х~ + у~ + г~ = 4а, если плотность в каждой его точке обратно пропорциональна расстоянию от точки до начала координат !перейти к сферическим координатам). 36. Криволинейный интеграл. Формула Грина 1'.
Определение криволинейного интеграла. Пусть ца дуге ЛВ, спрямляемой кривой, определена непрерывная функция РЕх,у,г). Разобьем дугу на части точками Л(хе', Уе, 'ге), М>(х>: У>: "!), , М„>(»н >, уо >„„!) и 13(>то: уо: о) и пусть х; — х; > — — Ьхо '!огда 1пп 2 Р(хо У,, г,)>Ах, пазываетсп кРиооланеаным интегРалом, ач,->е взятым по дуге Лрн и обозначается ) Р>х, у, -) г1х.
Аналоги шо опреде>и лян>тся инте репы ) О)х, у, г) гЕу, )' Л(х, у, х) >Ег и )' Р>1х+>»>13у+ лв лв лв + Я>Ег вак гумма предыдущих интегралов. Е!аконец, встречается еще криволинейный пят!трал вида Р(х, у, г) >1я = 1пп ~~ Р(х>, у,, г>)Ляа где Ляг = М! >М!. Ья,->Е >=1 2'. Вычисление криволинейного интеграла. Пусть кривгн ЛВ задана уравнениялги х = Д1), у = >о(1), г = С61), а пграметр ! при перемещении точки >14(1) по дуге АЛ в одном направлении изменяется монотонно: тот,>а >в з 6. Криволинсйный интеграл.
Формула Грина 235 т. с. асс парс«нснныс и диффсрснииа.«ы под знаком криволинейного интеграла нулсно с ырсышнс ч«р««т одну псрсащнную (!) и сс диффсрснгп«ал (М] из ураансний криво«Ь 3'. 21 е ха нич сскос значс ни с криволинейного ипт с г р ала. Инте*«рал вида / Рдх,+Оду+ Л«!с определяет работу при перемели« щснпи сдиницы массы по дуге АВ в поле, образованном силой Е(Р;?,); Л).
4'. Случай полного дифференциала. Если в некоторой области ((г) 1 дх+ с«) г!у+ Лдс = ди, то ( ! Их+ «ч«ду+ Лдс = и«« — ил, т. с. равен разности значений функции и(х, у, а) в точках В и А и нс зааиси«н он« пути ««нтсгриросан««л АВ. ваятого в области ®. 5~. «1«орму.«а Грина (гй (с) преобразует криволинейный интеграл от Р да + Оду, взятый (протяв часощ«й стрелки) по замкнутому контуру (С), в двойной интеграл по области (о'), ограниченной стим контуром. 6'.
Площадь, ограниченная контуром (С): 1 Г В= —, п«хду — удх. 1с) 2387. Да««ы точки г1(2: 2) и В(2; О). Вычислить (х+ д) дх: (с) ,з 1) по прямой ОА; 2) по дуге ОА параболы д =; 3) по ломаной 2' ОВА. 2388. Даны точки А(«1: 2) и В(2; О). Вычислить (х+ у) йх — х ду: [с) 1) по прямой ОА; 2) по ломаной ОВА. 2389.
Ре«пить задачу 2388 для интеграла « д«!х+ т, дд. (с) Почему здесь величина интеграла пе зависит от пути интегрирования? 236 Гл. 13. Лвойные, тройные и криволинейные интсгржты 2390. Даны точки Л(и; 0; О), В(и: а; 0) и С(и; и: а). Вычислить шгтеграл у стх + я с1 у + х с1 х ь х по прямой ОС и по ломаной ОЛВС. 2391. Поле образовано силой Е(Р; Г)), где Р = х — у, =:с.
Построить силу Г в каждой вершине квадрата со сторонами х = жо и у = жа и вычислить работу при перемещении единипы массы по контуру квадрата. 2392. Поле образовано силой Е(1'1 Г)у. где Р = т + у, = 2х. Построить гнлу Р в начале каждой четверти окружности х = асоз1, у = наш 1 и вычислить работу при переьсесцении единипы массы по окружности.
Решить зту же задачу при условии г' = х+ у, сс = х. Почему здесь работа равна 07 2393. Поле образовано силой Р(у; о'у. Определить работу при перемещении массы нс по контуру, образованному полуосями координат и первой четвертьн> зллипса х =- асоз1, у = бас)п1. 2394. Поле образовано силой Ртх; у: ху. Вычислить работу при переьсешении единипы массы по ломаной ОЛВ1 О, соедслппющей точки О(О: 0; 0), Л(0; а; 0), В(а; ас 0), С(а,; и; а). 2395. 11аписа~ь и проверить формулу Грина для (х + у) с)х — 2х осу 1с') по контуру треугольника со сторонами х = О, у = О, х + у = и. 2396.
Вычис:пгть интегралы: 1) 2ху с)х+ х~ Пу; 2) сов 2устх — 2х аш 2уоу; 3) ьд ус)и+ х вес ус)у АВ по любой линии от точки Л(1; т)Ь) до В(2; т)Х). 2397. Прилсепив формулу Грслна, вычислить интеграл у с)х+ (х+ у) с)у 1ст) по контуру ЬЛВС с вершинами Л(а: О), В(а; и) н С(0; и). З 6. Криволинейный интеграл. Формула Грина 237 2393.
Опреде.шть криволинейным интегралом площадь эллипса х = а сов С у =. 6гйп С 2399. Определить криволинейным интегралом плошадь пег.ли кривой ха+ хз — уз = 0 (счл. рис. 48 на с. 304). У к аз ание. Перейти к пврвмегри'вским !равнениям, положив д = = ХС 2400. Определглтл криволинейным интегралом плопгадь петли декартова листа хз+ дл — 3аху = О (свл. указание к задан 2399 и рис. 79 на с. 334). 2401. С какой силой притяплввет масса ЛХ, равноллерно распределенная по верхней полуокружности из + у~ = а, массу т., сосредоточенную в начале координат7 Указание.
