Минорский - Высшая математика (1108568), страница 36
Текст из файла (страница 36)
+д=О, — ' =Зт.+у. й ' ' й й е!х е!у 2276. + х — у = е', — х+ у = е~. й ' й У к а з а н и с к задаче 2273. !! родифференцир окав первое из уравнеоу ний по 1, исклкохаем пз трех уравнений у и — '. Й цх е1у 2277.5 — 2 +4х — у=с й й А: й тЗд — Зу=Зе '. 2278. х — 4:т + 4х — у = О., у+ 4у+ 4у — 24х — 1Ое'. Решить уравцшшн: 2279. х + Зт + д = О., у — х+у=О, х=1, у=!при!=0. 2280.
х = у, д = х+ 2в1! !. 2270. 1) 3) 2271. 1) 2272. 11 2273. 1) 2) 2274. 1) 2) уравнения: хзу'а — Зху'+ Зу = 0; 2) х~уа — 2у = 0; хх и+ 2ху' — ( + 1) = О. хдуп+ эту'+ 4у = 0 2) тдуц+ ху" + у = О. ху" + 2у' = 10х: 2) хдуц — бд = 12!и х. хддп — 2хд'+ 2д = 4х; .зу +З.з,~+ 224 1л. 12. Диффсрснциальныс уравнсния 8 13. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка 1метод характеристик) 2281.
Найти общее решение (содержащее пве произвольпыс функции) уравнений: дх ду ' ду' ' дхду х ду дги , х 4), =2а — +6. диду у ди Указания. Пслслпггь — = а, суу д 2282. Найти частное решение уранпопия, = О по начальдх з дх г пым условиям: х = уз, —, = уг при х = 1. дх 2283. Преобразовать уравнение дги дги, дги — 4, +3 =О дт,' дх ду ду' к канонической форме и найти его общее решение. 2284. Преобразовать уравнение дги дги дги 'г д,.г+2худ д +у д г к канонической форме и найти его общее решение. Н следующих дифференциальных уравнениях найти общие решения, а если даны начальные условии, то гг частные решения: дги дги дг и 2285.
г — 4 + 1 г О. дхг дх с1У дуг ди дв ди 2286., —, =О; и=вшу, —,=уприх=О. дхг дуг ' '' дт, дги дги дл 2287.х +у =О: и=йу+1, =уприх=1. дхг ' дхду ' ' дх г 13. Метод характеристик дгц д2ц ди 2288 12 сг О. ц 2тг хг пр„! д12 дх2 ' д1 Найти частные ретпения дифференциальных уравнений: дгц дгц дц дц, 2289. +, + —,=О; и=О, — —.= — х — 1приг=О, ' дгг дхд1 д1 ' ' д1 дги Дгц дц дц 2290.
4игх —, + 2аг —, = О: и = О, —, = цх при Е = О. 'дх' д12 дх ' ' дг дгц дги ди 2291. аг =; и = ~(х), —, = l'(х) при 1 = О. дхг дгг' ' д1 Глава 13 ДВОЙНЫЕ, ТРОЙНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ П 1. Вычисление площади с помощью двойного интеграла 1'. хуеойныл ояоьегралоа от непрерьтной функции )г(хб у). распространенным на ограниченную область (л) плоскости хОу, называется пропел соответству1ощсй двумерной интегральной суммы: / П(х, у) г(хпу = !ш1 ~ ~~ ~Г)х„, уь)Ьх,,глух, шах Лю-ьо (в) маг лл1-го гае Лх, = х,а г — хм Луь = уьаг — уь и сумма распространена па те значения 1 и 1ц д;щ которых точки (ха; уь) принадлежат области (л). Площадь Я области (,Ч) определяется формулой )(=Д ( уу.
(в) йь. Если область (л) опрепелястся неравенствами о ( х ( 6, уг(х) ( ( у ( ул(х), причем кажпая из непрерывных кривых у = у1 (х) и у = = уз(х) перс секается с вертикалью х = Л (хг ( Х ( хл) только в олной точке, то Ь аа(г) (ч) Л1(г) Чг(е) где при вычислении интеграла / )г(х, у) г!у величину х полагают поО1(е) сгоянной.
Зь. Если область (Я определнегся неравенствами Ь ( у ( (, хг(у) ( ( х ( хз(у), причем каждая нз непрерывных кривых .е = хг)у) и х = = хл(у) пересекается с горизоята;пло у = У (у1 ( У ( ув) то,п ко в одной точке, то ы(о) /'Е(х,у)г(х~у ~~,„~ 1(х,у)лх, (л) Ь е,(у) з 1. Вычисление плошади с помощью двойного пятеграда 227 22(У) где при вычислении интеграла ~ г'(х, у) ь(х величину у полагают по- 2(У) етояшьей. 42. Если обтасть (82) определена в полярных координатах неравенствами Ьеь < Уг < ьрг, гь (Ьг) < 2 < гг(р), со плсппаль атой области Иг 2(У ) гь(ь Пуг гг / ь(:р / гь(г. бв) и2 м(е) Ваписать с помощью двойных интеграшья и вы пилить площади, ограниченные линнямн: 2292.
