Минорский - Высшая математика (1108568), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Функция !"(х), удовлетворяющая условиям 11ирихле на отрезке ! — 1, !], может быть определена во всех точках етого отрезка рядок Фурье: оо п7Г е тмгх ! Д!х) = — + ~ '!а„сов + 6„в!и ] 2 ! I о=! где. 1 ! а хе 1 !" пжх ао = — / Д!х) сов — — -- дх: 6„= — / д"!х) с4п — !!х. <2) г ' " !/ '' ( 1 сли Дх) = д'! — х), т. е. У!х) функция мгяяол, то Ь„= О и !(х) = —, + ~~ аи сов 2 "' ! !8) о=! Если Д!х) = — Д! — х), т. е.
!"(х) — функция нечеьчнал, то ао = О и пхх Д!х) = ~! 6„вш о=! !4) 2545. Функцию !г(х, д) = хтд разложить по степеням х — 1 и д+ 1 !форх!ула ГП)). д 2546. Функпшо уг!х, д) = агс!и — разложить по степеням х — 1 и д, ограничившись членамн 1-го и 2-го порядков. 2547. Разложить функцию х = д по степеням х — 2 и д — 1, иаписвв члены 1-го и 2-го порядков, и вычислить 1,1ж!. 2548.
Определить пркрашеяие Ьх ддя функции х = х~д — д~ и ввачислить его с точностью до О!000! при условии, что х изменяется от 2 до 1,99, а д от 5 до 5.02. 1:г.14. Ряды 256 Если функцию г"(х), опрсдслснную рядом (1) на отрезке ( — Е 1], продолжить по периодическому закону с периодом 20 потргбовав, чтобы .Г(Š— О) + у(г + О) Я) 2 , то она будет опредеггягься рядом (1) и на всем своам продолжснии. 3'. Если функция г"(х) обсолютяо пятсгртррежа в промежутке ~--, -) (*.
° 1' ггосб"*--) ° .-".".--- з.— рикле на всяком конечном отрсзке, то она может быть представлена иптогразом Фурье: +со з-сю 1 ) у д / у ( г ) ( Г ) о Г г,/ о -сю з-ж / '(о(гт) совах ч- б(е) аидов) Ь», (5) о гдс 1 1 а(о) = — / 1(Г) сов оГ й и Ь(о) = — / г(Г) а1п оГЖ. (6) к Разложить в ряды Фурье следующие периодические функции с периодом 2т: 2549. г"(х) = 1 при 0 < х < ц и г'( — х) = — 7(х).
С помощью полученного ряда показать, что 1 1 1 т 3 о 7 4 2559. )'(х) = х при 0 <,г < т и )'( — х) = )'(х). С помощью полученного ряда показать, что 1 1 1 тз 1+ — + — + — +...= Зт бз 7з 8 2551. у"(и) = хд при — х < х < гг. (.' помгнцыо полученного ряда показаггм что 1 1 тт 1) 1 — — + — — — +...= — '; 2з 3з 4т 12' 1 1 1 пз 2з Зз 4з 6 я при -я<а<0, 2552. )'(х) = я — х при 0 < х < гг. 'з 7. Рнд Фурье. Интеграл Фурье Разложить в рнд Фурье периодические функции с периодом 21: 2553.
1'(х) = 1 при 0 < х < Г и 1( — х) = — 1(х). 2554. 1(х) = 1 — х при 0 ( х ( 1, У( — х) = Г(х), 1 = 1. (О пр — 1«.,О, 2555. У(х) = г (х при 0(х<1. 2556. с'(х) в области (О, 2) задана графиком (рис. Зб) и продолжена: 1) па четному; 2) по нечетному периодическому закону с периодом 21 = 4. Разлаагить каждую из зтих функций в ряд Фурье. рис. за 2557. Распространение тепла в стер вне длиной 1 определяется уравнением гги сС2,и ав ДС, Дхт ' где и(х, 1) температура, и условиями Ц граничными: и = 0 при т = 0 и при х = Г; 1'х при:г < СС'2, 2) начальными: и = ~ ' при 1 = О. (1 —:с при х ~ 1,12 Определить методом Фурье функцию и(х, С). 2558.!Градольные колебания стержня длиной 1, у которого один конец (при х = 0) закреплен, а дрГтой (при х = 1) свободен, определяются уравнением 1 д~и д~и оз ДС2 Дхв' где и(х, 1) — про Сольное смедцеии, и условиями ди 1) граничными: и = 0 при х = 0:, = 0 при х =1; дх ди 2) начальными: и = дг(х), — = 0 пРи 1 = О.