Пусть р линейная плотность, йв элемент длины по:лупкрульности, д угол радиус-вектора с осью Ох, в Х и У проекции силы притяжения. "!'пглв влпр сов дл!в, !' дилрыпвбв !ей (ей гас в гравитационная постоянная. 2402. Даны гочки А1,— и: а) и В(аб а). С какой силой масса ЛХ, равномерно распределенная по отрезку ЛВ, притягивает массу ги, сосрсдоточеннукл в точке (О; О).
2403. Даны точкц А(а; 0), В(0: а) и С( — а,; 0). С какой силой масса ЛлХ, равномерно распределенная по ломаной ЛВГ,, притягивает массу т, сосредоточенную в начале координат. 2404. Даны точки Л(0; !), В(2; б) и С(0; 5). Вычислить (х+ у) г!з — 2угХу: О'! 1) по прямой ЛВ; 2) по дуге ЛВ параболы у = хз + 1: 3) по ломвлгой ЛСВ. 2405. Даны точюл А( — а: 0) и В(0; а). Вычислить работу силы Р(1', Ц), где 1' = д и Я = у — х, при персмещсшллл единицы массы: 1) по прямой АВ; 2) по ломаной АОВ; 3) по луге АВ ,2 параболы у = п — —.
а 2406. Показать, что у Дх+ (х+ у) г1у в !с! 238 Гл. 13. Лвойные, тройные и криволинейные интсгра.ты (сс) взятого по контуру ЬЛБг.' с вершинами Л(1; 1), Б(2; 1) и 11(2; 2). 2408. С помощью криволинейного интеграла определить площадь фигуры, ограниченной астроидой х = а сов С у = сс вш' С ,з . сз 2409.
С помощэло криволинейного интеграла определить плошадь, ограниченную кривой у + х~ — хэ = О. (Перейти к параметрическим уравнениям, положив П = х1.) '2 Т. Поверхностные интегралы. Формулы Остроградского — Гаусса и Стокса 1'. Поверхностные интегралы. Пусть Е(х. р, х) непрерывная функция и = = ээ(х, у) уравнение поверхности,5', причем дэг(х, р) дээ(х, р) существуют, и дх дй 11оверхностныб интеграл первого юиоо представляет собой предел инты ральной суммы'. ~ Е(х, р, в) МЪ' = !шг 5 1г(хо р„",)Лдг, в-~ис !х! где ль5; площадь 1-го элемента поверхности 5', точка (х,; р,; х,) привалю:жит этому зле ленту, причем максимальный диаметр элементов разбиения стремится к нулю. Если проекция а поверхности,5' на плоскость х09 однозначна, т.
с. всякая прямая, параллельная оси Ох, пересекает поверхность 5 лишь в одной тоггге, то соответствующий поверхностный интеграл первого типа может быть вычислен по формуле / Е(х, д, х) г1,5' = = Д Е[х, П, р(х, 11)] дх г1у. Если Р = 1'(х, р, э), Ц = Я(хз Гб э). 11 = Я(хз рз х) вепрерывныс фушгции и 5т сторона поверхности .5', характеризуемая направлением внепшей нормали гт)сова; сов д; сов 7), то соответствующий по:цобому замкнутому контуру равен ну.цо. Проверить, вычислив интеграл по контуру фигуры, ограниченной линипми у = х и д = 4. 2407.
Написать и проверить формулу Грина для интеграла З 7. Поверхностные интсгра.ты поверхностный интеграл второго рола выражается следующим образом: / Р дуг(л+ с«у= Н«+ йда г)у) = Д(Реево + ~) сову+ асов;) дг«1 (гй (в«) 2'. Формула Остроградского 1'аусса: «' )'дР г)Я д)г'г ~ (Р сов а+ (;) сов,д+ Ксову) г(л = ) '|'| '(т —, + —, + —,— у) г(«дуг(х, ( (, ди ду д« у) (и) (в) где о,,'3 и В углы внешней нормали замкнутой поверхности,'«' и осями координат, а () объем тела, ограниченного втой поверхностью. Первый интеграл можно записать в ви„н Д( «Р «Р «Р) «Ю где Р(ж, д, «) = О уравнснис поверхности, а .б, проекция й на плоскость «Оу. 3'. Формула Стокса. Р де+ () ау+ Лдл = (с) |) ~(«а «О) ( бг «а) г, («О «Е),о $ „, (в) где о, 3, 7 углы, образовапныс осями координат с нормалью к поверхности Я, направленной в ту ее сторону, с которой обход контура С рассматривается происходящим против часовой стрелки.
2410. Вычислить (в) по верхней поверхности плоскости и + у + = а, расположенной в псрвом октаите. 2411. Вычислить Р | (*' .- ( . о ~ г' .. (, в ~- "«,. (,, г) / ««. (и) по верхней поверхности параболоида ж~ + у~ + 2а- = а«, расположенной во втором октанте (где «: ( О, у > О, х > О). 240 Гл.!3. Двойные, тройные и криволинейные интегралы 2 ~лап Указание. Приведя интеграл к виду || [г, + П + ал ), пе- с )и,) рсйти к полярным координатам. Угол )с будет изменяться ет т~/2 де з. |Е'- с, Е + Г.-~,аггее.-( . ~))м, 2 ~ ! ~ ~ 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 ОУ) взятого по наружной поверхности тела, ограниченного поверхно- стями из+ д2+ 2аг = аз, т = О, у = О, л = О, внутри первого октанта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