ху = 4, у = х. х = 4. 2293. 1) у = хз. 4у = хз, у = 4: 2) у = хз, 4у = хз, х = ~2. 2294. у = 4+ х, х + Зу = (). 2295. ау = тз — 2ат, у = т,. 2296. у = 1п х, х — у = 1 и у = — 1. 2297. Построить облвсьи, ььььопьадьл которых выражядися интегралами: 2 Хг'иг — Уг гз„г г 2) г(у ь(:г; 3) ь(х ььу. Ц ь(х г(у; о о О 2 — У о х Изменить порядок интегрирования. Указание. Чтобы получить уравнения линий, егрэничиваппцих область, нуаьно пределы интеграла по Ух приравнять х, а пределы интеграла по ь(у приравнять у.
2298. Построить области, площади которых выражаются ин Ь З х2 о о теграгьахьиь 1) Пг; ь(у; 2) ггу г1х. Изменить порндок о — З Уг — З интегрирования ьл вычислить плошади. 2299. Вычислить площадь, ограниченную линиями г = пь(1 — сов ьр) и г = о, и расположенную вне круга. 2300. Вычислить площадь, ограниченную прямой гсовьр = а и окружностью г = 2а. Вычислить плошади, ограниченные лининми: ав х 2301. ху =. —,, у = 2 ', у = —, у = 2х. 2 ' 2' У к звание. В задаче 2301 выгодно перейти к новым координатам ху = и и у = ех, после чего плоше,п оььределяется по формуле 228 Гз.
13. г1войныс, тройные и крнвоаннейныс пнтсгралы дх ду ди ди дх дгг дс да / ~,У г1и Йьб гдс,У = н называется якобнаном. В задаче 2302 положить уз = и:а, сдз = тз, а в задаче 2303 перейти к обобщенныьг полярным коордннатаъг х = г сова са и Р = г гйп ьа. з 2302. уз = а,.г, дз = 1бах, аЗ12 = т;з, 1бауз = хз. 2303. хзГз -';- узг'з = аз го Вычнсднть площади, огранпченные:шнннмн: 2304.
у = хз, д = х + 2, 2305. аг = уз — 2ау н д+ гг = О. 2306. д = гйп х, д = сов х и х = О. 2307. ух = ав — ах., у = а + х. 2308. г = 4(1 + соя ф, г соа го = 3 (справа от прямой) . 2309. г = а(1 — соа ф, г = а, н распопов снную вне карднонды. 2310. ху = 1. ху = 8, уз = г,, уз = 8х. 2311. Построить области, плошади которых выражаются интегра:ими: а , Г2аа — аа 4  — а 1) г1х г1 гд 2) г1 у г)х: 3) г1х г1 у. а а О гаа О 2,/т Изменить порядок ннтегрнровання н вычислить площади. ЦхгГхгГР Цуахау ха=', ', Р, Я ' ' 8 Ыоагсггты инерции площади чй Р Р: Л' У а ~~ Р ( ) Ж 1в1 РО 3 2.
Центр масс и момент инерции площади с равномерно распределенной массой (при плотности = 1) !1оордннаты цснтра масс плошади У с равномерно распрсдсаанной нз ной массой: ЛЗ 2. центр масс и ъломент инсршт площади Определить центр масс и:лошади, ограниченной линиями: 2312. у = 0 и однолл полуволпой синусоиды у = сйп х. 2313.д=-х~, х,.=4 у=О. 2314.у =-ахиу=х. 2315. из + дз = аз и у = О. 2316.
Определить центр масс площади, ограниченной астроидой ххлз -'; узла = ахл и осью Сх. У к аз анис. Перейти к обобщенным полярным коордллнатам х=гсоз,р и у=гсбп уь 3, з, 2317. Определить моменты инерлллли,Ух, дт и 1о площади прямоугольника, ограниченного линиями:г = О, х = а,, у = О и у = б. 2318. Определить члоллент инерции относительно оси Ох площади, огРаниченпой линиЯми У = хлл2, х = а, У = а,. 2319. Определить момент инерции относительно оси Оу площади треул'ольника с вершинами Л~О: 2а).