дс Определить методом Фурье функции> и(х, 1). 258 Гл. 14. Ряды 2559. Поперечные колебания стержни длиною 1 с закрепленными концами определяьотся уравнением Д2 114„ г22 1)12 Дхд и условиями дти 1)граничными; п,=Ои, =Оприх=Оих=1; дх2 ои 2) начальными: и = ((х) и —, = 0 при 1 = О. д1 Опред~лить методом Фурье функцюо п(т., 1).
В задачах 2560 — 2562 написать интеграл Фурье ллн функции: (1 при О < х < 1, 2560. 1(х) = 4 и (( — х) = -1(г). 2561. ((х) = е "' при х Ъ О и (( — х) = ((х). 2562. ((х), заданной на отрезке [ — 2; 2] графиком на рис. 36 и равной нулю вне Мого отрезка. Разложить в ряды Фурье функции. 2563.
((х) =, при 0 < х ( я. 2 2564. 1(х;) = з1п х~; с помешан) полученного ряда показать., что 1 1 1 1 (х при 0 <:г' ( п,(2, 2565. Д(г) = 1, ' и (( — х) = — 1(х). 2566. ((х)=хпрцО<х <1, 2568. Х(х) = сх прп — 1 < х < 1 и 3 (х+ 21) = ((х). 'а 7. Рлд Фурье. Интеграл Фурье 2569. Методом Фурье решить уравнение дти дти д7т дхт при условиях: ди Ц и=Оприх=О, —,=Оприх=п; дх да 2) и = 7'Я и, — О при 1 = О. д( 2570.
1!аписать интеграл Фурье для функции 1 при — 1<х< 1, О при ~л~ > 1. х и ОТВЕТЫ 1. А В = О, ВС = — 6, А С = 3, Π— 6 = 3. 3. 512+,'2), 90'. 45'. 5. 20. 6. 5«««2. 7. 1«5; 5), ««ог, — 3). 8. В(0; 2) и В(0; — 4). 9. и = а ж ч««2 — Ь2; при с > (Ь! две точки, при с = Ь! одна, при с < (Ь! ни одной. 10. 34 (5; 0).
11. Центр (1; -Ц, В = 5. 12. пр„АМ = — 2, пр ЛВ = -4, )АА! = 2 Д. 13. В (Уи 8), ~ М) = З,Г2. 14. В(4,. -3). 15. — 4, 1, ;й 17. (О; 2. О). 18. В(4; 0), В, ( — 8; 0). 19. Центр 12; — 1), В = 5. 21..» = 7, '2 22 5«11. 4) 23 Ь«111. ~6) 24 М '«+ 2' 2 «т«» + »«22 26. В 26см от центра шара оаггой 100«.
27. 11; 2,5). 29. ОС = 5, 24ъ'2 ОТ« = . 30. (3; 3). 31. О. 33. Ы. 34. (1; 3). если силы напра- 7 олены в олпу сторону, и 12о; 27), если в разные стороны. 35. (1; — 1). 36.. 37..г=,у= ' ' ' . 38.) —; — ). 10««2 г»+ х2+ ла у»+ у»+ уа»«37 13«« 3 3 ' ' 3 ),27'27) 39. С,(З; 01, С2(-7: 0). 40. 34~2; -6), 1(5; 8). 1 (-4;1), Ь = 7/~. 42. «:2+ уз — 62 — 8у = О, А и О лежат на окружности. 43.
ж — у — 2 = О, .г О и В лежат на линии. 45. 22+ у« = 8. 46. у = ж«г. 47. — + у2 = 1. 2 48. у = — — и+2. 49. у = ж2л. 51. 11; О), (3; 0), (О; 3). 53. у2 = 8(г — 2). 4 54. 22 — у+ 5 = О. Точки В и О лежат на линии. 55. х~+ у = 4. ,2 ««. =" —; — «. »«. т*««) «Ь««) — Д:1) «О-2) или иу = 2; прп и = +1««2, +1, ~2, +4, у = +1, +2, +1, +1/2; по втим точкам мо»кпо построить кривую. 59. 1) у = х + 3; 2) у = — х: + 3.
60. 1) у = хч«3 — 3; 2) у = — л ч«3 — 3. 62. у = — 1, 5х. 63. 1) 5 = 2««З, Ь = — 2; 2) Ь = — 2««З, Ь = 0; «) 5 = О, Ь = — 3; 4) /; = †««4, Ь = 3. 65. 5 = 1«Ь = 1, у = х+ 1. 66. 1) — + —, = 1: 2) + —; = 1. 3 — 2 ' — 4««З 2 т у 67. у = 0: 4:г — Зу = 0; у = 4; 4и — Зу+ 12 = О.