В~а; 0) и С(а; а). В задачах 2320 2323 определить полярный момент инерции площади, ограниченной ливиями: 2321. лл = сР сов 2со. 2320. т + у = а, т, = О, у = О. 2322. Окрулкностл ю г = а. 2323. уз = а.г, х = а. Определить центр масс; 2324. Полусегмента парабольл дх = ах, х = а, д = О (при у ) О). у д 2325. Полуэллипса + = 1, отсеченного осью Ох. слр 2326. Определить момент инерции относительно оси Оу пло- 2 щади, ограниченной линиями у = а+, у = 2х и х = О. а, 2327. Определить момент инерции относительно оси Ох площади треугольника с верлллиллалли,4(1; 1), 13(2; 1).
С(3; 3). Определить полярный момент инерции площади, ограниченной линиями: 2328. — + — = 1, х = О, у = О. а б 2329. у = 4 — хх и у = О. 2330. г = а(1 — сов о). 230 Гл. 13. 3войные, тройные и криволинейные интегралы 33. Вычисление объема с помощью двойного интеграла Объем тела, ограниченного с»»арху поверхностью с = Г(х, у), снизу плоскостью г = 0 и с боков цилиндрической поверхностью, выр»яакпцсй на плоскости хОу область (У), равен 1' = ~~ дх»1у= ~~ г (х. у) г1хду.
00 Вычислить обт,емы тел, ограниченных поверхностями: 2331. х =;сг + у', х +,у = 1, х = О,,у = О, - = О. 2332. с = х + у+ а, уг = ах, х = а, = О, у = 0 (ирп у > О). 2333. (х+ у)г+ ад = а", х = О, у = О, = 0 (поверхность построить по сечениям: х = О, у = О, - = О, х = 5 < а; см. задачу 546). 2334. гг + уг = аг, хг+ гг = аг (сь». задачу 552). 2335. г = ху, х = а, х = О, у = аэ у = О. 2336.
пх = т,г — уг, х = О, х = а,. 2337. гг = ху, х: + у = и,. 2338. х + у+ г = За, гг + уг = пг, - = О. Указание. В задачах 2338 2344 перейти к полярным координа- 2339. — = тх, хг+ уг = аг, - = О. 2340. ах = пг — хг — уг, х = О. 2341. хг + уг + хг = 4аг, хг + уг = аг (вне цилиндра). 2342. хг+ уз+ ~г = аг, хг+ уг х ах = 0 (ивуар пилиццров). 2343. Первым завитком геликоида у =:г!ц — внутри цилиндра а хг + уг = аг и плоскостью д = О. 2344. хг = 2ах, хг + уг = ах.
х у 2345. — =1 — — — —, э=О. с аг бг Указание. В задачах 2345»л 2346 перейюл к оообгценным (злл»»- птическим) полярным координатам: х = отсов р, у = Ь» еш»ъ , г 2346. г = се» е гч 1»д " ) и — +— пг 2347. хгд»+ уг»з+ -гд» = аггз (полодтигь х = гсоь»»" у = = гв)г»»р). з 4. Плошали кривых поверхностей Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями: 2348. х = а, — т, уз = пх и = О. 2349. з = хд + уз, у = хд, у = 1, = О.
2359. уз + ед = 4ат, уз = ах, т = Пп (вне пилипдра). 2 2 2 2 2351. + = 1, — + =1. пз дз ' стз 2352. Еоноида:сзу + я~в~ = а у при О ( у ( П (см. задачу ' 59) 2353. хе(з + з(з пд(з гд(з +, з(з пд/з 2354. 4» = 10 — тз — у~, д = О, х~+ у~ = 1 (вне цилиндра). У к а з а н и с. !1 задачах 2354 2358 перейти к полярным коор тинатам. -д — (с+ п)з тх+ уз — пд 4 2356. - =, = О, хе+ уз = 1, хе+ дт = 4. т2+ 2' 2357.
п,д = хгз + уз, - = О, хз + уз х ах = О. 2358. пх = аз — хз — уз, д = О, хз + уз х пх = О (внутри цилиндров). .2 2 2 2359. +' +, =1. Указание. Положить т = а«соех, у = уга(п р. 3 4. Площади кривых поверхностей Плошадь и части поверхности Е(х, у, с) = О, проекция которой на плоскость "= 0 определяет область (и,), равна д (ОГ)дх)д+ (ОХс)ду)д + (И"/дс)д и= дх Оу = (дГ/дс! ( "1 = Д „йх е(у. 0" 1 Аналоги шо при проектировании на две другие координатные плоскости полу итти е(х с(с, и = ~~, ойу е(л.
232 Гл. 13. «ввойные, тройные н криволинейные интегра.ты Вычислить площадвл 2366. Поверхности цилиндра 2« = хз, отсеченной плоскостями у = х(2, у = йх,,г = 2ъ~2. 2361. Поверхности конуса «з = 2ху, отсеченной плоскостями .с = а и у = а, при х ) 0 и у ) О. 2362. Поверхности конуса у" + и =- хт, расположенв|ой внутри цилиндра х + у = а .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