68. —, — —; = 1 или 2 3 — — — 69. при«ЛВ = 8, при«АВ = 6, ~ЛВ~ = 10. 70. Л и С на прямой, В «вылив», а О «ниже» прямой. 71. Неравенства определяют: 1) все т«жки, лежащие «выше» примой у = Зл+ 1 (полуплоскость): 2) все топ«ьй лежащие «пижс» прямой у = 3»л+ 1; 3) все точки, лежащие свыше> прял«ой у = 4 — 2ж и на самой пряъюй; 4) то п«и, Ответы лежашие «пижс» прямой у = 4 — 2»!. 73..с — у = жа. 74.
Через ! секунд координаты точки Л будут х = с + тЬ, у = Ь+ пй Р!склгочив х — а у — Ь Ь! получим уравнение траектории: = ' . 75. 1) у = хь«3! — 2; ча, и 2) у = — хь«3 — 2. 76. 9 = 1, Ь = о. 77. х+ у-4 = О,:с — у+ 4 = 0; у = 3, Х: х д .х у у = О. 78. —. 4 —, = 4!. 79. — + —, = ! и — + — ', = !. 80. д = ж2(.с+3). б 3 4 3 — 2 — 6 3 81.
АВ = Атччб. про««,АВ = 4. про»,4д = 8. 82. !) агсЬ8 —; 2) 45!'. 3) 4о', ат 4) 0'. о) 00', 6) агсЬ6 86. 5ч: + 2у+ 4 = О, 5х + 2у = 2о. 2аЬ 88. х — Зу+2 = О, 5х — у = 4, Зх+у = 12. 89. 28'! !2'ЗО' и ! !30'30'. 90. д = Зх и у = — -х.
91. х — бу + 6 = О, бх + у = -4. 3 92. у = 2х — 6, у = — 2х+ 6. 93. (3; — !), (3; 3), ( — Ог«5; Зччбч): !5'! 7!'34', 63'26'. 94. (5«2; 5/2). 95. АВ: 2» — 5у = — 4, АО: х — 2у = — 2; ь«20. 96. А = 18'26', В = 26'34'! С = !35'. 97. т, + 2д — 1! = О. 98. !8«! = 4/3, »8В = ЬЗС = 2; В = !6.
99. (1: — !)! (8/3; — 2). 100. 2х+ у = — 4, 2х — у = — 4, 2х+ у = 4. 103. 2, 8; 0; 1, 4 10оч. тч ! Зг«2. 106. Ь = ж2. 107. Две прямые, параллельные данной: 4х — Зу ж 20 = О. 108. Зх — 15у+ б = О, Зх — 15у = 130. 109. х — у = 0 и х+ у — 4 = О. 110. Зх — у = !2 и х+ Зд = 4. 111. х+ д = 2 или 4х+ у — 8 = О. 112. 3!в+ 26у = — 2 !. 113. и+ Зу = 2.
114. ДО. 115. Зх. — 4у+ !О = 0; х = 2. 116. б = !8,«тч«34. 117. Прямьге: х + у = 0 и ч — Зу = 0; расстояния: «!ч = 2»ч2, г!т = 0,4тчч!О. 118. Пара прямых: х+ 2у = 0 и х+ 2у = !О. 119. х+ Зу = 0 и Зх+ д = О. 120. 1!х+ 22у = 74. 121. у = — хч«2 и у = — Зхг«2. 122. х + 2у = 4. 123. у = О, 2х + Зд = — 4; ! у = — 4 2х+'!у = О' х+2у = — 2' у = — х тасс = — 124 !8«26« !!)З«27«' 8 сж = 2бл,чЗ 125 алг«5 126 А = Збо52! Л = !27'52' 127 4(.г!»!+тчччбч). 20.
128. 2х — у+6 = О, х — 4у = 4, 2х — Зу+2 = О. 129. у = х+2, х — 5у = 6, у = — х, 2у = х. 130. ДО. 131. '!очка движется по сторонам кввпрата, ограниченного прямыми х — Зу = жб! Зч:+у = жб. 133. Ьд = бл = бг«ьо. 134. (Зг«5; !%5), ( — Оу«оч, :!7уб). 135. (4; 5). 136. (О, :2), (4, ;0), (2; 4), ( — 2; 6). 137.
у — ч: = 2, х+ 2у = 4, 2х+ д = 8. 138. !) В(2; !); 2) С( — 1; — 5). 139.у = 2х+6: 12ч«Я: л0АВ 53' 140. хи+ух+Зев — бу = 0; А и О на окружности! В внг сс. 141. ха+уз+4»! — бу = О. 143. (О; 0), ( — 2, б; 2,5). 144. (х — !)т+(у — !)в =- ! или (х — 5)в+(у — 5)х =- = 25. 145. Ь8о = — 2,4, о = — !!2'37'. 146. (х+ 4)т+ (у+ !) = 25.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
